Проект «10 основных ошибок, допускаемых в ЕГЭ (ГИА)»

Государственное казённое общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 4» при исправительном учреждении

Проект «10 основных ошибок, допускаемых в ЕГЭ (ГИА)»

Подготовил учитель математики Овсянников Евгений Михайлович

Ученики нашей школы сдают ГИА по математике базового уровня:

Процент решаемости заданий учащихся 11 классов, получивших низкие баллы по ГИА по математике базового уровня в ГКОУ СОШ № 4 при ИУ

Подготовиться к экзамену по математике - это непростая задача. Для успешной сдачи необходимо пройти всю программу по математике. Повысить культуру вычислений, выучить формулы. Также важна психологическая обстановка в классе и спокойная рабочая атмосфера.

19 задание — свойства чисел и логика. Процент решаемости низкий. Ребятам тяжело даются свойства чисел и логика. В этом задании нужно показать логику мышления, помнить свойства чисел и признаки делимости чисел.

Пример. Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь оно такое число.

Алгоритм выполнения:

Ввести условные обозначения.

Записать условия с помощью условных обозначений.

Преобразовать полученные выражения.

Логически рассуждая перебрать все возможные варианты, проверить их соответствие условиям.

Решение:

Обозначим первую цифру числа x, а вторую – y. Тогда третье число с учетом суммы цифр равной 20 будет равно 20 – (x + y). (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится.

По условию сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Запишем сумму квадратов цифр:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2

Преобразуем полученное выражение. Преобразуем квадрат разности с учетом формулы приведения.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(20 – (x + y))2 = 400 -40(x + y) + (x + y)2

Подставим получившееся выражение в начальное, получим:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2 = x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + (x + y)2

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

Подставим:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2 = x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + (x + y)2 = x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + x2 + 2xy + y2

Приведем подобные слагаемые(сложим x2 с x2 и y2 с y2), получим:

x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + x2 + 2xy + y2 = 2x 2 + 2y2 + 2 · 200 — 2 · 20(x + y) + 2xy

Вынесем множитель 2 за скобку:

2x 2 + 2y2 + 2 · 200 — 2 · 20(x + y) + 2xy = 2(x 2 + y2 + 200 — 20(x + y) + xy)

Для удобства объединим 200 и 20(x + y) и вынесем 20 за скобку, получим:

2(x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy)

Множитель 2 – четный, поэтому он никак не влияет на делимость на 3 или 9. Можем его не брать в расчет и рассматривать выражение:

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy

Предположим, что и x, и y делятся на 3. Тогда x 2 + y2 + xy делится на 3, а 20(10 — (x + y)) – не делится. Следовательно, и вся сумма x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy на 3 не делится.

Предположим, что на 3 делится только одна цифра. Тогда, учитывая, что (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится, подберем возможные пары.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Методом подстановки проверим, соответствуют эти пары условию.

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 3 2 + 82 + 20(10 — (3 + 8)) + 3 · 8 = 9 + 64 – 20 + 24 = 77

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 2 + 52 + 20(10 — (6 + 5)) + 6 · 5 = 36 + 25 – 20 + 30 = 71

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 2 + 72 + 20(10 — (6 + 7)) + 6 · 7 = 36 + 49 – 60 + 42 = 67

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 2 + 82 + 20(10 — (6 + 8)) + 6 · 8 = 36 + 64 – 80 + 48 = 68

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 9 2 + 22 + 20(10 — (9 + 2)) + 9 · 2 = 81 + 4 – 20 + 18 = 83

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 9 2 + 42 + 20(10 — (9 + 4)) + 9 · 4 = 81 + 16 – 60 + 36 = 73

Ни одна из полученных сумм не удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9».

Следующие пары можно не проверять, так как они дают уже имеющиеся тройки цифр. Предположим, что ни одна из цифр числа не делится на 3. Возможные пары:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

Проверим:

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 4 2 + 72 + 20(10 — (4 + 7)) + 4 · 7 = 16 + 49 – 20 + 28 = 73

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 5 2 + 72 + 20(10 — (5 + 7)) + 5 · 7 = 25 + 49 – 40 + 35 = 69

Сумма 69 удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9». Следовательно, подходят цифры 5,7,8 в любом порядке.

Ответ: 578

21 задание — задача на логику и смекалку

Как и в задании 19 в задании 21 нужно уметь логически мыслить. Совет для успешного решения – это включить воображение, увидеть эту задачу, смоделировать ее. Еще можно начертить схему или сделать рисунок. Это поможет ученику включиться в задачу и увидеть ее, что может натолкнуть на верное решение этой задачи.

Пример

Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь – печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в 3 раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Решение:

1) Известно, что Маша и Медведь съели варенья поровну, значит, Маша ела варенье в три раза больше времени, чем варенье ел Медведь ⇒ Медведь по времени ел печенье в три раза больше чем печенье ела Маша.

2) Медведь ел печенье в 3 раза быстрее Маши. Значит, на 1 съеденное Машей печенье приходится 3 съеденных печенья Медведем.

3) Если Маша съела x — печений, тогда Медведь съел 3 × 3x = 9x печений.

4) Известно, что Маша и Медведь съели 160 печений вместе ⇒ x + 9x = 160 ⇒ x = 16 печений съела Маша

5) 9 × 16 = 144 печений съел Медведь Ответ: 144

15 задание. Задачи на части и проценты

Для выполнения задания 15 необходимо уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Ответ проверяется благодаря обычной логике.

Ребята должны знать что такое процент? Процент – это сотая доля числа. Обозначается знаком: %. Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Слово "процент" происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает "со ста". 1% = = 0,01  

Задачи на проценты бывают 4 типов:

Тип 1. Найти часть от числа

Тип 2. Найти число по его части

Тип 3. Найти, сколько процентов часть составляет от целого

Тип 4. Задачи на соотношение

Пример. Особенность подобных заданий: не дано процентов, есть только абсолютные величины. В данном случае — стоимость футболки в рублях.

1. Находим, какую долю новая цена составляет от первоначальной.

Запоминаем правило: чтобы найти, какую долю часть составляет от целого, надо часть разделить на целое.

680 : 800 = 0,85.

2. Переводим долю в процент.

В прошлых задачах мы уже дважды выполнили обратное действие. В этот раз сделаем наоборот: умножим полученную дробь на 100.

0,85 ∙ 100 = 85% — столько процентов новая цена составляет от старой.

3. Отвечаем на вопрос задачи.

Нас спросили, на сколько процентов цена снизилась, что стала 85% от первоначальной. Конечно, изначально она была 100%. Итого:

100 – 85 = 15%.

Ответ: 15%.

14 задание. Числа и вычисления.

Для выполнения задания 14 необходимо уметь выполнять вычисления и преобразования.

Как решать. Вот что нужно:

Знать, как выполнять действия с десятичными и обыкновенными дробями, смешанными числами, с положительными и отрицательными числами.

Уметь переводить смешанные числа в неправильные обыкновенные дроби, обыкновенную дробь — в десятичную.

Уметь расставлять порядок действий.

9 задание.

Пример План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Площадь трапеции может быть найдена, как произведение высоты на полусумму оснований. Из картинки видно, что высота равна 4 м, а основания равны 2 м и 5 м. Таким образом, площадь трапеции равна

2+-5 2

4⋅ 2 =14м .

Ответ: 14

5задание. Элементы теории вероятностей

Пример . В городе N из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение:

1) 5000 – 2512=2488 – девочки

2) 2488/5000=0,4976 ≈ 0,498

Ответ: 0,498.

Пусть при проведении n случайных опытов событие А наступило k раз. Частотой события А называют отношение k/n.

16 задание. Преобразования выражений

Пример. Найдите значение выражения log31.8 + log35.

Рассмотрим преобразования выражений с логарифмами. Напомнить определение логарифма и его свойства: Логарифмом числа b по основанию a () называется такое число c, что , то есть записи и равносильны. Логарифм определен, если .

Решение: log31.8 + log35 = log3(1.8 × 5) = log39 = 2 Ответ: 2

17 задание. Уравнения. Для выполнения задания 17 необходимо уметь решать уравнения и неравенства

Пример №1

Найдите корень уравнения 3x — 3 = 81. Решение: 3x — 3 = 81 3x — 3 = 34 x — 3 = 4 x = 7 Ответ: 7

Пример №2

Найдите корень уравнения log2(x − 3) = 6. Решение: log2(x − 3) = 6 x — 3 = 26 x — 3 = 64 x = 64 + 3 x = 67 Ответ: 67

18 задание. Неравенства и сравнение чисел. Для моих учеников является сложным заданием.

Пример.

На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D.

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

Ответ 4, 1, 2, 3.

20 задание. Текстовые задачи

Пример. В сосуд, содержащий 4 кг 18-процентного водного раствора вещества, добавили 5 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора ?

Решение:

Узнаем массу вещества в 1-м растворе
4 кг - 100 %
х кг - 18 %
x=4⋅18100=0,72=4⋅18100=0,72 кг
При добавлении воды масса вещества в растворе останется той же, а масса раствора будет 4+5=9 кг
0,72 кг - y %
9 кг - 100 %
y=0,72⋅1009=8=0,72⋅1009=8 %
Ответ: 8
Короткий способ:
4 кг  -  0,18, 9 кг  -  ?
Находим среднее для 9 частей при известных концентрациях
(4*0,18+5*0)/9=0,08 или 8 %
Ответ: 8

Залог правильного решения таких задач — грамотно составленная система уравнений. Своих учеников прошу, чтобы они прорабатывали каждый тип задач, чтобы делать это на автомате и понимать, какие числа принимать за переменные.

В заключении хочу сказать, чтобы сдать ГИА успешно, нужно не лениться и заниматься регулярно в школе и вне школы. Дорога к успеху на ГИА по математике — это регулярные тренировки. Нужно не только теоретически знать материал, но и постоянно практиковаться в решении заданий. Некоторые мои ученики считают, что достаточно просто решить несколько тестов, но этого недостаточно. Важно прорабатывать задачи различных типов и уровней сложности. Прошу своих учеников использовать старые варианты подготовки к ЕГЭ, решать пробные тесты, и, самое главное, разбирать ошибки.

Надеюсь, что регулярная подготовка выпускников школы к ГИА принесет свои плоды и ученики смогут показать достойный результат. А для меня это будет лучшей наградой.

Мои пособия для подготовки учеников к экзамену по математике:

1. Преодолевая порог ЕГЭ. Математика. Курс подготовки

2. ОГЭ 2024. Математика. 40 вариантов и теоретический справочник