Гармонические четырехугольники

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей математики и информатики» Кировского Района города Саратова Гармонические четырехугольники Выполнил: ученик 9-1 класса Гусев Денис Витальевич Руководитель: учитель математики Злобина Элла Вячеславовна

СОДЕРЖАНИЕ Введение Основная часть Глава Ⅰ Глава II Заключение Список ресурсов

Введение Гармонические четырехугольники – крайне важная тема в геометрии. С помощью их свойств решаются наисложнейшие геометрические задачи. Например: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω1 треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω2 треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

Что же такое гармонический четырехугольник? Вписанный в окружность четырехугольник называется гармоническим, если произведения длин его противоположных сторон равны

Примеры гармонического четырехугольника дельтоид гармоническая трапеция

Гармонический четырехугольник имеет огромное количество свойств и 3 признака. Зная их, ряд геометрических задач, конечно же связанных с четырехугольниками, будет по силу каждому!

✎ Также важно знать о симедиане Симедиана — чевиана треугольника, луч которой симметричен лучу медианы относительно биссектрисы угла, проведенной из той же вершины.

Точка M — середина диагонали BD вписанного четырехугольника ABCD. Четырехугольник ABCD является гармоническим тогда и только тогда, когда ∠AMB=∠ADC Равенство углов BAM и CAD, как и равенство углов AMB и ADC равносильно подобию треугольников: △AMB ~ △ADC Кроме того, очевидные рассуждения показывают равенство углов AMD и ABC, а вместе с ним и подобие треугольников: △AMD ~ △ABC Из подобий заключаем равенство отношений соответственных сторон : BM ∕AM=CD ∕AD, DM ∕AM=CB ∕AB Принимая во внимание равенство отрезков BM и DM (M — середина BD), получаем соотношение CD ∕AD=CB∕AB Равносильное гармоничности: AB·CD = AD·CB