Методы нахождения площади многоугольника на квадратной решетке
Автор публикации: А. Дронова, ученица 5Б класса
Слайд 1. Здравствуйте! Меня зовут Дронова Александра. Я ученица 5 «Б» класса. И сегодня представлю вашему вниманию исследовательскую работу по математике. Тема моей работы: «Методы нахождения площади многоугольника на квадратной решетке».
Введение.
Слайд 2. Математика – один из моих любимых школьных предметов. И увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так, при изучении темы «Площадь» учителем были предложены задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У меня возникли вопросы: существуют ли методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге, встречаются ли такие задачи на экзаменах по математике.
Моя учительница математики Елена Ивановна Полиёва посоветовала мне посетить сайты по подготовке к ВПР и к экзаменам выпускников 9 и 11 классов, посмотреть открытый банк заданий ВПР, ОГЭ и ЕГЭ.
Слайд 3. Оказалось, что задачи на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге встречаются на экзамене и они достаточно разнообразны:
ВПР – Задание №5. Нахождение площади.
ОГЭ – Задание №19. Фигуры на квадратной решетке.
ЕГЭ (профиль) – Задание №3. Квадратная решетка, координатная плоскость. Многоугольники: вычисление площадей.
ЕГЭ (база) – Задание №15. Планиметрия.
Вывод прост: каждый ученик должен уметь находить площадь фигур на квадратной решетке разными способами. В этом я вижу актуальность моей работы, а ее новизну в том, что один из способов не разбирается в школьных учебниках математики (формула Пика).
Слайд 4.
Цель работы:
Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о методах решения этих задач
Изучение формулы Пика
Задачи исследования:
Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную и понятную информацию.
Проанализировать и систематизировать полученную информацию.
Подобрать наиболее интересные и наглядные материалы.
Создать презентацию для представления собранного материала.
Разработать тренажер для отработки навыков по нахождению площадей фигур.
Сделать выводы по результатам работы.
Объект исследования. Многоугольники, изображенные на клетчатой бумаге.
Предмет исследования. Процесс вычисления площадей многоугольников различными методами.
Гипотеза. Существуют простые способы решения задач на нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, которые позволят легко справиться с заданиями ГИА (государственной итоговой аттестации – ОГЭ и ЕГЭ) по этой теме даже пятикласснику.
Методы исследования:
Изучение литературных и Интернет-ресурсов
Анализ, сравнение, обобщение и классификация
Методы нахождения площади многоугольника на квадратной решетке.
Решая задачи на уроках в классе и изучив литературу и Интернет-источники по теме, можно выделить несколько методов нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.
Рассмотрим некоторые из них.
Слайд 5.
Метод подсчета единичных клеток.
|
|
| Этот метод основан на свойстве площадей фигур – площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит. Но данный метод подходит только для фигур, которые построены из целых клеток или их половинок (2 половинке – это 1 целая клетка) |
|
| ||
| Слайд 6. | | |
|
| Вот такое решение задачи я нашла в сборнике тестов по математике для 5 класса «Тематические тесты. Промежуточная аттестация» под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. | |
Слайд 7.
Метод применения формул площадей.
|
| S = a b – площадь прямоугольника S = a2 – площадь квадрата S = a b:2 – площадь прямоугольного треугольника | В пятом классе мы познакомились с формулами нахождения площади следующих фигур: - прямоугольника - квадрата - прямоугольного треугольника |
|
| Нахождение площади сводится к нахождению нужных длин по клеточкам и выполнению расчетов по готовым формулам. | |
|
| Но данный способ не всегда применим, так как иногда невозможно определить длины нужных отрезков или данный многоугольник не знаком или вы забыли или не знаете формулу площади. | |
Слайд 8.
Метод разбиения на части.
|
|
| Фигура разбивается с помощью горизонтальных и вертикальных отрезков так, чтобы получились прямоугольники и прямоугольные треугольники. Площадь данного многоугольника будет равна сумме всех площадей фигур, полученных при разбиении. |
Слайд 9.
Формула Пика.
|
| Формула Пика позволит легко находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами. S = В + Г : 2 – 1 В – количество целочисленных точек внутри многоугольника Г – количество целочисленных точек на границе многоугольника Формула Пика очень удобна, когда сложно разбить фигуру на удобные многоугольники. |
Слайд 10.
Практическое задание. Посчитать площадь фигуры различными методами.
| На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь. |
|
| Использование формул геометрии | Разбиение фигуры на части | Формула Пика |
| Еще не знакомы с формулой нахождения площади трапеции. Проверил учитель: (9+5): 2 4 = 28 |
Разбили трапецию отрезками на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Площадь трапеции равна сумме площадей этих фигур. 14:2+54+34:2 = 28 |
S = В + Г : 2 – 1 В= 21, Г = 16 S = 21 + 16 : 2 – 1 = 28 |
Вот такие методы решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге удалось найти.
Таким образом, моя гипотеза, что «существуют простые способы решения задач на нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, которые позволят легко справиться с заданиями ГИА (государственной итоговой аттестации – ОГЭ и ЕГЭ) по этой теме даже пятикласснику» подтвердилась.
Для отработки различных методов нахождения площади я разработала тренажер.
Слайд 11.
Тренажер.
| На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите её площадь. | |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заключение.
Поработав с материалом и подготовив его к применению на практике, я сделала следующие выводы:
Существуют различные методы нахождения площади многоугольника.
Формула Пика самый универсальный метод решения задач данного типа.
Тренажер по отработке методов решения задач на нахождение площади даст возможность выбрать наиболее простой метод.
