"Весь курс геометрии 8 класс в ОГЭ"
Весь курс геометрии 8 класса в ОГЭ
Четырехугольники
Виды четырехугольников параллелограмм Равнобедренная трапеция прямоугольник квадрат Произвольный четырехугольник ромб трапеция Прямоугольная трапеция
Свойства и признаки параллелограмма = = Противоположные стороны попарно равны. Противолежащие углы попарно равны. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180⁰ α β α+β=180⁰ Диагонали точкой пересечения делятся пополам. = Каждая диагональ делит параллелограмм, на два равных треугольника, обе на четыре равновеликих треугольника(одинаковой площади). Точка пересечения диагоналей является центром симметрии. = =
Площадь параллелограмма Через сторону и опущенную не нее высоту. α Через две прилежащие стороны и угол между ними. Через диагонали и угол между ними.
Свойства и признаки ромба Все стороны равны. Диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обе диагонали являются биссектрисами внутренних Углов. Прямые, содержащие диагонали, являются осями симметрии. = = = = Ромб – это параллелограмм у которого все стороны равны.
Площадь ромба В любой ромб можно вписать окружность. α Через сторону и высоту. Через стороны и угол ромба Через диагонали
Свойства и признаки прямоугольника Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма. Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Перпендикуляры к сторонам проходящие через их середины, являются осями симметрии.
Площадь прямоугольника Около любого прямоугольника можно описать окружность. a b d R a b Через стороны d d γ Через диагональ и угол между диагоналями.
Свойства и признаки квадрата Квадрат – прямоугольник у которого все стороны равны. Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Площадь квадрата Около квадрата можно описать окружность. В квадрат можно вписать окружность. а R r r а а d Через сторону. Через диагональ.
Трапеция. Свойства трапеции. Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны Основания, а две другие не параллельны (боковые стороны0 a,b – основания трапеции , a||b m, n – боковые стороны d₁,d₂ - диагонали трапеции h- высота a b m n Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна 180⁰ α β γ σ α+β=180⁰ σ+γ=180⁰ b a M N = = h =
Свойства трапеции A B C D O Треугольник АОВ и DОС образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики. A B C D O Треугольники АОD и СОВ образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны. AOD∾ COB
Площадь трапеции Любую равнобедренную трапецию можно вписать в окружность. a b m n h Через полусумму оснований и высоту Через диагонали и угол между ними
Вариант 1 Вариант 1 Один из углов равнобедренной трапеции равен 43°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Один из углов равнобедренной трапеции равен 74°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. 1
Вариант 1 Вариант 1 Один из углов прямоугольной трапеции равен 51°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Один из углов прямоугольной трапеции равен 82°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. 2
Вариант 1 Вариант 1 Один из углов параллелограмма равен 61°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Один из углов параллелограмма равен 33°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 3
Вариант 1 Вариант 1 Один из углов параллелограмма равен 102°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Один из углов параллелограмма равен 91°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 4
Вариант 1 Вариант 1 Один из углов ромба равен 62°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Один из углов ромба равен 35°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах. 5
Вариант 1 Вариант 1 Один из углов ромба равен 104°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Один из углов ромба равен 93°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах. 6
Вариант 1 Вариант 1 Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=14, BD=18, AB=5. Найдите DO. Вариант 2 Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=16, BD=20, AB=5. Найдите DO. 7
Вариант 1 Вариант 1 Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=8, AB=9. Найдите AC. Вариант 2 Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=11, AB=10. Найдите AC. 8
Вариант 1 Вариант 1 В ромбе ABCD угол ABC равен 40°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 В ромбе ABCD угол ABC равен 84°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. 9
Вариант 1 Вариант 1 Сторона ромба равна 14, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба. Вариант 2 Сторона ромба равна 18, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба. 10
Вариант 1 Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 33° и 13° соответственно. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 62° и 9° соответственно. Ответ дайте в градусах. 11
Вариант 1 Вариант 1 В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA=40° и ∠BDC=24°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA=30° и ∠BDC=110°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 12
Вариант 1 Вариант 1 Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 102°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 46°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. 13
Вариант 1 Вариант 1 Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах. 14
Вариант 1 Вариант 1 В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание. Вариант 2 В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание. 15
Вариант 1 Вариант 1 В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание. Вариант 2 В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание. 16
Вариант 1 Вариант 1 Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 40° и 35°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 25°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 17
Вариант 1 Вариант 1 Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 18
Вариант 1 Вариант 1 Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 11. Найдите длину основания BC. Вариант 2 Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 10 и 11. Найдите длину основания BC. 19
Вариант 1 Вариант 1 Диагональ прямоугольника образует угол 44° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах. Вариант 2 Диагональ прямоугольника образует угол 86° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах. 20
Вариант 1 Вариант 1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали. Вариант 2 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали. 21
Часть 2
Вариант 1 Вариант 1 Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=4, CK=19. Вариант 2 Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=9, CK=15. 1
Вариант 1 Вариант 1 Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите углы ромба. Вариант 2 Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба. 2
Вариант 1 Вариант 1 Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка L — середина стороны AB. Докажите, что DL — биссектриса угла ADC. Вариант 2 Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD. 3
Площадь. Теорема Пифагора.
Теорема Пифагора В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ КВАДРАТ ГИПОТЕНУЗЫ РАВЕН СУММЕ КВАДРАТОВ КАТЕТОВ c2 = a2 + b2 c b a
Вариант 1 Вариант 1 Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника. Вариант 2 Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника. 1
Вариант 1 Вариант 1 В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 20 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника. Вариант 2 В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 12 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника. 2
Вариант 1 Вариант 1 Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите медиану этого треугольника. Вариант 2 Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите медиану этого треугольника. 3
Вариант 1 Вариант 1 Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите биссектрису этого треугольника. Вариант 2 Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите биссектрису этого треугольника. 4
Вариант 1 Вариант 1 Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите высоту этого треугольника. Вариант 2 Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите высоту этого треугольника. 5
Вариант 1 Вариант 1 Медиана равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника. Вариант 2 Медиана равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника. 6
Вариант 1 Вариант 1 Сторона квадрата равна 9√2. Найдите диагональ этого квадрата. Вариант 2 Сторона квадрата равна 6√2. Найдите диагональ этого квадрата. 7
Вариант 1 В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции. Вариант 2 В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции. 8
Вариант 1 Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника. Вариант 2 Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника. 9
Вариант 1 Вариант 1 Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке. Вариант 2 Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке. 10
Вариант 1 Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 16. Вариант 2 Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 14. 11
Вариант 1 Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 20 и 6. Вариант 2 Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 34 и 4. 12
Вариант 1 Периметр квадрата равен 24. Найдите площадь этого квадрата. Вариант 2 Периметр квадрата равен 44. Найдите площадь этого квадрата. 13
Вариант 1 Вариант 1 Периметр ромба равен 48, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба. Вариант 2 Периметр ромба равен 12, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба. 14
Вариант 1 Сторона ромба равна 4, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1. Найдите площадь этого ромба. Вариант 2 Сторона ромба равна 5, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите площадь этого ромба. 15
Вариант 1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба. Вариант 2 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба. 16
Вариант 1 Вариант 1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь. Вариант 2 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь. 17
Вариант 1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь. Вариант 2 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь. 18
Вариант 1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. Вариант 2 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. 19
Вариант 1 На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=10. Площадь треугольника ABC равна 39. Найдите площадь треугольника ABD. Вариант 2 На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=6, DC=8. Площадь треугольника ABC равна 42. Найдите площадь треугольника ABD. 20
Вариант 1 Вариант 1 Основания трапеции равны 3 и 5, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции. Вариант 2 Основания трапеции равны 4 и 12, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции. 21
Вариант 1 Сторона квадрата равна 5. Найдите площадь этого квадрата. Вариант 2 Сторона квадрата равна 10. Найдите площадь этого квадрата. 22
Вариант 1 Вариант 1 Площадь параллелограмма ABCD равна 128. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC. Вариант 2 Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC. 23
Вариант 1 Площадь параллелограмма ABCD равна 164. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE Вариант 2 Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE 24
Вариант 1 Два катета прямоугольного треугольника равны 14 и 5. Найдите площадь этого треугольника. Вариант 2 Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника. 25
Вариант 1 Вариант 1 Площадь параллелограмма равна 36, а две его стороны равны 6 и 12. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту. Вариант 2 Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту. 25
Вариант 1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите её площадь. Вариант 2 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите её площадь. 26
Вариант 1 Вариант 1 Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну пятого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах. Вариант 2 Пожарную лестницу длиной 17 м приставили к окну шестого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 8 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах. 27
Вариант 1 Вариант 1 Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 3,2 м от земли. Длина троса равна 4 м. Найдите расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте в метрах. Вариант 2 Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 4,8 м от земли. Длина троса равна 6 м. Найдите расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте в метрах. 28
Вариант 1 Вариант 1 Флагшток удерживается в вертикальном положении при помощи троса. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 1,6 м. Длина троса равна 3,4 м. Найдите расстояние от земли до точки крепления троса. Ответ дайте в метрах. Вариант 2 Флагшток удерживается в вертикальном положении при помощи троса. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 4,2 м. Длина троса равна 7 м. Найдите расстояние от земли до точки крепления троса. Ответ дайте в метрах. 29
Вариант 1 Вариант 1 Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 4,4 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 3,3 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах. Вариант 2 Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 3,6 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 1,5 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах. 30
Вариант 1 Вариант 1 Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если её верхний конец находится на высоте 2,4 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,8 м. Ответ дайте в метрах. Вариант 2 Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если её верхний конец находится на высоте 3,5 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м. Ответ дайте в метрах. 31
Часть 2
Вариант 1 Вариант 1 Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=12, BF=9. Вариант 2 Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=15, BF=8. 1
Вариант 1 Вариант 1 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны. Вариант 2 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны. 2
Вариант 1 Вариант 1 Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=15 и CH=2. Найдите высоту ромба. Вариант 2 Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=16 и CH=4. Найдите высоту ромба. 3
Вариант 1 Вариант 1 Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции. Вариант 2 Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание BC равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции. 4
Вариантт1 Вариантт1 Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3. Вариант 2 Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9. 5
Вариант 1 Вариант 1 Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=24. Вариант 2 Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD=29. 6
Подобные треугольники. Применение подобия к доказательству и решению задач.
Признаки подобия треугольников A В С A₁ В ₁ С₁ По двум пропорциональным сторонам и углу между ними Первый признак A В С Второй признак A₁ В₁ С₁ По двум углам A В С A₁ В₁ С₁ По трем пропорциональным сторонам Третий признак
Прямая, параллельная стороне треугольника отсекает от него треугольник подобный данному. Прямая, параллельная стороне треугольника отсекает от него треугольник подобный данному.
Треугольники АОD и СОВ, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия - Треугольники АОD и СОВ, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия -
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенной между катетом и и высотой, проведенной из вершины прямого угла .
Вариант 1 Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 48, сторона BC равна 57, сторона AC равна 72. Найдите MN. Вариант 2 Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 83, сторона BC равна 62, сторона AC равна 104. Найдите MN. 1
Вариант 1 Вариант 1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC. Вариант 2 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC. 2
Вариант 1 Вариант 1 Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=24, CM=15. Найдите AO. Вариант 2 Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=27, CM=9. Найдите AO. 3
Вариант 1 Вариант 1 Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=6, CM=9. Найдите ON. Вариант 2 Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=24, CM=18. Найдите ON. 4
Вариант 1 Вариант 1 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=24, AC=21, MN=14. Найдите AM. Вариант 2 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=24, MN=18. Найдите AM. 5
Вариант 1 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=30, MN=12. Площадь треугольника ABC равна 25. Найдите площадь треугольника MBN. Вариант 2 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=16, MN=12. Площадь треугольника ABC равна 80. Найдите площадь треугольника MBN. 6
Вариант 1 Вариант 1 На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=2, BH=8. Найдите CH. Вариант 2 На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=4, BH=16. Найдите CH. 7
Вариант 1 Вариант 1 Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=3, AD=5, AC=24. Найдите AO. Вариант 2 Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=4, AD=9, AC=26. Найдите AO. 8
Вариант 1 Вариант 1 На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м? Вариант 2 На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м? 9
Вариант 1 Вариант 1 Проектор полностью освещает экран A высотой 140 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 380 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах Вариант 2 Проектор полностью освещает экран A высотой 190 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 380 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах. 10
Часть 2
Вариант 1 Вариант 1 Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=13, DC=65, AC=42. Вариант 2 Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=12, DC=48, AC=35. 1
Вариант 1 Вариант 1 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=11, AC=44, NC=18. Вариант 2 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28. 2
Вариант 1 Вариант 1 Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. Вариант 2 Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 28. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. 3
Вариант 1 Вариант 1 Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. Вариант 2 Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 16 и 34. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. 4
Вариант 1 Вариант 1 Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=7, AC=28. Вариант 2 Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=8, AC=32 5
Вариант 1 Вариант 1 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=25, BC=15, CF:DF=3:2. Вариант 2 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=44, BC=24, CF:DF=3:1. 6
Вариант 1 Вариант 1 Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны. Вариант 2 Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны. 7
Вариант 1 Вариант 1 Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Вариант 2 Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD=15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. 8
Вариант 1 Вариант 1 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны. Вариант 2 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны. 9
Вариант 1 Вариант 1 В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны. Вариант 2 В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что треугольники AB1C1 и ABC подобны. 10
Вариант 1 Вариант 1 Углы при одном из оснований трапеции равны 39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3. Найдите основания трапеции. Вариант 2 Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции. 11
Вариант 1 Вариант 1 В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания. Вариант 2 В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания. 12
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
СИНУСОМ ОСТРОГО УГЛА прямоугольного треугольника называется отношение противоположного катета к гипотенузе А В С КОСИНУСОМ ОСТРОГО УГЛА прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету
- синус альфа А В С - косинус альфа - тангенс альфа ТАНГЕНС УГЛА равен отношению синуса к косинусу этого угла
А В С если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны А1 В1 С1 - по первому признаку
- основное тригонометрическое тождество А В С Докажем, что
Вариант 1 Вариант 1 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=7, AB=25. Найдите sinB. Вариант 2 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=24, AB=25. Найдите sinB. 1
Вариант 1 Вариант 1 В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=14, AB=50. Найдите cosB. Вариант 2 В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=72, AB=75. Найдите cosB. 2
Вариант 1 Вариант 1 В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=15, AC=3. Найдите tgB. Вариант 2 В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, AC=27. Найдите tgB. 3
Вариант 1 Вариант 1 В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=5/8, AB=16. Найдите AC. Вариант 2 В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=3/5, AB=10. Найдите AC. 4
Вариант 1 Вариант 1 В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=4/7, AB=21. Найдите BC. Вариант 2 В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=3/8, AB=64. Найдите BC. 5
Вариант 1 Вариант 1 В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=9/7, BC=42. Найдите AC. Вариант 2 В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=8/5, BC=20. Найдите AC. 6
Вариант 1 Вариант 1 Синус острого угла A треугольника ABC равен Найдите cosA. Вариант 2 Синус острого угла A треугольника ABC равен Найдите cosA. 7
Вариант 1 Вариант 1 Косинус острого угла A треугольника ABC равен Найдите sinA. Вариант 2 Косинус острого угла A треугольника ABC равен Найдите sinA. 8
Вариант 1 Вариант 1 Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке. Вариант 2 Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке 9
Окружность
Окружность. Касательная к окружности. касательная радиус диаметр хорда секущая Отрезок соединяющий две точки окружности -хорда Хорда проходящая через центр - диаметр Отрезок соединяющий центр с любой точ
