Тез есептеу әдістері

Алматы облысы, Ескелді ауданы

«Бақтыбай Жолбарысұлы атындағы орта мектеп мектепке дейінгі шағын орталығымен» КММ

Жоба тақырыбы: Тез есептеу әдістері

Секция: Математика

Ғылыми жетекші: Нугусова А.Н.

Педагогика ғылымдарының докторы,

профессор ЖМУ

Жетекші: Сеитова А.С.

Математика пәнінің мұғалімі

Орындаған: Нурбеков И.А. 6 сынып

МАЗМҰНЫ

II. КІРІСПЕ

II. НЕГІЗГІ БӨЛІМ

Саусақпен санау

Жылдам көбейтудің, бөлудің әр түрлі әдістері

Сандардың квадраттарын табудың оңай әдісі

III. ҚОРЫТЫНДЫ

ІV. ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

VI. ҚОСЫМША

КІРІСПЕ

Қaзіргі заман тaлaптaрынa caй жacтaрғa білім және тәрбие беру, олaрды жaн-жaқты дaмыту ─ қоғaм aлдындa тұрғaн бacты міндеттердің бірі. Кез келген елдің білім беру жүйеcінің aлдындa қоғaм дaмуының қaй кезінде болмacын үлкен міндеттер тұрғaны белгілі. Өйткені білім беруді дaмыту aрқылы, мемлекеттің өcіп өркендеуіне жaқcы жол aшылaры cөзcіз. Мемлекеттің қaлыптacып, caяcи экономикaлық бaғыттaрдың дaмып гүлденуі, білім беру жүйеcімен тікелей бaйлaныcты болып отыр.

Математиканың күнделікті адам өміріндегі мәні орасан зор. Санай білмей, сандарды қосуды, азайтуды, көбейтуді, бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып адам қоғамының дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды. Арифметикалық төрт амал, ауызша және жазбаша есептеу ережелері бастауыш сыныптардан бастап оқылады. Бұл ережелерді бір адам ойлап шығарған немесе тапқан емес. Арифметика күнделікті практика талаптарынан, адамдардың еңбектеніп әрекет жасауындағы өмірлік мұқтаждықтарынан туған. Арифметика өте баяу және ұзақ уақыт дамыды.

Ұлaғaтты ұcтaздaр «Мaтемaтикa өмір тіршілігіне қaжет ғылым. Қоғaмдa тіл қaндaй қaжет болca, мaтемaтикa тілі де cондaй қaжет, ол тaбиғaттың тілі, оны cүйіп оқып үйреніңдер, cырын aшыңдaр, cыйлығын aлдындa күтіп тұр»,─ дегендей менде, өз зерттеуімді мaтемaтикaның бір бөлігіне aрнaдым.

Бүгінгі таңда білімге қойылатын талап өте жоғары. Білімгерлердің білімге деген қызығушылығын арттыру, ой-өрісін кеңейтіп, білімдерін нығайтуда математиканың атқаратын рөлі өте зор.

Тез есептеу әдістерін практикада қолдану, заман талабына сай заманауи технологияның дамуына үлкен үлес қосуда.

XXI ғасыр ─ жаңа технология ғасыры. XXI ғасырда тез есептеу әдістері өз қолданысын табады.

Зерттеу проблемасының өзектілігі ─ қазіргі кезеңде оқушыларға әрбір пән бойынша берілетін білімі барынша тереңдетіліп, сапасы және оларға қойылатын талаптар арта түсті. Еліміздің өркениетті елдер қатарынан көрінуі, ғылым мен техниканың дамуы үшін ғылым негіздерін тиянақты алып, оны дамытуға негізделген. Тез есептеу әдістері математикалық бағыттағы практикалық білік және кәсіби дайындығы үшін маңызды.

Зерттеу жұмысының мақсаты ─ тез есептеу әдістерін айқындап, оларды тиімді пайдалану; есептеу және жазуға кететін уақытты үнемдеу.

Зерттеу жұмысының міндеттері:

Бүгінгі күні қолдануға болатын ертедегі әдістерді қарастыру;

Тез есептеудің алгебралық және арифметикалық әдістерін зерттеу;

5 және 11 сыныптарда осы тақырып бойынша шебер-класс өткізу; тез есептеу әдістерін қолданғаннан кейін және қолдануға дейінгі нәтижелерін салыстыра отырып, анализ жасау.

Зерттеу жұмысының нысаны ─ тез есептеу әдістері.

Зерттеу пәні ─ есептеу процесі.

Зерттеу болжамы, егер математиканы оқыту процесінде тез есептеу әдістерін жан-жақты зерттеп, оларды тиімді пайдаланса, онда тез есептеу әдістерін практикада қолданысы кеңейеді және заман талабына сай заманауи ғылымның дамуына үлкен үлес қосады. Егер оқушыларға тез есептеу әдістерін қолдануды үйретсе, онда оқушылардың практикалық есептерін шығаруда үлкен көмек болары анық.

Зерттеу жұмысы кіріспе бөлімнен, негізгі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және қосымшадан тұрады.

Саусақпен санау

Адамдар санауды қалай үйренді? Мыңдаған жылдар бұрын біздің ата-бабаларымыз санауды білген жоқ. Алғашқыда адамдарға санауды үйрететін ешкім болған жоқ. Олардың ұстазы өмірдің өзі болды. Қоршаған ортаны бақылай отырып, алғашқы адамдар жеке заттарды бөліп алуды үйренді. Қасқырлар үйірінен олар біреуін – үйірдің көсемін, құстар тобынан – бір құсты, астық масағынан – бір дәнді бөліп алды. Осылайша көп заттың ішінен бір затты бөліп алу арқылы «көп» және «бір» деп ажыратты. Жұп заттардан тұратын (көз, қол, аяқ, қанат т.б.) көптеген заттарды жиі бақылау адамды екі саны туралы түсінікке алып келді. Санауға үйренуді өмірдің өзі талап етті. Аң аулау кезінде тайпа көсеміне аңшыларды аңды қоршап тұратындай тұрғызуға тура келді. Мысалы, екеуін – сол жаққа, екеуін – оң жаққа, алтауын – арт жаққа, т.б. Сөйтіп, көсемге санауға тура келді, егер ол санды қалай атауды білмесе, онда саусағымен көрсетті. Осылай саусақпен санау өмірлеріне енді. Менде саусақпен санаудың бірнеше әдістеріне тоқталғым келед.

Ең алдымен, тоғыз санының көбейту кестесін есте сақтаудың қызықты тәсілі. (1-сурет)

1-сурет

Бұл суреттен байқағанымыздай алғашқы қатарымыз төменгі саннан жоғарғы санға дейін өседі, ал екінші сан жоғарғы саннан төменгі санға дейін азаяды. Бұл тәсілді бастауыш сыныптарында қолдануға болады.

Жоғарыда атап өткендей ерте замандағы адамдардың саусақпен санау әдісін қарастырсақ.

9 санына көбейту ─ ... 9 санына көбейтуді саусақтарымыздың көмегімен орындап көрейік. Ол үшін алақанымызды төмен қаратып, ойша әр саусаққа солдан оңға қарай 1-ден 10 дейін тиесілі сан береміз. (2-сурет)

2-сурет

Мысалы, 9 санын 6 санына көбейту үшін 6 санындағы саусағымызды бүгіп, тоғызғы көбейтеміз. Бүгілген саусақтың сол жағы бізге ондықтарды, ал оң жақтағы саусақтарымыз бірліктерді көрсетеді. Сол жағымызда 5 саусақ, ал оң жағымызда ─ 4 саусақ. Сөйтіп, . (3-сурет)

3-сурет

6 саны мен 10 сандарының көбейтіндісі.

Оң және сол қолдарымыздың саусақтарына тиесілі сан ретін белгілейміз.

Кіші саусағымызға – 6 саны;

Сақина саусағымызға – 7 саны;

Ортаңғы саусаққа – 8 саны;

Нұсқаушы саусағымызға – 9 саны;

Үлкен саусағымызға – 10 санын белгілейміз. (4-сурет)

4-сурет

Енді 7 және 8 санын көбейтіп көрейік. Ол үшін сол қолымыздың №7 саусағымен оң қолымыздың №8 саусақтарын қосамыз. (5-сурет)

5-сурет

№7 саусағымен оң қолымыздың №8 саусақтарының астындағы саусақтарымыз ондықтар болып табылады. (6-сурет)

6-сурет

Ал, сол және оң қолдарымыздың жоғарғы саусақтарымыз – бірліктер. Онда . (7-сурет)

7-сурет

Орта ғасырдағы арифметикада саусақтармен санауға байланысты, римдік автор Боэцийден (480-524) бастап, сандар «саусақтарға» (бірліктерге), «буындарға» (ондықтарға) және «құрама сандарға» (басқа қалған сандарға) бөлінетін еді. Бұл сияқты атаулар Л.Ф.Магницкийдің «Арифметикасында» да кездеседі: «саусақтар», «буындар» және «құрамалар». Француздар осы уақытқа дейін бірліктерді «саусақтар» деп атаған. Жоғарыда көрсетілгендей саусақтармен шексіз санаулар жүргізуге болады.

1917=(4+2)20+13+1020=120+3+200=323

Саусақтарды бүгіп санау ерте заманда кең қолданылып келді. Адамның саусақтары мен олардың буындары, сондай-ақ саусақтарын бүгу және жазу, қолдарын бүгу мен жазу олардың ондаған және жүздеген мыңға дейін санай алуына ғана емес, сол сияқты кейбір арифметикалық амалдарды орындауына да мүмкіндік берді.

2. Жылдам көбейтудің, бөлудің әр түрлі әдістері.

11-ге көбейтілетін санның соңғы цифрын жазамыз. Тізбектей оңнан солға қарай цимфрларының қосындысын табамыз, содан соң көбейтілетін санның бірінші цифрын жазамыз.

Мысалы: 54×11=594

а) 4-ті жазамыз

б) 4+5=9 жазылады

в) 5-ті жазамыз

№1. 32×11=352 теңдігі көрсетілген. (8-сурет)

8-сурет

№2. 124×11=1(1+2)(2+4)4=1364

Егер көрші цифрлардың қосындысы 9-дан артық болса, бірлігі жазылып, ондығы ойға алынады, келесі қосындыға бір саны қосылады.

Мысалы: 58×11=638

а) 8-ді жазамыз

б) 5+8=13 3-ті жазып, 1- ді ойға аламыз.

в)5+1=6, 6- ны жазамыз.

№3. 3765×11=41415

а) 5-ті жазамыз.

б) 5+6=11,1-ді ойға аламыз.

в) (6+7)+1=14, 4-ті жазып,1-ді ойға аламыз

г) (7+3)+1=11, 1-ді жазып,1-ді ойға аламыз

д) 3+1=4, 4-ті жазамыз.

11 санына көбейтудің тағы бір амалын қарастырайық.

Мысалы, бұл жерде алғашқы санның артына 0 санын жазып, сол санның өзін қосамыз.

№1.

№2.

№3.

№4.

Екі таңбалы санды 11-ге көбейту ережесін пайдаланып, 111, 1111, 11111, ... т.б. сандарына көбейту.

Оңнан солға қарай тізбектей бірінші көбейткіштің соңғы цифрын жазу керек. Содан кейін цифрларының қосындысы, соңында көбейгіштің бірінші цифрын жазу керек.

Мысалы:

№1. 42×111=4(4+2)(4+2) =4662

№2.

№3.

№4. 68×111=7548

а) 8-ді жазамыз

б) 6+8=14, 4 –ті жазып 1-ді ойға аламыз

в) 6+8+1=15,5-ті жазып,1-ді ойға аламыз.

г) 6+1=7

Егер алғашқы сандардың қосындысы 10-нан аз болса, онда цифрларды 2,3,...т.б жылжытып қосындылдарын жазамыз.

Мысалы:

№1. 24 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (2 қадам жылжыттық)

№2. 24 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (3 қадам жылжыттық)

№3. 81 11111= 8 (8+1) (8+1) (8+1) (8+1)1= 899991 (4қадам жылжыттық)

№4. 72 111111 = 7999992 (5қадам)

Егер бірлік санымыз 7 болса, онда біздің қадамымыз 6-ға тең болады.

№5. 61 11111111 = 677777771

№6. 721111111111111=79999999999992

Екі санның қосындысы 10-нан көп болса, былай орындалады.

48 111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 +1) (2+1) 28 = 5328. Осындай жағдайда алдынғы санға 1 қосамыз.

№7. 56 11111 = 5(5+6)(5+6)(5+6)(5+6)6 = 5(11)(11)(11)(11)6 = 622216

№8. 67 1111 = 6(6+7)…7 = 6(13)…7 = 74437

түріндегі көбейтуді (- кез келген бүтін сан) ауызша есептеуге мысал келтірейік. Мысалы, 2465, ол үшін бірінші көбейгішті 2-ге бөліп, екіншісін 2- ге көбейтейік, сонда:

түріндегі көбейтуді () орындау. Ол үшін бірінші көбейткішті 100- ге көбейтіп, нәтижесін 4-ке бөлеміз.

Мысалы:

түріндегі көбейтуді () орындау. Ол үшін бірінші көбейгішті 1000-ға көбейтіп, нәтижесін 8- ге бөлсе болғаны.

Мысалы:

Берілген санды ; ; () түріндегі санға бөлу. Сәйкесінше, бөлінгішті 2-ге, 4-ке, 8 –ге көбейтіп, нәтижесін 10-ға, 100-ге 1000-ға бөлеміз, мысалы:

Санды 25- ке бөлудің орнына 100-ге бөлу оңай, ал жүздің ішінде 25 4 рет бар демек, ол 100-ден 4- есе аз, сондықтан нәтижесін 4-ке көбейту керек.:

999-ға, 333-ке, 111-ге, 37-ге, 27-ге бөлінгіштік белгілері.

Берілген сан 999-ға, 333-ке, 111-ге 37-ге, 27-ге бөлінуі үшін оңнан солға қарай үш- үштен санағанда алғашқы үш бөліктің қосындысы, одан кейінгі үш юөліктің қосындысына тең болса және олар 999,333,111,37, 27-ге бөлінетін болса, ол осы сандарға бөлінеді.

Мысалы 776223-ті тексеріп көрейік: 223+776=999; 999=3= 9111= демек, берілген сан 999-ға да, 333-ке де, 11-ге де, 27-ге де бөлінеді.

1001 санын үш орынды, екі орынды кез-келген санға көбейтсек, сол үш орынды, екі орынды санды екі рет қайталап жазғандай нәтиже береді.

Мысалы:

Бұл қарапайым былай есептеледі.

10101 санын екі орынды кез- келген санға көбейтсек, сол екі орынды санды үш рет қайталап жазғандағы нәтижені береді.

Сандардың квадраттарын табудың оңай әдісі

Бүгінгі ғылыми - технологияның дамуына байланысты адамзат баласы ой және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардың түр-түрін ойлап табуда. Мысалы, қазіргі кезде электронды есептеу машинасын қолдана отырып, кез келген күрделі есептің шешімін аз ғана уақыт аралығында табуға болады. Тіпті, қарапайым есептеу құралы - калькулятордың өзі бүгінгідей нарық заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұның бәрі адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады.

Алайда, қалыптасқан жағдайдың пайдасымен қатар зияны да жоқ емес. Атап айтқанда, бүгінде кез- келген оқушының қарапайым көбейту кестесін біле бермеуі мүмкін.

Ғылымның дамуы шығармашылық өнермен тығыз байланысты. Шығармашылық өнер дегеніміз - күтпеген сенсациялық жаңалық ойлап табу ғана емес, сонымен қатар, бұрыннан белгілі жағдайдың бұрын көңіл бөлінбеген мәселелерге үңілу. Мәселен, 100 санының квадратын еш ойланбастан табу ешкімге де қиындық тудырмасы мәлім. Ал, 99 санының квадратын ешқандай құралдың, кестенің көмегінсіз есептеу үшін математиктің өзі біршама ойланған болар еді. Алайда, осы 99 санының квадратын да еш қиындықсыз тез арада есептеуге болады екен. Берілген жағдайда 100 санының квадраты 10000 екені белгілі. Енді, сол 10000 санынан 99 және 100 сандарын айырамыз.

992=1002-100-99=9801 (1)

Сонымен, бізге қажетті 99 санының квадраты 9801 екнін аса қиналмай-ақ тауып алдық. Енді, осы қолданған тәсіліміз қандай да бір заңдылыққа бағына ма жоқ па, соны іздестіріп көрейік. Егер, бізге қажетті 99 санын (х-1)2 десек, 99 санын х-1, ал 100 санын х деп белгілейміз. Сонымен, алдыңғы өрнекті былай жазуға болады:

(х-1)2 =x2-(x-1)-x (2) өрнекті түрлендірсек, (х-1)2=х2-2х+1 (3)

Демек, берілген өрнек (а-b)2=a2-2ab+b2, яғни,айырымның квадраты заңдылығының

в=1 жағдайы болып табылады.

Сонымен, жоғарыда келтірілген өрнекке қарап отырып келесі анықтаманы қабылдауға болады.

Анықтама1. Қатар екі санның соңғысының квадраты белгілі болған жағдайда алдыңғы санның квадраты белгілі болған жағдайда алдыңғы санның квадраты кейінгі санның өзін айырғанға тең болады.

Аталған анықтаманы керісінше де айтуға болады, яғни берілген жағдайда 101 саның квадратын табу үшін 1-өрнекті былай жазуға болады:

1012 =1002+101+100=10000+201=10201 (4)

яғни, (х+1)2=х2+(х+1)+х (5)

(х+1)2=x2+2x+1 (6)

6-өрнек ( а+б)2 = a2+2ab+b2, қосындының квадраты заңдылығының b=1 болғандағы салдары болып табылады.

Анықтама 2. Қатар екі санның алдыңғысының квадраты белгілі болған жағдайда кейінгі санның квадраты алдыңғы санның квадратына алдыңғы сан мен сол санның өзін қосқанға тең болады.

Сонымен жоғарыда атап көрсетілгендей, кез-келген санның квадраты белгілі болған жағдайда, сол санның алдындағы және артындағы сандардың квадраттарын өте оңай тәсілмен есептеуге болады екен. Дегенмен, біз қабылдаған анықтамалар тек қатар тұрған сандар үшін берілген. Енді аталған заңдылықтарды басқа да сандар үшін қолдану мүмкіншілігін іздестіріп көрелік. Айталық, бізге 91-109 сандарының квадратын 100 санын қолдана отырып табу қажет болды делік. 91-98 сандарының квадраттарын 100 саны арқылы табу үшін, 1-өрнекті былай жазылады:

982=1002-(100+98)* 2

972=1002(100+98)*3

912=1002-(100+91)*9

Сонымен, 2, 3 - өрнектер мынадай жалпы түрге ие болады:

(x-a)2=x2-(x+(x-a))a (7)

(x-a)2= x2-2ax+a2 (8)

мұндағы, х- квадраты белгілі сан; а- квадраты белгілі сан мен квадраты анықталатын сан айырымы; мысалы, 98 саны үшін 100-98=2

Жоғарыда келтірілген 4-өрнек 102-109 сандары үшін былай жазылады:

1022=1002+(100+102) ×2=10404

1032=1002+(100+103) ×3=10609

1092=1002+(100+109) ×9=11881

Демек, 4-өрнекті былай түрлендіруге болады:

(x+a) 2=x2+ ((x+a) +x) ×a

(x+a) 2 = x2+2ax+a2

Мысалы, 17 санының квадратын табу үшін 8-өрнекті былай жазуға болады:

172=202-(20+17) ×3=400-111=289

Яғни, 17 санының алдындағы квадраты оңай есептелетін сандардың ең жақыны 15, ал соңындағы сандардан 20-ны алу тиімдірек.

Сонымен,11- өрнек бойынша:

172=152+(15+17) ×2=225+64=289

Сөйтіп, жоғарыдағы анықтамаларды былай жалпылауға болады.

Квадраты белгілі санның алдындағы кез-келген санның квадраты сол санның квадратынан сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, айырғанға тең болады және керісінше, квадраты белгілі саннан кейінгі кез-келген санның квадраты сол санның квадратына сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, қосқанға тең.

Сонымен, кез-келген санның квадратын қолдана отырып, сол санның маңайындағы сандардың квадраттарын оңай және ұтымды түрде табуға болады екен.

Іс жүзінде осы тәсілді игерген оқушы есептеу кестесі мен калькулятордың көмегінсіз- ақ кез-келген саның квадратын еш қиналмай табылатыны сөзсіз.

5 пен аяқталатын сандардың екінші дәрежесін есептеу үшін 25- ті соңына жазып, ондықты өзінен кейінгі санға көбейтіп шыққан нәтижені жазамыз.

ҚОРЫТЫНДЫ

Қорыта келе, жоғарыдағы анықтамаларды былай жалпылауға болады.

Жүргізілген теориялық және эксперименттік зерттеу жұмыстарының нәтижелері мынадай қорытынды жасауға мүмкіндік берді:

Тез есептеу әдісін практикада қолдану маңыздылығын көрсеткім келді.

Нәтижесінде тез есептеу әдістерін қолдану арқылы оқушылардың математика пәніне қызығушылығы артады, ойлау қабілетін, есте сақтау, зеректігін дамытады.

Зерттеу кезінде әрбір оқушының мүмкіндігі бар екеніне көзім жетті. Оқушылардың тез есептеу әдісін өмірде де қолдануға болатыны анық.

Сонымен,кез-келген санның квадратын қолдана отырып, сол санның маңайындағы сандардың квадраттарыноңай және ұтымды түрде табуға болады екен.

Іс жүзінде осы тәсілді игерген оқушы есептеу кестесі мен калькулятордың көмегінсіз-ақ кез-келген санның мәнін еш қиналмай есептеуі анық.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1.Перельман Я.И. Қызықты алгебра

2.Математика анықтамалығы

3. «Мектептегі матеметика»

4. «Информатика, физика,математика» журналдары.

5. Г.И.Глейзер «Мектептегі математика тарихы»

6. Интернет желісі