Параметр в ЕГЭ Графический метод

  Учитель математики МАОУ «Обдорская гимназия» г. Салехард ЯНАО Е.И. Гусак  

Чтобы выполнять задание графически нужно уметь строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы). Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики». Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики. Между тем они включены в государственную итоговую аттестацию в 11 классе. И это одна из самых сложных задач в ЕГЭ по математике профильного уровня.

Что же означает это слово  параметр?   ПАРАМЕТР (от греч. Parametronотмеривающий) в математике, величина,  числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент  (например, кривую) из множества элементов (кривых) того же рода.  Например, в уравнении x2 + y2 = r2 величина r является параметром  окружности. В математике величина, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи.   

Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространёнными из них являются: – чисто алгебраический способ решения; – способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи; – функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические элементы, но базовым является исследование некоторой функции. Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трёх перечисленных способов. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.   Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Получим Построим графики в плоскости  

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.                                             Найдем значения в точках А, В, С, D А: В: С: D:   Если уравнение имеет 1 корень. Если Если Если Если Если Если   Ответ:  

2. Найдите все значения параметра , при которых система имеет ровно два решения.   Перепишем первое уравнение в виде:   Получили две прямые   Второе уравнение – это окружность с центром и R=.   Два решения возможны только тогда, когда окружность касается каждой прямой, т.к. центр окружности лежит на биссектрисе ⇒    

2. Найдите все значения параметра , при которых система имеет ровно два решения.                     ? Перепишем уравнения в виде . Получим, и   Тогда         При получается вырожденная окружность и 1 решение. ⇒ Ответ:  

3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.   Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Получим     Получили два луча и окружность с центром (5; 0) и R = 5.

3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.                       3       Найдем значения в точках А, В, С, D А и В: С и D:   Ответ:   При система имеет 1 решение. При – нет решений. Если Если Если Если Если  

4. Найдите все положительные значения , при каждом из которых система имеет единственное решение.   Первое уравнение представляет собой две окружности: , c центром ( 5; 4) и если   Второе уравнение – окружность с центром   Единственное решение возможно, когда окружность касается окружности или окружности  

5. Найдите все положительные значения , при каждом из которых система имеет единственное решение.                        

        Из прям. ΔОНР ОР. Из прям. ΔQРН РQ.       Расположим по возрастанию:   1)     и   ⇒ решений нет   3) но ⇒ 2 решения   4)   5) ⇒ 4 решения  

⇒ 3 решения   7) в ⇒ 2 решения   8)   9)   Итак, . Ответ:  

5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение  имеет четыре различных корня.           Получили два луча на и два луча на  

    6. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет четыре различных корня.                       6   4   2   0   Найдем значения в точках А, В, С, D А: В: С: D: Если уравнение имеет 3 корня. Если Если Если Если Если Ответ:    

6. Найдите все значения при каждом из которых система уравнений имеет ровно три различных решения.      

0   1             При первое уравнение не имеет смысла. При уравнение задает прямую и гиперболу .   При каждом значении уравнение задает прямую с угловым коэффициентом , проходящую через начало координат.   Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии  

При нет решений. При , которая дает 2 решения. При проходящую через точку (1; 4). Получаем 2 решения. При имеем 3 решения. При имеем 2 решения. При решений нет.   Ответ:  

6. Найдите все значения при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.     Найдем корни первого уравнения.      

                                  Число решений уравнения равно числу точек пересечения прямой с прямыми и при условии  

Найдем значения в точках А, В, С А: В: С:   При При При – 1 решение. При нет решений.   Ответ:  

Для самостоятельного решения 1. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два решения? 2. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два решения? 3. Найдите все положительные значения параметра , при которых система имеет единственное решение? 4. При каких значениях параметра система уравнений имеет 4 решения?  

Литература 1. И.В. Ященко. Математика. ЕГЭ 2023. ФИПИ школе. Москва 2023 2. ЕГЭ студия. Подготовка к ЕГЭ. https://ege-study.ru/ 3. Параметры (Задачи ЕГЭ профиль). https://uchus.online/tasks/bank/ 4. В. П. Лега. Философия нового времени. Галилео Галилей. Френсис Бекон. Церковно-Научный Центр «Православная Энциклопедия». https://www.sedmitza.ru/lib/text/431769/