Урок по теме «Задача о Кёнигсбергских мостах, эйлеровы пути и эйлеровы графы» (7 класс)

Этапы урока

Деятельность

учителя

обучающихся

Организационный этап

Создает эмоциональный настрой. Обращается к обучающимся:

- Добрый день, ребята! Я прошу вас встать, обернуться и зафиксировать самую дальнюю точку, до которой вы можете обернуться взглядом. Попробуйте. Запомнили эту точку? Молодцы! Повернитесь ко мне. А теперь попробуйте еще раз повернуться так, чтобы дальше взгляд свой повернуть. У кого получилось? Поднимите руку. Молодцы! Присядьте на свои места. Вы только что убедились на примере, что человек может расширять свои возможности. У вас была одна точка, до которой вы достали взглядом, а потом смогли дотянуться дальше. Мне хочется начать урок со слов английского ученого Джона Полкинхорна: «В математике, как и в жизни, чтобы достичь успеха, необходимо постоянно расширять свои границы познания». (слайд 1. Приложение1) Я желаю вам, ребята, чтобы вы на уроке добились успеха, расширили свои возможности, расширили свои знания по теме, которую мы изучаем и это ….

Слушает ответы учащихся и повторяет «Графы».

Слушают учителя,

Выполняют требуемые действия, отвечают на вопрос.

Присаживаются на свои места

Слушают учителя, обращают внимание на эпиграф, настраиваются на работу

Продолжают фразу учителя «…графы»

Этап актуализации знаний

Задает вопрос обучающимся:

- Что нужно сделать, чтобы идти дальше в изучении темы графы?

Организует самостоятельную работу:

-У каждого из вас на столах лежат карточки с заданиями, которые вы выполните самостоятельно. (Приложение 2)

Организует проверку в парах.

-Поменяйтесь листочками, выполните проверку работы своего соседа, правильные ответы выведены на экран. (слайды 2,3).

- Если ошибок нет, то поставьте «5», за 1 ошибку – «4», за 2-3 ошибки оценка «3».

Отвечают на вопрос учителя:

- Повторить изученное

Слушают учителя.

Выполняют самостоятельную работу, ответы записывают на карточке.

Обмениваются работами с соседом по парте, выполняют взаимопроверку в парах,

оценивают работу товарища, следуя рекомендациям учителя.

Мотивационный этап (целеполагания)

Формулирует задание, настраивает на работу:

- Для дальнейшей работы необходимо проверить ваши теоретические знания. Выполните задание «Найди пару» и отгадайте фамилию ученого, основоположника теории графов. (слайд 4)

Организует проверку:

- Проверим. Готовы назвать фамилию ученого?

Леонард Эйлер – российский математик, швейцарец по происхождению, академик Петербургской и Берлинской академии наук. (слайд 5) Сегодняшний урок будет связан с этим ученым.

Побуждает к формулированию темы и цели урока.

-Ребята, как вы думаете, какая тема урока?

Слушает предположения обучающихся, озвучивает: «Тема нашего урока «Эйлеровы пути. Эйлеровы графы. Задача о Кёнигсбергских мостах». Продолжите фразу: «На уроке я узнаю, …. (слушает учеников и проговаривает) и как это связано с Кёнигбергом.

« Я научусь….. (слушает ответы).

Слушают учителя

Один ученик выполняет это задание на интерактивной доске https://learningapps.org/watch?v=pbi53j4rt24 остальные на листах (Приложение 3), соединяют части понятий, разгадывают фамилию ученого.

Отвечают на вопрос:

- Эйлер.

Высказывают предположения

Продолжают фразу учителя:

- ..что такое эйлеровый путь и эйлеров граф.

- … применять полученные знания при решении задач.

Открытие новых знаний Практическая работа в парах

Настраивает на открытие новых знаний.

- Леонард Эйлер говорил; «Опыт – это единственный источник знаний».(слайд 5)

Как вы понимаете его слова?

Организует работу обучающихся.

-На рабочем листе выполните задание 1: Попытайтесь каждую из этих фигур обвести карандашом одной линией, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды (Приложение 4) (слайд 6)

У вас будут фигуры, которые можно легко обвести, с любой точки начни и без проблем обведешь. Поставьте возле них букву Л. (пишет на доске)

Будут фигуры, которые вам удастся обвести только начав с определенной точки. Возле этих фигур поставьте букву О.

И будут фигуры, которые обвести невозможно, не проходя одну линию дважды и не отрывая карандаша от бумаги. Поставьте возле них букву Н.

Организует проверку.

- Готовы? Проверяем. Первую фигуру можно нарисовать? Конечно же, с любой точки. Ставим букву Л. (и так каждую фигуру рассмотрят).

Подводит обучающихся к выявлению закономерности.

- Попробуйте выяснить, почему какие-то фигуры можно обвести, а какие-то нельзя. И как только поглядев на фигуру сразу можно будет определить, можно ли её обвести, не отрывая карандаша или нельзя.

-Являются ли фигуры, которые вы обводили, графами?

- Найдите степени каждой вершины у графов

Побуждает к высказыванию своего мнения.

- Может вы уже увидели закономерность. ….

-Обратим внимание на четность и нечетность степеней вершин.

-Какие степени имеют вершины графов, которые нарисовать легко, начав из любой вершины.

-Посмотрим на те графы, которые можем нарисовать с определенной точки. Сколько в них нечетных вершин?

Причем из этих вершин мы начинали и этими же вершинами заканчивали свой путь.

-Что вы скажете про степени графов, которые нельзя обвести, соблюдая данное условие?

- Графы, которые у нас обозначены буквами Л и О называют эйлеровыми. А тот путь, который вы проходили, обводя эти графы, называют эйлеровым путем.

Попробуйте сформулировать понятия эйлерова пути и эйлерова графа.

(слайд 7. Учебник стр 89)

- Являются ли эйлеровы графы связными? Почему?

Организует работу обучающихся.

Рассмотрим Задачу о Кёнигсбергских мостах, с которой началась теория графов. (задание 2. Приложение 4)

Рассказывает историю возникновения задачи. (Приложение 6, часть 1) (слайд 8)

Мотивирует учащихся на решение задачи

- Мы сейчас поступим так же как и сам Эйлер. Изобразите участки суши вершинами, а мосты – рёбрами графа.

Задача упростилась, превратили схему города в граф. Что можно определить у этого графа? Определяем, запишем их.

Побуждает к высказыванию предположений.

- Ну и как вы думаете, имеет эта задача решение или нет? Почему?

Создаёт эмоциональный настрой, ситуацию успеха.

- Обратите внимание, что вы решили задачу, которую в 1736 году решал великий математик. Молодцы!

Эйлер дал понятия четных и нечетных вершин и сформулировал правило: задача разрешима, только если все вершины чётные или если нечетных вершин ровно две. В случае с Кенигсбергом, степени всех вершин графа нечетные, а значит невозможно найти путь, который проходил бы по каждому мосту один раз.

Организует формулирование учащимися Теорему Эйлера.

- Продолжите фразу: «Если в графе существует путь, проходящий через все ребра ровно по одному разу….

-Прочитайте формулировку теоремы на стр.90 вашего учебника.

Побуждает к высказыванию предположений

Подумайте, что можно сделать, чтобы эта задача имела решение?

Рассказывает легенду о Вильгельме 2 Кайзере (Приложение 5, часть 2). Проводит ребро БВ.

Высказывают предположения по поводу утверждения Эйлера.

Настраиваются на работу, слушают указания учителя.

Обводят фигуры, следуя условию в задании, около каждой фигуры ставят букву Л, О или Н. Работают в парах, обсуждают полученные результаты.

Отвечают на вопросы учителя.

Выполняют проверку.

Высказывают предположения.

Отвечают: «Да».

Находят степени вершин. Один ученик отмечает степени графов на доске.

Выявляют закономерность.

-Такие графы имеют чётные вершины.

- В графах, которые можно обойти, начав с определенной точки, две нечетные вершины.

- В таких графах больше двух нечетных вершин.

Пробуют сформулировать понятия при помощи учителя.

- Эйлеров путь – это путь, проходящий ровно один раз по каждому ребру.

Эйлеров граф – это граф, в котором существует эйлеров путь.

Обосновывают

-Да, т.к. в эйлеровом графе, как и в связном, все вершины соединены путём.

Слушают учителя.

Выполняют задание.

Изображают граф. Находят степени вершин

Делают вывод, обосновывают:

- нет

- потому что в этом графе четыре нечетных вершины.

Слушают учителя.

Продолжают фразу учителя, пробуют сформулировать теорему Эйлера.

- то в этом графе не больше двух вершин нечетной степени.

Читают формулировку в учебнике.

Высказывают предположения:

- Можно убрать один мост или построить еще один мост.

Первичная проверка понимания новых знаний

Организует работу обучающихся.

-Прочитайте и выполните задание 3 на рабочих листах.(Приложение 4)

- Как проверить, является ли граф эйлеровым? Должен ли он быть связным?

- Какой ответ у вас получился?

- Приступайте к следующему заданию под цифрой 4.

Прочитайте задачу.

- Как решить задачу, используя теорему Эйлера?

-Какой ответ у вас получился?

-Почему?

- Постройте возможный маршрут Юры.

-Выполните задание 5 самостоятельно

Читают задание, записывают последовательность цифр 1727.

Отвечают на вопросы учителя.

Читают задачу 4 на рабочем листе.

Отвечают:

- Нужно сосчитать степени вершин графа и убедиться, что в графе не больше двух вершин нечетной степени.

Обосновывают свой ответ:

- Юра сможет посетить своих одноклассниц, т.к. в графе все вершины чётные.

Строят возможный маршрут Юры.

Выполняют задание 5, выбирают верные утверждения самостоятельно.

Первичное закрепление новых знаний

Подводит к высказыванию своего мнения учащихся:

-Ребята, где можно применять эйлеровы графы?

-В реальной жизни эйлеровы графы применяют на транспорте, в логистике, в науке и технологиях. (слайд 9)

Организует работу в группах.

- Сейчас вы выполните задание по группам, пересядьте каждый в свою группу (распределил учитель) и решите задачу, можно устно, быстро обсудив решение с товарищами.(Приложение 6)

Заслушаем ответы представителей групп.

Высказывают предположения …

Читают информацию на слайде.

Выполняют задания по группам. Каждая группа решает свою задачу.

Отвечают на вопрос в задаче.

Информация о домашнем задании

Выдаёт домашнее задание, инструктирует о его выполнении.

-Дома вам нужно прочитать п.21, выучить определение эйлерова графа и выполнить задание на листе (Приложение 7)

Даёт рекомендации по выполнению домашнего задания

Слушают указания учителя по выполнению домашнего задания

Рефлексия (подведение итогов урока)

Проводит рефлексию

Сегодня мы с вами изучили тему ….

Что вы узнали нового?

Чему научились?

Оцените свою работу на уроке, поставьте галочку. ( в рабочих листах, Приложение 4)

Вы большие молодцы, решили задачу самого Леонарда Эйлера. Узнали какие графы называют эйлеровыми, узнали секрет фигур которые можно построить одним росчерком.

Вспомним, с чего мы начали наш урок. Расширили свои знания и умения? Молодцы!

Отвечают на вопросы учителя

Оценивают свою работу

Отвечают, высказывают свое мнение.

А

В

С

D

E

F