Олимпиада по математике для учащихся 5 класса

Олимпиада

по математике для учащихся 5 класса

Задания, решения и критерии

1. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части по линиям сетки так, чтобы в каждой из частей была метка.

Ответ:

Критерии: Полностью верный пример разрезания – 7 баллов. Отсутствие примера или пример с ошибкой – 0 баллов.

2. На восьми карточках написаны числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4. Можно ли положить эти карточки в ряд так, чтобы между единицами лежала одна карточка, между двойками – две, между тройками – три, а между четверками – ровно четыре карточки?

Ответ. Да

Решение. Например, так: 4 1 3 1 2 4 3 2

Критерии: Оценок может быть только две: 0 баллов или 7 баллов.

3. Один пятиклассник зашифровал своё имя, написав вместо букв их номера в алфавите. Получилось вот что:

Его приятель решил зашифровать таким способом своё имя, и получил то же самое число, хотя звали его по-другому. Определите имена мальчиков. (В русском алфавите 33 буквы.)

Ответ:  Мальчиков зовут Вадик и Эдик.

Решение:  Поскольку номер буквы не может начинаться с цифры 0, в середине слова содержится буква с номером 10, то есть «И». После неё могут идти либо две буквы с номерами 1 и 2 – «АБ», либо буква с номером 12 – «К». В русском языке нет имён, заканчивающихся буквосочетанием «ИАБ». Поэтому последняя буква – «К».

Начинаться имя может либо с букв с номерами 3, 1, 5 – «ВАД», либо с букв с номерами 31, 5 – «ЭД», либо с букв с номерами 3, 15 – «ВН». В первых двух случаях получаем имена «ВАДИК» и «ЭДИК», в последнем случае получаем бессмысленную комбинацию букв.

Критерии: Верно указано имя одного мальчика и приведено корректное объяснение решения (что номер буквы не может начинаться с цифры ноль, что имя может начинаться с букв с номерами 3, 1, 5 или 31, 5 и т.д) – 3 балла. Верно указаны оба имении и приведено правильное объяснение – 7 баллов.

4. У нас есть большая пустая бочка и два  ведра – 5 литров и 8 литров. Расскажите, как с помощью этих вёдер набрать из реки в бочку ровно 19 литров воды.

Решение: Одно из решений такое. Нальем воду в восьмилитровое ведро. Отольем из него воду в пятилитровое ведро. Тогда в восьмилитровом останется 3 литра воды. Мы научились отмерять 3 литра воды. Заметим, что 19=3+3+3+5+5.

Таким образом, нужно три раза повторить приведенную выше операцию и два раза налить по 5 литров в большое ведро.

Критерии: Любой верный чётко описанный алгоритм переливания – 7 баллов. Особо внимательно следить за тем, чтобы в алгоритме не было недопустимых шагов (например, попыток отмерить какой-то объём «на глаз») – при наличии таких шагов считать, что верного описания алгоритма нет, ставить 0 баллов.

5. В Солнечном городе живут честные коротышки, которые всегда говорят одну только правду, и лукавые коротышки, которые всегда лгут. Встретились несколько коротышек из Солнечного города, и каждый заявил всем остальным: «Вы все – лукавые коротышки». Сколько честных коротышек могло быть среди них?

Ответ. 1

Решение. 0 не может быть, так как тогда все скажут правду, что невозможно. Больше одного тоже не может быть, так как тогда честные коротышки солгут. А вот ровно один честный как раз может быть.

Критерии: Есть верный ответ (хоть с демонстрацией того, что при этом выполняются нужные условия, хоть без этой демонстрации) – 2 балла. Верный ответ при наличии корректного обоснования – 7 баллов.

6. Во время прогулки по лесу Винни-Пух каждые 40 метров находил гриб. Какой путь он прошёл от первого гриба до последнего, если всего он нашёл 15 грибов?

Ответ:  560 м.

Критерии: Верный ответ без верного обоснования – 2 балла. Из решения видно, что автор понимает, что нужно считать промежутки между грибами (и что всего промежутков с 1 до 15 гриба не 15, а 14), но верный ответ не получен из-за арифметической ошибки – от 3 до 5 баллов. Верный ответ при наличии полного правильного решения – 7 баллов.

7. У 28 человек 6 класса на собрание пришли папы и мамы. Мам было 24, пап – 18. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и папа и мама?

Ответ. 14

Решение. Если бы у каждого ученика на собрание пришёл только кто-то один из родителей, то всего родителей было 28. Но их 24 + 18 = 42. «Превышение» получилось из-за того, что у некоторых детей пришли и мама, и папа. Это «превышение» равно 42 − 28 = 14. Значит, и мама, и папа пришли у 14 учеников.

Критерии: Верный ответ без верного обоснования – 2 балла. Верный ответ при наличии достаточных пояснений, как именно он получен – 7 баллов. Верная структура решения (с наличием пояснений), но неверный ответ из-за арифметической ошибки, – 3 балла.