Исследовательская работа по математике на тему «Влияние использования приемов устного счета на ускорение вычислительных процессов»

Введение……………………………………………………………………………………………..2

Теоретическая часть

Раздел I. История счета……………………………………………………………………………..3

1.1.Краткая история искусства счета ………………..3

1.2.Старинные способы умножения у разных народов……………………………………….3

Практическая часть

Раздел II. Техника вычислений. Приемы и способы быстрого счета……………………………5

1. 2.1.Способы сложения и вычитания чисел……………………….…………………………...5

   2.2.Способы умножения чисел...…………………...…………………………………………..5

   2.3. Способы быстрого счета в десятичной системе счисления …………..………………...6

   2.4.Необычные способы умножения…………………………… ………..….………………..7

2.5. Способы устного возведения числа в квадрат……………………………………………8

Заключение………………………………………..………………………….……………………..9

Литература………………………………………………………………………………....………10

Приложение………………………………………………………………..…………………..…….I

Влияние использования приемов устного счета на ускорение вычислительных процессов

Васильев Вячеслав Олегович

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя школа №8»

Класс 6А

Введение.

Актуальность. Сегодня ребята заняты как никогда. Они проводят много времени в школе, потом бегут к репетиторам, посещают секции по интересам. Дети долго сидят над учебниками, в результате появляются проблемы со здоровьем. По данным ТКДН и защите их прав при администрации г. Нижневартовска у детей до 17 лет заболевания органов пищеварения 15,4 %; болезни нервной системы-14,3 %; болезни глаза – 12,7 %; болезни органов дыхания-9,4%. На уроках математики мне приходится делать много письменных вычислений. А ведь существует много приемов упрощения арифметических действий, т.е. приемы устного счета. Владение навыками устных вычислений представляет большую ценность ещё и потому, что приемы устного счета ускоряют письменные вычисления, делают вычисления рациональными. Наша учительница убедила нас в необходимости научиться считать быстро и правильно. На уроках она показала нам несколько способов, позволяющих облегчить выполнение арифметических действий. Я решил проверить на практике: действительно ли можно помочь классу считать быстро. Для начала решил найти в литературе другие приемы быстрого счета, овладеть ими и показать в классе. Учитель поддержала меня и сказала, что даст возможность на уроке проверить эффективность приемов счета и проверить мою гипотезу. Гипотеза: Если я изучу различные приемы устного счета и научусь их применять, тогда я смогу быстрее и лучше выполнять письменные вычисления и смогу сэкономить время на другие интересные для меня занятия. Именно поэтому, данную тему я считаю актуальной и, изучив все её аспекты, я обязательно научу приемам быстрого счета всех желающих.

Цель работы: изучить приемы устного счета, научиться их применять и показать необходимость их   использования для ускорения и оптимизации вычислительных процессов.

Задачи:

Собрать, изучить, систематизировать и освоить различные приемы выполнения устных вычислений.

Провести диагностику навыков быстрого счета у обучающихся 6-х классов.

Провести мастер-класс «Приемы быстрого счета» для обучающихся 6-х классов.

Составить буклет, содержащий алгоритмы ускоренных вычислений.

Объект исследования: счет. Предмет исследования: приемы устного счета. Методы исследования: сбор информации, анализ, синтез, работа с печатными материалами, анкетирование, эксперимент. Продукт: буклет алгоритмов ускоренных вычислений. Практическая значимость. Результаты исследования можно использовать на уроках математики

Влияние использования приемов устного счета на ускорение вычислительных процессов

Васильев Вячеслав Олегович

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя школа №8»

Класс 6А

Раздел I. История счета

1.1. Краткая история искусства счета.

В толковом словаре С.И. Ожегова дана следующая трактовка «Счет-результат чего-нибудь, выраженный в числах». Устный счёт — математические вычисления, производимые без помощи вспомогательных устройств и приспособлений.

Древние люди для счета предметы подсчитываемого множества соотносили с предметами определённой совокупности, например, подобной совокупностью служили пальцы рук, ног, засечки на деревьях, узелки на верёвках.

Древние письменные математические тексты относятся к началу двух цивилизаций древнего Востока – Египта и Вавилона. В этих источниках сохранились задачи, в которых требовалось умение выполнять расчеты. Счет у египтян был очень прост. Он состоял из умения складывать, умножать на 2, дополнять дроби до единицы. Для этого множитель представляли, как сумму тех или иных членов множества 1,2,4, 8, …, что всегда возможно. Для возведения в степень специальной терминологии не существовало. При вычислении 22 = 4 в Московском папирусе говорилось: «сделай эти 2 в прохождении, получится 4». Примерно 4000 лет назад египтяне составляли таблицы для выражений дробей через суммы аликвотных дробей – дробей, числитель которых равен 1, тема моей предыдущей работы.

Таблицы умножения тоже возникли давно. Ими пользовались вавилоняне, греки, римляне и другие народы. В средние века она получила название «Пифагоровой». До введения десятичной системы счисления она использовалась только для нахождения произведения малых чисел. Заучивание и запоминание её приобрело значение лишь с широким распространением десятичной позиционной системы. В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 приемов умножения. Наш нынешний способ умножения отображен там под названием «шахматного». Был также и очень интересный, верный, легкий, но объемный способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. Леонтий Филиппович Магницкий в старинном учебнике «Арифметика», которую Ломоносов называл «вратами своей учености», пользуется исключительно способом «галеры».

Много еще, можно затронуть интересных исторических фактов, но моя задача изучить разнообразные техники быстрых вычислений.

1.2.Старинные способы умножения у разных народов

1.Русский способ умножения. Если один из множителей четный, то поставим его на первое место. Будем 1-й множитель делить на 2, а 2-й умножать на 2. И делать так до тех пор, пока в частном не получится 1. Если 1-й множитель не делится на 2, то отнимем от него 1 и делим разность на 2. Строчки с двумя четными множителями вычеркиваем, а вторые множители оставшихся строк складываем.

Пример 1. 32*17 Пример 2. 21*17 (21-1=20,20:2=10)

16*34 10*34 вычеркиваем

8*68 5*68 (5-1=4, 4:2=2)

4*136 2*136 вычеркиваем

2*272 1*272

1*544 17+ 68+272=357

2.Индусский способ умножения.

Найдем произведение: 486*7. Запишем числа на расстоянии друг от друга. 4*7=28.

Запишем произведение над 486 так, чтобы его последняя цифра оказалась над первой цифрой указанного числа. 8*7=56. 5+28=33. Сотрем 28, запишем на месте числа 28 число 33, а 6 запишем над цифрой 8. 6*7=42 4+36=40. Запишем вместо 40 36, а 2 запишем над цифрой 6.

В результате получим 486*7=3402. 4

33 330

28 286 2862

486 7 486 7 486 7 487 7

Влияние использования приемов устного счета на ускорение вычислительных процессов

Васильев Вячеслав Олегович

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя школа №8»

Класс 6А

Практическая часть

Раздел II. Техника вычислений. Приемы и способы быстрого счета.

2.1. Способы сложения и вычитания чисел.

А) Способы сложения чисел.

1) Сложение путем последовательного прибавления к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших. 3745+637=3745+600+30=7=4382.

2) Сложение путем округления чисел. 96+47=? Заменим эту сумму другой. 100+47=147. Затем вычитаем излишне прибавленные 4 и получим 143, т.е. (96+4) +(47-4) =100+43=143.

3) Сложение с перестановкой слагаемых 3013+74+2187+126=(3013+2187)+(74+126)=5200+200=5400.

4) Сложение десятичных дробей. Находить устно сумму десятичных дробей следует подобно целым числам, начиная с высших разрядов: сначала поразрядно сложить целые части, затем-дробные десятичные доли.

Например, 8,4+6,51=(8,4+6)+0,5+0,001=(14,4+0,5)+0,01=14,9+0,01=14,91.

Б) Способы вычитания целых чисел.

1) Раздельное поразрядное вычитание:

674-243=(600-200)+(70-40)+(4-3)=431; 647-256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=391.

2) Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих: 813-65=(800-65)+13=735+13=748;924-396=(924-400)+4=524+4=428.

3) Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого:

97-48=(98-48)-1=49; 653-316=(653-313)-3=337.

2.2.Способы умножения чисел.

1) Особые случаи запоминания таблицы умножения.

Нам всем приходится пользоваться таблицей умножения, но я убежден, что не все её знают в полном объеме или просто сбиваются при расчетах. Есть несколько увлекательных способов запоминания таблицы умножения. Разберу способ запоминания таблицы умножения на 9. Запишем, сначала, левую часть, без ответов. Далее, в следующем столбце, начиная, со второй строки запишем цифры от 1 до 9. В соседнем столбце запишем цифры снизу вверх, начиная с цифры ноль до 9. Т.о. получим таблицу умножения на 9. Можно увидеть закономерность в сумме цифр, полученного результата.

2)2)Таблица умножения на пальцах.

а)Мысленно присвоим пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки. Предположим, надо умножить 9 на 8. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. Нужно загнуть палец с номером 8. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 7 пальцев не загнуто, справа - 2 пальца. Таким образом, 9·8=72.

б) Рассмотрим таблицу умножения на 6. Каждому пальцу на левой и на правой руке приписывается определенное число: мизинцу - 6, безымянному пальцу – 7и т.д.(Приложение I) Умножим 8 на 9.Соединим вместе средний палец левой руки (8) с указательным пальцем правой (9). А теперь считаем. На левой руке выше 8 оказались 2 пальца (указательный и большой), на правой выше 9 - один палец (большой). Эти пальцы будем называть «верхними». Остальные пальцы назовем нижними. В этом случае (89) получается 3 верхних пальца и 7 нижних. Найдем произведение 89. Для этого: 1) умножим количество нижних пальцев на 10, получим 710 = 70; 2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках, получим 21 = 2; 3) наконец, сложим эти два числа, получим ответ:70+2=72.

2.3.Способы быстрого счета в десятичной системе счисления

Вернемся к способам быстрого счета в десятичной системе счисления.

1) Рассмотрим способ разложения на множители:

1. Если оба множителя двузначные числа, можно мысленно разбить один из них на десятки и единицы, например: 5912 =59*(10+2) = 5910 + 592 = 590 +118 = 708.

2. Если один из множителей легко раскладывается на простые множители, то можно данный множитель увеличить, уменьшив другой множитель на это же число. Например: 6518, в данном случае 18 = 92, увеличим 65 в два раза и 18 уменьшим в два раза, получим выражение, легко вычисляемое устно: 6518 = (65*2) *(18:2) =1309 =1170.

3. Если один из множителей представляется в виде произведения простых множителей (Простые числа - числа, которые делятся без остатка на самого себя и единицу), удобно умножить их последовательно на данные множители,445 6 = 44523=8903 = 2670.

4. Применяя формулу сокращенного умножения (a+b)(a-b)=a2-b2, умножение можно выполнить следующим образом: 4951 = (50-1) (50+1)= 502-12=2500 -1 = 2499;

2) Способы умножения на дроби :

Пример 1. Чтобы умножить, например, число 49 на , необходимо к 49 прибавить его половину, т.е. 49= 49 + 24,5 = 73,5.

Пример 2. Чтобы умножить на , нужно к данному числу прибавить его четверть, например: 26 = 26 + 6,5 = 32,5.

Пример 3. Чтобы умножить число на дробь 2, можно число умножить на 5 и разделить на 2, например:182 = (185):2=90:2=45.

3) Способ умножения на 9.

Чтобы умножить число на 9 к нему приписывают ноль и отнимают само число, например: 739 = 730 – 73 = 657.

4) Способы умножения на 11.

1) Чтобы, устно, умножить число на 11, нужно это число умножить на 10 и прибавить само число, например: 5711 = 570 + 57 = 627.

2) Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

84 11 = 924, т.к. 8 + 4 = 12, 4311 = 473, т.к. 4+3=7.

5) Умножение двузначного числа на 101 и на 10101.

Припишите число к самому себе:1) 87 101 = 8787. 2) 59 10101 = 595959.

2.4. Необычные способы умножения.

В истории математики известно около 30 способов умножения, отличающихся схемой записи или самим ходом вычислений. Рассмотрим еще несколько способов умножения.

Пример 1. Необходимо быстро, в уме, умножить 12 на 13.

1.Для этого последнюю цифру сложить с первым числом: 3+12=15.

2.Затем умножаем число единиц первого числа на число единиц второго числа: 2*3=6

3.Записываем результат: 12 13 = 156

Пример 2. Необходимо быстро, в уме, умножить 13 на 17.

1.Необходимо последнюю цифру сложить с первым числом: 7+13=20.

2.Затем умножаем число единиц первого числа на число единиц второго числа: 3*7=21.

3.Далее выполняем запись, соблюдая разрядность.1317 = 221

20

+ 2 1

2 2 1

Пример 3. 2113 =273. Алгоритм: 1)Чертим линии соответствующие первому числу (2-е линии - десятки; 1 – единицы).2)Аналогично второму числу. 3)Затем считаем пересечение линий. Результат записываем против часовой стрелки. (Приложение I)

Пример 4. При умножении двух чисел с одинаковым числом десятков и суммой единиц, равной 10 нужно число десятков умножить на следующее натуральное число и к полученному числу приписать произведение единиц. Например, найдем произведение чисел 62 и 68. (Число десятков в обоих числах равно 6, сумма единиц - 10.)

Следующее натуральное число 7. Тогда 7 х 6 = 42.

Припишем к числу 42 произведение единиц 2 х 8 =16.

Получим 6268 =4216

Также хочется добавить в работу способы устного возведения в квадрат, что является необходимым при решении задач ОГЭ и ЕГЭ, а так же является хорошей тренировкой ума.

2.5. Способы устного возведения в квадрат.

Квадрат числа, оканчивающегося на 5. При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 5, нужно отбросить эту цифру 5, умножить полученное число на следующее натуральное число и к полученному результату приписать 25.

Пример 1. Найдем без помощи калькулятора квадрат 65.

67 =42. к числу 42 приписываем число 25, получаем 4225. Т.е. 652 = 4225.

Пример 2. 1352 → (1314) → к полученному результату припишем 25

Умножим устно 13 на 14 способом, описанным выше (пример 2)

13 14= 17

+ 12

182→приписываем 25→18225, т.о. 1352=18225.

Квадрат числа, близкого к 50. При возведении в квадрат числа, близкого к 50, число 50 играет роль опорного числа. 1) Определяется разность. 2) К этой разности прибавляется число 25. 3) К полученному результату приписываются два нуля, а затем добавляется квадрат разности.

Пример. Найдем без помощи калькулятора квадрат числа 47.Число 50 - это опорное число. Тогда разность равна 47- 50= -3 <0. 25 + (-3) = 22. Квадрат разности равен (-3)2=9. 472=2200+9=2209. Пример. Найдем без помощи калькулятора квадрат числа 64. Число 50-это опорное число. Тогда разность равна 64- 50 = 14 >0. 2.25 + 14 = 39. 142=196. Значит, 642= 3900 + 196 = 4096.

Квадрат числа, оканчивающегося на 1. При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.

Пример. 712 =? 71→70→702=4900→4900+70+71=5041=712.

Заключение

В нашу эпоху новейших технологий и всеобщего использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности.

При выполнении учебно-исследовательской работы, я получил глубокие знания, развил свои творческие способности, навыки исследовательской деятельности. Показал одноклассникам необходимость изучения техники быстрого счета и некоторые приемы его выполнения. Изученные мною методы устного счета развивают скорость вычислений, необходимы при изучении других предметов и при подготовке к ОГЭ по математике. Кроме того, быстрый счет развивает гибкость ума, приучая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и неординарные решения.

Таким образом, в ходе выполнения учебно-исследовательской работы я добился поставленных перед собой цели и задач. Мной составлен полезный буклет с алгоритмами, для облегчения работы обучающихся с подробными примерами и заданиями, которым могут пользоваться как ученики, так и учителя.

Моя гипотеза подтвердилась – знание, и использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить скорость и качество устного счета, что дает возможность сэкономить время на другие интересные занятия.

Список литературы:

1.Акимова С. Занимательная математика.-Санкт-Петербург, «Тригон»,1997-608с.

2.Бородин А. Из истории арифметики// Математика. (приложение к газете «Первое сентября»),1999, №9, с.2.

3.Вроблевский. Как научиться легко и быстро считать. - М.-1932.-132с.

4.Ожегов С.И. Словарь русского зыка:.М.:Рус.яз.,1989.

5.Перельман А.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета, Ленинград, 1941г.

6.Просветов Г.И. «Быстрый счет: задачи и решения» - М., 2008.

7.Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. Москва- М.: «Педагогика», 1989.

8.Сорокин А. С. Техника счета. М., "Знание", 1976.

9.Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка. //Математика в школе, №7, 2008,с.68.

10.Филиппов Г.В. Устный счет-гимнастика ума. // Математика. (приложение к газете «Первое сентября»),2000, №3, с.25.

11. Филиппов Г.В. Устный счет-гимнастика ума. // Математика. (приложение к газете «Первое сентября»),2001, №2, с.7.

12. Филиппов Г.В. Устный счет-гимнастика ума. // Математика. (приложение к газете «Первое сентября»),2001, №2, с.7.

13.Постановление ТКДН и защите их прав г. Нижневартовска от 24.03.2017г. №14.

Ресурсы:

1.http://ru.wikipedia.org/wiki

2. http://numbernautics.ru/

3. https://www.nkj.ru/archive/articles/19204/