Практическая тетрадь по алгебре на тему «Комбинаторика и бином Ньютона» (10–11 классы)

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА»

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанной теме. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.

Тема: КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

I. Основные элементы комбинаторики

1.Размещения.

Размещениями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение по k элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие размещения:

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

Число всех возможных размещений, которые можно образовать из n элементов по k , обозначается символом и вычисляется по формуле:

(всего k множителей).

Пример:

2.Перестановки.

Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.

Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки:

abc, bac, cab, acb, bca, cba.

Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом

(Произведение n первых целых чисел обозначается символом “n!” и читается “n факториал”)

Пример:

Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

3.Сочетания.

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания:

ab, ac, bc.

Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом

, (в числителе и знаменателе по k множителей).

Пример:

Полезные формулы: 1) 3)

2) 4)

3. Общие правила комбинаторики.

Правило суммы. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B- k способами, то объект «A или B» можно выбрать n+k способами.

Например, в ящике находятся 20 шаров: 5 белых, 6 черных, 7 синих и 2 красных. Сколькими способами можно взять из ящика один цветной шар?

Решение: Здесь предполагается, что цветной шар - это синий или красный, поэтому надо применять правило суммы. Цветной шар можно выбрать 7 + 2 = 9 способами.

Правило произведения. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B

Независимо от него – k способами, то пару объектов «A и B» можно выбрать n·k способами.

Например, в меню имеется 4 первых блюда, 3 вторых и 2 третьих. Сколько различных полных обедов можно из них составить?

Решение: Полный обед состоит из первого, и второго, и третьего блюд. По правилу произведения получаем 4 · 3 · 2 = 24 различных полных обеда.

II. Бином Ньютона.

Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b) в виде многочлена. Эта формула имеет вид:

– биномиальные коэффициенты

Формулу можно записать в сокращенном виде: ,

где - знак суммы, - число сочетаний из n элементов по m: .

Из формулы разложения бинома Ньютона формула

Составим таблицу значений для n ,m = 0,1,2,3,4,5,6,7.

n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 . . . . . . .

1 1 1 . . . . . .

2 1 2 1 . . . . .

3 1 3 3 1 . . . .

4 1 4 6 4 1 . . .

5 1 5 10 10 5 1 . .

6 1 6 15 20 15 6 1 .

7 1 7 21 35 35 21 7 1

Эту таблицу можно неограниченно продолжать вниз и вправо. Она называется треугольником Паскаля. Еще удобнее ее записывать в виде равнобедренного треугольника.

 

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Такой треугольник Паскаля обладает свойством: каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним, поэтому таблицу можно без труда продолжать вниз, не прибегая к вычислению числа сочетаний. Нам знакомы формулы:

(a + b) = a + b;

(a + b) = a + 2ab + b;

(a + b) = a + 3ab + 3ab + b.

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно

Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n

Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии)

Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна

Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна

7.Правило Паскаля:

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Основные элементы комбинаторики

Пример 1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение:

Пример 2. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

Решение:

Пример 3. В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: способов.

Пример 4. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных

Решение:

б) старосту и его заместителя

Решение:

Пример 5. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три.

Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются.

Пример 6. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

Решение:

1) .

2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти .

3) .

Пример 7. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Пример 8. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?

Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять.

переставляются, 4 определенные книги можно переставлять . Тогда всего перестановок по правилу умножения будет

Пример 9. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных.

Решение: .

Белые шары

Черных шаров

Тогда

Пример 10. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый участник сыграл с каждым по одной партии, а партий было сыграно в 10 раз больше числа участников.

Решение: Если участников - n человек, партий будет сыграно штук.

Составим уравнение , решив которое, найдем:

В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях – не учитывается.

Бином Ньютона

Пример 1.Записать разложение 4-й степени бинома

Решение: Коэффициенты разложения берем из 4-й строки треугольника Паскаля и используем формулу Ньютона:

Пример 2. Записать разложение .

Решение: Используем 5-ю строку треугольника Паскаля.

Пример 3. Найдите член разложения , содержащий .

Решение: Из формулы разложения бинома Ньютона формула член имеет

вид : .

Запишем общий вид разложения:

По условию, , т.е.

Отсюда находим и искомый член

.

 

III. Комбинаторные методы решения задач.

Пример 1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение: На последнем месте может стоять одна из 10 цифр: от 0 до 9. Значит,

Пример 2. На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?

Решение. Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов:

Событие А = {после открытия карточек получится слово «КРОТ»}:

(только один вариант расположения букв – «КРОТ»)

Пример 3. Cлучайным образом одновременно выбираются две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что:

1) обе они согласные;

2) среди них есть «ъ»;

3) среди них нет «ъ»;

4) одна буква гласная, а другая согласная.

Решение. Исходы – все возможные пары букв русского алфавита без учета порядка их расположения; общее число возможных исходов

Рассмотрим события:

1) А={ обе выбранные буквы – согласные}. Поскольку в русском языке 21 согласная буква, 10 гласных и 2 буквы («ь», «ъ») не обозначающие звуков), то событию А благоприятствует исходов.

2) В={среди выбранных букв есть «ъ»}. Выбор твердого знака , выбор второй буквы из оставшихся .

3) С={среди выбранных букв нет «ъ»}.

4) D={среди выбранных букв одна буква гласная, а другая согласная}.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "5 из 36" Ответ: 376 992

2. Домашнее задание по литературе состоит в том, чтобы выучить одно из трех стихотворений: "Анчар", "Буря" и "Вьюга". Миша, Никита и Олег решили распределить все три стихотворения между собой по одному. Сколько существует способов это сделать? Ответ: 6

3. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова "книга"? Ответ: 120

4. Найдите вероятность того, что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера — это цифры 2, 3, 1 в произвольном порядке. Ответ:

5. Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?

Ответ: 5040

6. В классе 20 учеников. Учитель решил проверить домашнюю работу у 6 из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки? Ответ: 38 760

7. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника. Ответ:

8. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые. Ответ: 0,6

9. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой? Ответ:

 

10. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.
Ответ:

11. Имеется многочлен . Определите коэффициент при члене, содержащем , если выполнить все действия. Ответ: 550.

ТЕСТ №1

1. Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток?

А) 15; В) 60; С) 45; D) 120.

2. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить?

А) 25; В) 60; С) 20; D) 6.

3. Составить из трех букв А, В и С все сочетания по две буквы.

А) 12; В) 9; С) 6; D) 68.

4. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно

сделать?

А) 190; С) 120; С) 95; D) 150.

5. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?

А) 3220; В) 1250; С) 2520; D) 1260.

6. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома стояли рядом?

А) 10080; В) 12080; С) 9860; D) 11230.

7. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

А) 1 546 123; В) 214 569; С) 11 456 130; D) 17 417 400.

8. Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно

составить посылку из 3 книг и 5 журналов?

А) 360360; В) 250346; С)125369 ; D) 12368.

9. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что Антон набрал верный номер?

А) 0,5; В) ; С) ; D) 0,35.

10. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные – девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки.

А) ; В) ; С) ; D) .

ТЕСТ №2

1. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "6 из 45" ?

А) 75 230; В) 8 145 060; С) 10 230 000; D)50 250 018 .

2. Составить все размещения из трех букв А, В, С.

А) 6; В) 8; С) 12; D) 15.

3. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы так, чтобы в одной группе было 4, а в другой - 11 человек?

А) 968; В) 1200; С) 1456; D) 1365.

4. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома не стояли рядом?

А) 26 854; В) 32 278; С) 30240; D) 25 234.

5. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

А) 1956; В) 1236; С) 2160; D) 2112.

6. Сколькими способами можно разбить множество из 20 элементов на два подмножества

так, чтобы одно содержало 3 элемента, а другое – 17?

А)1011; В) 1225; С) 998; D) 1140 .

 

7. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?

А) 256; В) 300; С) 320; D) 405.

8. Сколькими различными способами можно разложить 8 монет различного достоинства

в два кармана?

А) 198; В) 256; С) 320 ; D) 294 .

9. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти

цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные

цифры.

А) ; В) ; С) ; D) .

10. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что все три детали окажутся окрашенными.

А) ; В) ; С) ; D) .

ОТВЕТЫ

Тема: КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА