Несовместные события.Правило сложения.Вероятность и статистика 8 класс

Примерный сценарий урока

по теме «Несовместные события. Правило сложения»

8 класс

Раздел «Случайные события»

Урок составлен на основе материалов

Сайта Математическая вертикаль | Вероятность в школе

Учебник «Математика. Вероятность и статистика: 7-9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях». Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под ред. Ященко И.В.

Несовместные события. Правило сложения

Цель урока – познакомить учащихся с несовместными событиями, научить находить вероятности объединений событий.

В качестве повторения рассмотреть задания:

Сформулируйте определение объединения и пересечения двух событий. (Объединением двух событий A и B называют событие, которому благоприятствуют все элементарные исходы, благоприятствующие хотя бы одному из событий A и B. Пересечением двух событий A и B называют событие, которому благоприятствуют все элементарные события, благоприятствующие и событию A, и событию B).

Первое событие — «Миша ободрал левую коленку». Второе событие — «Миша ободрал правую коленку». Опишите словами объединение этих событий. (Миша ободрал себе коленку).

Изучение нового материала можно начать с рассмотрения примера.

Рассмотрим задачу и решим ее с помощью кругов Эйлера.

Пример 1. Всего в классе 20 человек. 11 из них ходят на кружок по рисованию, 8 — на кружок по математике, а один не ходит ни на один из кружков. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик класса ходит на оба кружка.

Ж елательный результат обсуждения. Нужно рассмотреть события А = «ученик ходит на рисование» и В = «ученик ходит на математику». По условию на какой-либо кружок ходят 20-1=19 человек, откуда можно понять, что на оба кружка не ходит никто. То есть пересечение событий А и В пусто — оно не содержит ни одного элемента. Вероятность такого события равна нулю — это невозможное событие.

Если пересечение событий A и B пусто, то на диаграмме Эйлера их можно изобразить с помощью непересекающихся фигур. Такие два события не имеют общих благоприятствующих элементарных исходов и не могут наступить одновременно. Их называют несовместными.

Пустое событие обозначают символом . Можно написать: AB=.

Определение. События A и B называются несовместными, если их пересечение не содержит элементарных событий.

Обратите внимание учеников на то, что любые два элементарных событий эксперимента являются несовместными.

Вероятность пересечения несовместных событий равна 0:

Пример 2. События «12 июня следующего года будет идти дождь» и «12 июня следующего года не будет осадков» являются несовместными.

Пример 3. Монету бросают пять раз. Событие А состоит в том, что количество выпавших орлов не меньше трёх, событие В состоит в том, что решек выпало больше, чем орлов. Эти два события одновременно произойти не могут: если орлов больше половины, то их не может быть меньше, чем решек. Пересечение событий А и В пусто; они являются несовместными.

П ример 4. Игральную кость бросают дважды. Рассмотрим событие А «в первый раз выпало больше очков, чем во второй» и событие В «в первый раз выпало меньше очков, чем во второй». Покажем этот случайный опыт с помощью таблицы.

Общих элементарных событий у А и В нет. События несовместны.

Чему равна вероятность объединения этих событий? Элементарные события равновозможны. Пересчитаем все элементарные события, которые благоприятствуют событию А, и все, которые благоприятствуют событию В, сложим полученные числа и разделим сумму на общее число элементарных событий – 36:

можно разбить дробь на два слагаемых:

То есть вероятность объединения двух событий оказалась равна сумме вероятностей этих событий. Это свойство верно для любых двух несовместных событий в любом случайном опыте.

Правило сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Важно! Эта формула верна только для несовместных событий.

Пример 5. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Желательный результат обсуждения. По условию в списке нет вопросов, относящихся к обеим темам. Поэтому события А «вопрос по теме «Вписанная окружность» и В «вопрос по теме «Тригонометрия» несовместны. Значит,

Если события A и B не являются несовместными, т. е. они совместны и могут одновременно наступить в результате одного опыта, то к ним нельзя применять правило для несовместных событий. Убедимся в этом на примере.

Пример 6. Правильную игральную кость бросают 2 раза. Событие А – «в первый раз выпало меньше 3 очков». Событие В – «во второй раз выпало меньше 3 очков».

С обытию А благоприятствует 12 элементарных событий. Событию В – тоже 12 элементарных событий. Но четыре элементарных события общие, поскольку события А и В совместны.

Событию благоприятствуют 20 элементарных событий.

Поэтому

значит

если мы сравним эти значения, то окажется, что

То есть,

Получается, что формулу к совместным событиям применять нельзя.

Желательный результат обсуждения. Обсудите с учениками причины того, что формула неприменима для совместных событий. Обсуждение должно привести к тому, что для совместных событий , и поэтому вероятность объединения событий меньше суммы их вероятностей.

Для наглядности изобразим диаграмму Эйлера для данной задачи. Из диаграммы можно понять, что и отличаются ровно на количество событий, благоприятствующих пересечению событий А и В.

Иными словами, складывая , мы дважды в этой сумме учитываем величину . Таким образом,

Эту формулу можно записать для вероятностей:

Замечание. Приведенное рассуждение о количестве элементарных исходов является справедливым только для случайных опытов, где количество элементарных исходов конечно. Поэтому приведенное рассуждение можно использовать только в качестве пояснения.

Формула сложения вероятностей. Вероятность объединения двух событий равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:

Полученная формула справедлива для любых двух событий, в том числе для несовместных, поскольку в случае несовместных событий

Далее можно предложить учащимся задачи для закрепления.

Задача 1. Найдите Р(AB), если P(A) = 0,5, P(B) = 0,7 и Р(AB)=0,4.

Решение.

Р(AB)=Р(А)+Р(В)-Р(AB)=0,5+0,7-0,4=0,8.

Задача 2. Даны два события A и B. Известны вероятности: Р(А)=0,3, Р(В)=0,5 и Р(AB)=0,7.

И зобразите события на диаграмме Эйлера. Во всех четырёх областях на диаграмме Эйлера расставьте вероятности соответствующих событий.

Решение.

Р(АВ)=0,3+0,5-0,7=0,1

=1-0,7=0,3

,

В качестве домашнего задания можно предложить задания (№ 83, 84, 85 [2], учебник, 2-я часть).

События А и В несовместимы. Найдите вероятность их объединения, если:

а) Р(А)=0,2, Р(В)=0,4;

б) Р(А)=0,5, Р(М)=0,2.

Могут ли события А и В быть несовместными, если:

а) Р(А)=0,6, Р(В)=0,5;

б) Р(А)=0,1, Р(В)=0,7.

Вычислите Р(AB), если:

а) Р(А)=0,8, Р(В)=0,6, Р(AB)=0,4;

б) Р(А)=0,5, Р(В)=0,6, Р(AB)=0,3.

Ответы:

1. а)0,6, б) 0,7.

2. а) нет, б) да.

3. а) 1, б) 0,8