Бином Ньютона

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Гимназия №4»

г. Великий Новгород

Тема проектной работы

«Формула Бином Ньютона»

Тип проекта: научный, индивидуальный

Проект выполнили: Власова Ульяна

9В

Руководитель проекта: Андрианова Ирина Александровна

учитель математики

2020 год

Великий Новгород

Введение

Во время уроков математики в 7и 8 классах мы проходили формулы сокращенного умножения и изучали их применение . И во время урока у меня возник вопрос, есть ли формула, которая может возвести выражение (двучлен) в любую степень. Учитель сказала, что есть такая формула, я заинтересовалась и решила, что изучу этот материал сама и расскажу одноклассникам. На классных часах учительница познакомила нас с проектной работой.

На мой взгляд, будет актуальным создание презентации с различной информацией о формуле Бинома Ньютона.Эта презентация поможет школьникам решить проблему с усвоением материала дома, потому что в ней будет собрана вся информация с примерами и интересными задачами. Данная презентация сэкономит время учеников в поиске информации и понимании материала.

Данный проект будет представлен в виде презентации.

Цель проекта: Обобщить формулы сокращенного умножения, показать их применение к решению задач

Задачи проекта: 1. С помощью сети Интернет и учебников изучить тему «формула Бинома Ньютона».

2. Составить презентацию по данной теме

3. Создать и решить задачи по данной теме 4. Внести все данные в презентацию. 5. Провести корректировку проделанной работы, улучшить дизайн презентации.

Основная часть

Теоретическая часть

Формула Бином Ньютона

Слово бином означает «Два числа». В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных».

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (англ.), жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\dots +{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+\dots +{n \choose n}b^{n}}Где( {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}=C_{n}^{k}} — биномиальные коэффициенты,n{\displaystyle n} — неотрицательное целое число.

В математике биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона  {\displaystyle (1+x)^{n}} по степеням x. Коэффициент при {\displaystyle x^{k}} обозначается {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} или {\displaystyle \textstyle C_{n}^{k}} и читается «биномиальный коэффициент из n по k»

Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных действительных чисел {\displaystyle a}a. В случае произвольного действительного числа {\displaystyle a}a биномиальные коэффициенты определяются как коэффициенты разложения выражения {\displaystyle (1+x)^{a}} в бесконечный степенной ряд:

{\displaystyle (1+x)^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {a}{k}}x^{k},}Для неотрицательных целых a все коэффициенты с индексами k>a в этом ряду являются нулевыми (т.е. {\displaystyle \textstyle {\binom {a}{k}}=0}), и поэтому данное разложение представляет собой конечнуюсумму .

В комбинаторике биномиальный коэффициент ( {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} )для неотрицательных целых чисел n и k интерпретируется как количество сочетаний из n по k, то есть количество всех подмножеств (выборок) размера k в n-элементном множестве.

Биномиальные коэффициенты часто возникают в задачах комбинаторики и теории вероятностей. Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты.

Цель презентации:Собрать в себе полную информацию о формуле Бином Ньютона для самостоятельного изучения.

Практическая часть

Выбирая тему для проекта, я сразу подумала о своих одноклассниках, которым тяжело освоить информацию на уроке. Вспомнила друзей и поняла, что утверждение «Я забыла, что мы проходили на уроке» стоял очень остро. Также очень важен был вопрос о времени и поиске информации. Например, «Удобно ли мнезаходить на сотни сайтов, чтобы найти достоверную и понятную информацию».И я решила посвятить этой теме проект.

Чтобы понять, будет ли проект актуален, я задала себе вопрос «Что ученики думают про дополнительную информацию в сети «Интернет»?». Я провела социальный опрос среди учеников 4 Гимназии, чтобы ответить на вопрос.

Выбор темы, которой будет посвящена презентация, был очень прост. Мы как раз на математике прошли эту тему, и мне стало очень интересно исследовать это в дальнейшем.

Исследовав результаты опроса, я пришла к выводу о том, что ученики хотят как можно быстрее находить понятную и в полном размере информацию, и ученикам не хватает такой информации в интернете.

После я начала думать, что из себя будет представлять проект. Это будет буклет, сайт, книжка или презентация. Остановилась на выборе презентации. И с этого момента, у меня началась «добыча» информации. Сначала я искали информацию о формуле Бинома Ньютона в интернете, это заняло около недели. Потом я решила взять учебники с нашей школьной библиотеке и изучить материал. И начала аккуратно составлять важную и полезную информацию в изучении этой темы.

Но у меня были трудности, не вся информация была достоверна. Некоторые сайты интернета были не совсем точны, и тут я поняла, что делаю проект на правильную тему. Изучив все досконально, я начала оформление презентации. Я справилась с этой проблемой, я сравнивала информацию из учебника и интернета и выбирала ту информацию, которая находилась во всех источниках моего поиска. Так, и получился идеальная презентация, с точной и достоверной информацией о формуле Бинома Ньютона.

Источники информации

https://ru.wikipedia.org

https://урок.рф