Школьная олимпиада по математике для учащихся 5–11 классов

5 класс

1. В записи (88888888) нужно поставить знаки сложения таким образом, чтобы получилась сумма, которая будет равна 1000.

2. Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 143, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?

3. Три яблока, четыре груши и один персик стоят 40 руб. Одно яблоко, четыре груши и персик стоят 32 руб. Сколько стоят одно яблоко, одна груша и один персик, если персик стоит столько, сколько стоят два яблока?

4. Расшифруйте ребус:

   C И Н И Ц А

+ С И Н И Ц А

    П Т И Ч К И

5. Расположите 5 отрезков так, чтобы они имели 10 точек пересечения.

 6 класс

1. (15 баллов) Не выполняя деления, докажите, что значение выражения 35∙125+28∙125+63∙554 делится на 679.

2. (15 баллов) Какое наибольшее количество подарков можно составить, из 180 апельсинов, 240 шоколадок и 300 орехов. Из чего будет состоять каждый из подарков?

3. (20 баллов) Сумма первой и второй сторон треугольника равна 50 см, второй и третьей –52см, а первой и третьей – 58см. Найдите периметр треугольника.

4. (20 баллов) В лагере отдыха 35% всех детей – девочки, а остальные – мальчики, которых на 252 больше, чем девочек. Сколько всего детей в лагере?

5. (30 баллов) Точки А, В и С принадлежат одной прямой. Точки М и К – середины отрезков АВ и АС. Сравнить длины отрезков ВС и МК. Ответ объясните.

7 класс

1. (15 баллов) Из корзины взяли 3 яблока, затем треть от остатка, потом еще 3 яблока. После чего в корзине осталась половина от исходного количества яблок. Сколько яблок было в корзине первоначально?

2. (15 баллов) Если некоторое число увеличить на 15%, то получим 207. На сколько процентов нужно уменьшить это число, чтобы получить 126?

3. (20 баллов) На доске написано число 321321321321. Какие цифры надо стереть, чтобы получить наибольшее возможное число, которое делится на 9?

4. (20 баллов) Докажите, что значение выражения 967 – 225 – 486 кратно 10.

5. (30 баллов) Вася, Коля, Петя, Саша – ученики 4-го, 5-го, 6-го и 7-го классов – отправились в лес по грибы. Пятиклассник не нашел ни одного белого гриба, а Петя и ученик четвертого класса – по 8 штук. Вася и пятиклассник нашли много подосиновиков и позвали Колю в свою компанию. Семиклассник и Коля смеялись над Петей за то, что он сорвал мухомор. Кто в каком классе учится?

8 класс

1. (15 баллов) Решите уравнение: (х−у−4)2+(х+у+2)2=0.

2. (15 баллов) Рыночная цена картофеля сначала возросла на 20%, а через некоторое время уменьшилась на 20%. Когда картофель был дешевле: до повышения или после снижения цены?

3. (20 баллов) Масса 3 яблок и 2 апельсинов 255 г, а 2 яблок и 3 апельсинов – 285 г. какова масса одного яблока и масса одного апельсина?

4. (20 баллов) Точки А, В и С принадлежат одной прямой. Точки М и К – середины отрезков АВ и АС. Докажите, что ВС = 2МК.

5. (30 баллов) Решите систему уравнений: :

9 класс

1. (15 баллов) Решить уравнение в целых числах: х2– у2 = 105.

2. (15 баллов) Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 9 см, большая диагональ – 17 см, а высота – 8 см. Найти периметр трапеции.

3. (20 баллов) Доказать, что сумма трех последовательных степе­ней числа 2 делится на 7.

4. (20 баллов) Построить график функции

5. (30баллов) В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений оказалось полностью свободными. В следующий раз сидели 10 человек, а свободных сидений осталось 6. Сколько сидений в автобусе?

10 класс

1. (15 баллов) Решите уравнение (х − 4)∙(х − 7)∙(х − 5)∙(х − 6) = 1680.

2. (15 баллов) Вычислите − .

3. (20 баллов) Постройте график функции у = |х2 − 5х − 6|. При каком значении m прямая у = m имеет с графиком этой функции ровно три общие точки?

4. (20 баллов) Докажите, что 2013⁴ + 2012⁴ > 20133 ∙ 2012 + 2013 ∙ 20123.

5. (30 баллов) На сторонах ВА и ВС угла АВС соответственно последовательно отложены такие отрезки ВА₁, А₁А₂ и ВС₁ ,С₁С₂, ВА₁ ∙ ВА₂= ВС₁ ∙ ВС₂. Докажите, что угол А₁ТС₁ равен углу А₁А₂С₁, где Т − точка пересечения биссектрис углов АА₁С₂ и СС₁А₂.

11 класс

1. (15 баллов) В треугольнике с углом 120° стороны образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найти периметр треугольника.

2. (15 баллов) Решить уравнение 10+ 9 = 0.

3. (20 баллов) Вычислить без таблиц и калькулятора: + .

4. (20 баллов) В середине острого угла лежит точка М. Найти на сторонах угла такие точки А и В, чтобы периметр треугольника МАВ был наименьшим.

 5. (30 баллов) Некоторое натуральное число при делении на 5 и на 41 дает остатки, соответственно 3 и 2. Какой остаток будет при делении этого числа на 205?