Елена Алексеевна Нычик

Презентация по теме «Применение производной к исследованию функции».

Материал опубликован 8 February 2022

Урок обобщения и систематизации знаний в 11 классе по теме "Применение производной к исследованию функции» "Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле" Алексей Николаевич Крылов Разработала учитель математики МБОУ «Школа №142 г.Донецка» Нычик Елена Алексеевна

Схема исследования функции 1. Дополнительные точки (при необходимости). 2. Промежутки возрастания и убывания функции. 3. Найти область определения функции. 4. Производная и критические точки. 5. Определить четность или нечетность, периодичность. 6. Построение графика на основании проведенного исследования. 7. Значение функции в критических точках. 8. Точки пересечения графика с осями координат. 9. Точки экстремума.

Исследовать функцию у=5х3-3х5 1.Область определения: D(f)=R. 2.Т.к. f(-x)= -5х3+3х5= -(5х3-3х5)= -f(x), то функция является нечетной, и график симметричен относительно начала координат. 3.Точки пересечения с осями координат: Оу пересекает в т. х=0 и у=0 Ох пересекает в т. у=0, 5х3-3х5=0, x=0 и x= 4.Функция непрерывна в каждой точке и производная y|=15x2-15x4, где критические точки 15x2-15x4=0 x1=0; x2=-1; x3=1.

5.Найдем промежутки возрастания и убывания функции 5.Найдем промежутки возрастания и убывания функции Функция возрастает при xє[-1;0] и [0; +∞] и убывает при xє[-∞;-1] ᴗ [1; +∞] xmin=-1; уmin= f(-x)=-2 xmax=1; уmin= f(x)=2 6.Составим таблицу поведения функции x (-∞;-1] -1 [-1;0] 0 [0; 1] 1 [1; +∞) f|(x) - 0 + 0 + 0 - f(x) -2 0 2 5.Найдем промежутки возрастания и убывания функции Функция возрастает при xє[-1;0] и [0; +∞] и убывает при xє (-∞;-1] и [1; +∞) х=-1 – точка минимума, f(-1)=-2 х=1 – точка максимума, f(1)=2 Составим таблицу поведения функции x (-∞;-1] -1 [-1;0] 0 [0; 1] 1 [1; +∞) f|(x) - 0 + 0 + 0 - f(x) -2 0 2

7.Построим график 7.Построим график

Исследовать функцию у= 1.Область определения: D(f)=(-∞;-2) ᴗ (-2; +∞) 2.Функция ни четная, ни нечетная, т.к. f(-x) = и f(-x) ǂ f(x) ǂ -f(x) 3.Точки пересечения с осями: Оу х=0 у=0 Ох у=0 х=0 4.Функция непрерывна в каждой точке области определения и производная y|=|= Найдем критические точки: y|=0 =0 x1=0 и x2=-4

5.Отметим критические точки и отметим промежутки возрастания и убывания с помощью производной 5.Отметим критические точки и отметим промежутки возрастания и убывания с помощью производной Функция возрастает на каждом из промежутков (-∞;-4] и [0; +∞) и убывает на промежутках [-4; -2) и (-2; 0]. 6. x=-4 – точка максимума, у(-4)=-8 x=0 – точка минимума, у(0)=0 f | ( x ) + - - + - 4 - 2 0 х Поведение f ( x )

Составим таблицу поведения функции Составим таблицу поведения функции Подберем несколько точек x (-∞;-4] -4 [-4;-2) -2 (-2; 0] 0 [-0;+ ∞) f|(x) + 0 - Не сущ. - 0 + f(x) -8 Не сущ. 0 х -6 -3 -1 1 2 -8 4 f(x) -9 -9 1 1 - х -6 -3 -1 1 2 -8 4 f(x) -9 -9 1 1

Поговорим об асимптотах: асимптота - это прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой графика при неограниченном удалении ее от начала координат. Если точка а ограничивает область определения , и вблизи этой точки f(x)→∞, то прямая х=а является вертикальной асимптотой. Так функция у= в точке х=-2 не определена , и у→-∞ при х→-2 слева и у→+∞ при х→-2 справа, то прямая х=-2 является вертикальной асимптотой графика. Наклонная и горизонтальная асимптоты в общем случае имеют вид y=kx+b, где k= и b=( f(x)-k∙x). Тогда функция у= имеет асимптоту: k= = = =1; k=1 b=( -1∙x)= = = =-2;b=-2. Итак, наклонная асимптота к графику функции имеет вид y=x-2.

7.Строим график с учетом 7.Строим график с учетом вертикальной асимптоты х=-2 наклонной асимптоты у=х-2 у=х-2 х=-2 у=

Исследовать и построить график функции у= + 1.Область определения: D(f)=(-∞;-0) ᴗ (0; +∞) 2.Функция нечетная, т.к. f(-x) = = - (+ )= - f(x) Значит, график симметричен относительно начала координат 3.Точки пересечения с осями Оу: нет точек, т.к. x ǂ 0 Ох: у ǂ 0 + ǂ 0, ǂ 0 Итак, точек пересечения с осями нет. 4.Найдем производную и критические точки. y| = ( + ) |= - + y|=0

- + =0 - + =0 =0 х1=4 и х2=-4, х ≠ 0 5.Отметим критические точки и промежутки возрастания и убывания с помощью производной

Функция возрастает на промежутке (-∞;-4] и [4;+ ∞) и убывает на каждом из [-4;0) и (0;4]. Функция возрастает на промежутке (-∞;-4] и [4;+ ∞) и убывает на каждом из [-4;0) и (0;4]. x=-4 – точка максимума, f(-4)=-4 x=4 – точка минимума, f(4)=4 6.Составим таблицу значений и поведения функции Подберем несколько дополнительных точек x (-∞;-4] -4 [-4;-0) 0 (0; 4] 4 [4;+ ∞) f|(x) + 0 - Не сущ. - 0 + f(x) -4 Не сущ. 4 х -8 -2 -1 1 2 8 f(x) -5 -5 -8 8 5 5 х -8 -2 -1 1 2 8 f(x) -5 -5 5 5

Поговорим об асимптотах: Так функция у= + в точке х=0 не определена , и у→-∞ при х→0 слева и у→+∞ при х→0 справа, то прямая х=0 является вертикальной асимптотой графика. Наклонная и горизонтальная асимптоты в общем случае имеют вид y=kx+b, где k= и b=( f(x)-k∙x). Тогда функция у= + имеет асимптоту: k= ( += + ) = ; k= b=( + -∙x)= =0 ; b=0. Итак, наклонная асимптота к графику функции имеет вид y= .

7.Построим график функции с учетом вертикальной асимптоты х=0 и наклонной асимптоты у= у= х=0 у= +

Физминутка Ну-ка, дети, быстро встали И мне Sin показали! Правой…Левой…Повторите! Опустили! Отдохните! И, конечно, не секрет Монотонности здесь нет! А теперь покажем tg Ну и друг его ctg log, что возрастает, А теперь, что убывает… И экстремумы, друзья, Встретить здесь никак нельзя. Руки к верху поднимите Параболу покажите! На носочках поднимитесь В ∞ устремитесь! Всё, спасибо всем, садитесь!

ОБЗ-11-2022, базовый уровень. Задание 14, №1 На рисунке изображён график функции y = f(x). Числа a, b, c, d и e задают на оси x четыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной. ИНТЕРВАЛЫ ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ А) (a; b) 1) производная отрицательна на всём интервале Б) (b; c) 2) производная положительна в начале интервала и В) (c; d) отрицательна в конце интервала Г) (d; e) 3) функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала 4) производная положительна на всём интервале Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам

ОБЗ-11-2022, базовый уровень. Задание 14, №3 На рисунке изображён график функции y = f(x) . Точки a, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной. ИНТЕРВАЛЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ А) (a; b) 1) Значения функции положительны в каждой точке интервала. Б) (b; c) 2) Значения производной функции положительны в каждой точке интервала. В) (c; d) 3) Значения функции отрицательны в каждой точке интервала. Г) (d; e) 4) Значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала. Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

ОБЗ-11-2022, базовый уровень. Задание 14, №9 На рисунке изображены график функции и касательные, проведенные к нему в точках. В правом столбце указаны значения производной функции в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней. Точки Значения производной А 1) – 4 В 2) 0,2 С 3) – 0,2 D 4) 1,5 В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер

ОБЗ-11-2022, профильный уровень. Задание 7