Презентация на тему: "Окружность"

Итоговое повторение темы: Окружность Работу выполнила Келехсаева А.С. – учитель математики МБОУ СОШ № 2 с.Чермен

Содержание : Взаимное расположение прямой и окружности Углы, связанные с окружностью. Свойства вписанных углов. Свойства отрезков хорд, секущих и касательных . Длина окружности и площадь круга. Вписанная и описанная окружность Тест.

Взаимное расположение прямой и окружности. d > r Прямая и окружность не имеют общих точек. d = r Прямая и окружность имеют одну общую точку. МН - касательная d < r Прямая и окружность имеют две общие точки. АВ - секущая

Углы, связанные с окружностью. о А В А В С Угол АОВ – центральный. Он равен дуге, на которую он опирается. Угол АСВ – вписанный. Он равен половине дуги, на которую он опирается.

Свойства вписанных углов. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

Свойство отрезков касательных. А В О Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. ОА I AB А О С В Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. AB = AC , ے BAО = ے OAC

Свойства отрезков хорд, секущих и касательных. Отрезки пересекающихся хорд связаны отношением: AO ∙ OB = СО ∙ OD Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: OB ∙ OA = OD ∙OC Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки: CM2 = MA ∙MB

Длина окружности. О r Длина окружности: Длина дуги в αo : C = 2πr где π ≈ 3,14 ℓ Площадь круга: S = πr2

Вписанная окружность. В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис. Радиус вписанной окружности: r = S : р где S – площадь треугольника, р - полупериметр треугольника. О

Описанная окружность. Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров. Радиус описанной окружности: R = (abc) : 4S В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен: - половине гипотенузы: R = c : 2 - медиане, проведенной к гипотенузе: R = mc

Вписанная и описанная окружности. В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180о. ےA + ےC = ےD + ےB = 180о. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. АВ + CD = AD + BC

Успехов в изучении данной темы ! Задача № 1 Задача № 2 Задача № 3 Задача № 4 Задача № 5 Задача № 6 Задача № 7 Задача № 8 Задача № 9 Задача № 10 Задача № 11 Задача № 12

Задача № 1 О В А С D F К окружности с центром в точке О проведены касательные DC и FC ( А и В – точки касания). Определите другие углы треугольника АВС, если угол ВОА равен 116о. Ответ : ےА = ےВ = 580 , ےС = 640.

Задача № 2 А В О С Окружность с центром в точке О касается сторон угла А (В и С – точки касания). Отрезок АВ равен радиусу окружности. Определите градусную меру угла А. Ответ : ےА = 900.

Задача № 3 750 600 Х По данному рисунку найдите градусную меру угла Х Ответ : Х = 900.

Задача № 4 О 600 А В С D Е 20 Дано: ےВЕС = 200, ےАDC = 600 Найти: ےВАD Ответ : ےВАD = 500

Задача № 5 Задача: Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром О, ےАОС = 800, ےС : ےА = 3 : 4. Найдите градусные меры дуг АВ, АС, ВС. О А В С 800 Решение: дуга АС – 800 ےС + ےА = 3х + 4х = (3600 – 800) : 2 7х = 1400 => х = 200 ےС = 3х = 600 ےА = 4х = 800 ےВ = 400 Ответ: дуга АВ – 1200 дуга ВС – 1600 дуга АС - 800

Задача № 6 Задача: Хорды АВ и СD пересекаются в точке Е. АЕ = 8см, ВЕ = 6см, СD = 16 см. В каком отношении точка Е делит отрезок СD? А В С D Е 8 6 Х 16-х Решение: АЕ ∙ ВЕ = СЕ ∙ DЕ Х(16 – Х) = 48 Х2 – 16Х + 48 = 0 Х1 = 12, Х2 = 4 Х2 : Х1 = 4 : 12 = ⅓ Ответ: ⅓

Задача № 7 Задача: Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС в точках M, N, K соответственно. Найдите дуги MN, NK, MК и углы треугольника MNK, если ےАВС = 620, ےАСВ = 680. А В С О М N K 620 680 Решение: ےА = 500, ےМОК = 1300 => дуга МК = 1300 ے NOK = 1120 => дуга NK = 1120 ے MON = 1180 => дуга MN = 1180 Углы треугольника MNK: ےМ = 560, ےN = 650, ےК = 590

Задача № 8 Задача: Точка С делит хорду АВ на отрезки 15см и 8см. Найдите диаметр окружности, если расстояние от точки С до центра окружности равно 1см. А В С О 15 8 1 Решение: воспользуемся теоремой о произведении длин отрезков пересекающихся хорд Х Х+1 Х (Х + 2) = 15 ∙ 8 Х2 + 2Х – 120 = 0 Х1 =10 Х2 = - 12(не удовл.) r = Х + 1 => r =11см Ответ: d = 22 см

Задача № 9 Задача: В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4см. Найдите сторону треугольника. А В С О Н Решение: АОН – прямоугольный ے А = 300, ОН = 4см => АО = 8см по теореме Пифагора: АН = 4√3 см Ответ: АС = 8√3 см

Задача № 10 Задача: В равнобедренной трапеции разность оснований равна 20см, а радиус вписанной в нее окружности равен 2√14 см. Найдите стороны трапеции. А В С D Н Решение: ВН = 2r = 4√14 см АН = (АD – ВС) : 2 = 10 см по т. Пифагора: АВ = 18 см => СD = 18 см так как окружность вписанная, то ВС + АD = АВ + СD = 36 см Х + Х + 20 = 36 Х = 8 Х Х + 20 Ответ: АВ = CD = 18 см ВС = 8см, АD = 28 см

Задача № 11 Задача: Равнобедренный треугольник с основанием 8см вписан в окружность радиуса 5см. Найдите площадь этого треугольника и его боковую сторону. О А С В Н8 5 Решение: треугольник АОН – прямоуг. АО = 5см, АН = 4см => ОН = 3см h = 8см, а = 8см => S =32см2 по теореме Пифагора АВ = 4√5 см Ответ: S = 32 см2, бок. ребро - 4√5 см

Задача № 12 Задача: Четырехугольник АВСD вписан в окружность с диаметром АС. Найдите углы четырехугольника, если дуга ВС = 1000, дуга СD = 600. А В С D Решение: ےВ = ےD = 900 ےВАС = 500, ےСАD =300 => ےА = 800 ےС = 1800 – 800 = 1000 1000 600 Ответ: ےВ = ےD = 900, ےА = 800, ےС = 1000

Спасибо за урок