Правильные многогранники

Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны. Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.

Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Почему правильные многогранники получили Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. Гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" – шесть. Октаэдр - восьмигранник, "окто" – восемь. Додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; Икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

Теорема Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г-число граней, В-число вершин, Р-число рёбер данного многогранника. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.

Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий учёный, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами. Платон (428 – 348 г. до н.э.)

Правильным многогранникам посвящена последняя, XIII книга знаменитого труда Евклида. Существует версия, что Евклид написал первые 12 книг для того, чтобы читатель понял написанную в XIII книге теорию правильных многогранников, которую историки математики называют «венцом «Начал». Здесь установлено существование всех пяти типов правильных многогранников, путей их построения и доказано, что других правильных многогранников не существует.

Тип Правильный многогранник Грань Правильный треугольник Вершин 4 Рёбер 6 Граней 4 Граней при вершине 3 Длина ребра а

Тип Правильный многогранник Площадь поверхности Объём Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Угол наклона грани Угол наклона ребра Двойственный многогранник Тетраэдр

Тип Правильный многогранник Грань Квадрат Вершин 8 Рёбер 12 Граней 6 Граней при вершине 3 Длина ребра а

Тип Правильный многогранник Площадь поверхности Объём Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Угол наклона грани Угол наклона ребра Двойственный многогранник Октаэдр

Тип Правильный многогранник Грань Треугольник Граней 8 Рёбер 12 Вершин 6 Граней при вершине 4 Двойственный многогранник Куб

Тип Правильный многогранник Грань Правильный пятиугольник Граней 12 Рёбер 30 вершин 20 Граней при вершине 3 Двойственный многогранник Икосаэдр

Тип Правильный многогранник Грань Правильный треугольник Граней 20 Рёбер 30 Вершин 12 Граней при вершине 5 Двойственный многогранник Додекаэдр

Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноимённые правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такого типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого учёного были названы телами Архимеда.

Полуправильные многогранники: усечённый тетраэдр, усечённый октаэдр, усечённый икосаэдр, усечённый куб, усечённый додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усечённый кубооктаэдр , усечённый икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр. Полуправильные многогранники: усечённый тетраэдр, усечённый октаэдр, усечённый икосаэдр, усечённый куб, усечённый додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усечённый кубооктаэдр , усечённый икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо.

Тела Кеплера - Пуансо. Тела Кеплера - Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Изображения Леонардо да Винчи додекаэдра методом жестких ребер (а) и методом сплошных граней (б) в книге Л. Пачоли «Божественная пропорция».

Изображение Леонардо да Винчи усечённого икосаэдра методом жёстких рёбер в книге Л. Пачоли «Божественная пропорция».

Художественное изображение многогранников в разработанной Леонардо технике жёстких рёбер Титульный лист книги Ж. Кузена «Книга о перспективе». Надгробный памятник в кафедральном соборе Солсбери.

Графические фантазии Маурица Эшера

Работы Фра Джовани да Верона, созданные для церкви Santa Maria in Organo в Вероне.

Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали имеет форму золотого прямоугольника. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов. В центре картины расположен додекаэдр.