Автор публикации: С. Мартьянова, ученица 7 класса
государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная школа имени полного
кавалера ордена Славы Петра Васильевича Кравцова с. Старопохвистнево
муниципального района Похвистневский Самарской области
Секция: Математика плюс информатика
Тема: Планета координат.
выполнили: Мартьянова Светлана, ученица 7 класса
руководитель: Потешкина Галина Владимировна,
учитель информатики и математики
с. Старопохвистнево
2019г.
Содержание
Введение……………………………………………………..……..3-4
Система координат в жизни человека……………………..……..5-7
История возникновения координат……………………..………..8-9
Система координат в математике ……………………..………….10
Понятие функции…………………………………………..………11
Из истории функции……………………………………….………12
Линейная функция и ее график…………………………………13-20
Табличный процессор……………..………………………………21
Заключение…………………………………..……………………..22
Литература………………………………..……………………23
Введение
Эпиграф
«Все науки связаны между собой,
как звенья одной цепи».
При изучении темы «Координатная плоскость» в 6 классе мы, вместе с одноклассниками, познакомилась с интересными заданиями на координатной плоскости. Они вызвали у нас большой интерес.
Все учащиеся нашего класса с удовольствием рисовали рисунки.
Мы научились понимать, что из абстрактных точек можно получить знакомый рисунок: изображали не только отдельные точки, но и любые предметы, животных, растения, даже целые сюжеты.
В 7-9 классах при изучении темы «Функция» при построении графиков на координатной плоскости тоже получаются забавные рисунки.
По информатике нас ожидает также интересная тема «Системы счисления». По программе положено (и в ГИА, ЕГЭ встречается) знание алгоритмов перевода чисел из одной системы счисления в другую. Просто так переводить числа довольно скучно, а для выработки прочного навыка необходимо большое число переводов. Можно перевести большое количество чисел как бы «играючи», если использовать координатную плоскость.
Проблема: А можно ли построить рисунки на координатной плоскости по координатам и с помощью графиков функций, используя компьютер?
Актуальность: Есть много нетрадиционных задач с новизной заданий, которые можно с успехом использовать при изучении темы «Координатная плоскость», но они не вошли в школьные учебники и методические пособия для учителя.
Мы решили заполнить пробел в учебниках и создать свой сборник задач под названием «Планета координат». В этом сборнике будут собраны многие интересные задания применимые как на уроках математики, так и на уроках информатики с использование компьютера и без него.
Объект и предметы исследования: математика («Координатная плоскость», «Функция»); информатика (OpenOffice.org Calc, программа «Рисуем по координатам»)
Классы: учебный проект предназначен для учеников 6-9 классов.
Цель проекта:
организовать поиск занимательных задач и создать сборник заданий на построение рисунков для работы на уроках математики и информатики.
Задачи:
Изучение литературы по истории возникновения координат и системы координат.
Применение координатного кодирования в жизни человека.
Подборка заданий для сборника.
Оформление материала проекта в виде сборника рисунков.
В работе над проектом использовались следующие методы:
Сбор задач и обработка информации.
Работа с источниками информации.
Работа с компьютером: OpenOffice.org Calc, программа «Рисуем по координатам».
Всё в этой жизни легко найти:
Дом чей-то, офис, цветы и грибы,
Место в театре, в классе свой стол,
Если будешь знать координатный
закон!
Система координат в жизни человека.
В речи взрослых мы часто слышим такую фразу: “Оставьте мне ваши координаты”. Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, которые и считаются в этом случае координатами человека.
Суть координат или, как обычно говорят, системы координат: это правило, по которому определяется положение того или иного объекта. Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Кроме почтовых адресов и номеров телефонов, мы знакомы с системой координат определяющей место в поезде (номер вагона и номер места).
Кодирование места в кинозале.
В кинотеатрах тоже существует кодировка мест: номер ряда и номер кресла в ряду. Это и есть координаты кресла в кинозале. На билете пишут: ряд 3 место 7.
Кодирование положения фигур на шахматной доске.
Если нужно записать ход шахматной партии, то пользуются следующим способом: обозначают горизонтальный ряд клеток цифрами от 1 до 8, а вертикальный ряд - буквами латинского алфавита a, b, c, d, e, f, g, h. Теперь положение любой клетки можно закодировать двумя ее координатами: по вертикали и горизонтали: е2, f5. Тогда можно записать любой ход: е2-е4.
Кодирование в играх.
Игра «Морской бой», где каждая клетка на игровом поле определялась двумя координатами - буквой и цифрой, аналогично и в шахматах.
Кодирование положения точки на местности.
Можно закодировать с помощью координат и положение объекта на местности. Для этого используют географические координаты - широту и долготу. Ориентация на местности Мореплаватели определяют свое положение с помощью двух приборов: секстанта, измеряющего угол солнца над горизонтом, и хронометра, показывающего время по Гринвичу. Сейчас для навигации используют компьютеры, обрабатывающие радиосигналы со спутников и наземных радиостанций.
Кодирование положения объекта над поверхностью земли.
Для летчиков важна еще одна координата - высота над уровнем моря. Для сложных вычислений удобно поместить начало отсчета трехмерной Декартовой системы координат в центр Земли.
Ориентация на местности применяется на туристических схемах для поиска достопримечательности или нужной улицы; при астрономических наблюдениях координатная сетка накладывается на небесный свод с Землей в центре.
Небесные координаты.
Небесные координаты определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере Координаты светил или точек задаются двумя угловыми величинами (или дугами), однозначно определяющими положение объектов на небесной сфере. На звездном глобусе изображаются не только звезды, но и сетка экваториальных координат. По сути дела, звездным глобусом является модель небесной сферы, которая используется на уроках астрономии в школе.
Даже в литературе встречаются координаты. Стихотворение Константина Симонова «Сын артиллериста».
Всю ночь, шагая как маятник,
Глаз майор не смыкал,
Пока по радио утром
Донёсся первый сигнал:
"Всё в порядке, добрался,
Немцы левей меня,
Координаты (3;10),
Скорее давайте огня!
Орудия зарядили,
Майор рассчитал всё сам.
И с рёвом первые залпы
Ударили по горам.
И снова сигнал по радио:
"Немцы правей меня,
Координаты (5; 10),
Скорее ещё огня!
Летели земля и скалы,
Столбом поднимался дым.
Казалось, теперь оттуда
Никто не уйдёт живым.
Третий сигнал по радио:
"Немцы вокруг меня,
Координаты (4; 10),
Не жалейте огня.
Майор побледнел, услышав:
(4;10) - как раз
То место, где его Лёнька
Должен сидеть сейчас.
История возникновения координат.
З
а 200 лет до нашей эры греческий ученый Гиппарх ввёл географические координаты. Он предложил нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить числами широту и долготу. С помощью этих двух чисел можно точно определить положение острова, поселка, горы или колодца в пустыне и нанести их на карту или глобус, Научившись определять в открытом мире широту и долготу местонахождения корабля, моряки получили возможность выбирать нужное им направление.
Восточную долготу и северную широту обозначают числами со знаком «плюс», а западную долготу и южную широту — со знаком «минус». Таким образом, пара чисел со знаками однозначно определяет точку на земном шаре.
Например, пара +70° , +60° определяет точку в центре острова Вайгач, расположенного в Карском море.
У писателя Жюля Верна, некоторые романы построены на ситуациях, связанных с географическими координатами. Это романы «Удивительные приключения дядюшки Антифера» и «Дети капитана Гранта».
Д
олгое время лишь география "землеописание" - пользовалась этим замечательным изобретением, и только в 14 веке французский математик Никола Орсем (1323-1382) попытался приложить его к "землеизмерению" - геометрии. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.
На основе этого удачного нововведения возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании этого метода принадлежит великому французскому математику Рене Декарту (1596 - 1650). В его честь такая система координат называется декартовой, обозначающая место любой точки плоскости расстояниями от этой точки до "нулевой широты" - оси абсцисс " и "нулевого меридиана" - оси ординат.
По традиции, введенной Декартом, "широта" точки обозначаются буквой x, "долгота" - буквой "y".
Системы координат в математике.
Существуют на плоскости и другие системы координат.
Ч
тобы ввести полярную систему координат, выбирают начальную точку, называемую полюсом (поэтому система и называется «полярной»); из этой точки проводят луч, называющийся полярной осью. Чтобы определить координаты точки на плоскости, ее соединяют отрезком с полюсом и вычисляют длину этого отрезка и угол между ним и полярной осью.
Существуют также координаты, задаваемые одним числом. Это координаты на прямой. Достаточно задать одно число — расстояние от точки до начала отсчета, чтобы указать на прямой положение этой точки. В жизни мы очень часто сталкиваемся с такими координатами.
Например, железная дорога с километровыми столбами вдоль нее или номера домов на улице.
Три координаты зададут положение точки в пространстве. Такая система координат называется сферической. Нужно выбрать некоторую плоскость и ввести на ней декартову систему координат, а нашей точке сопоставим координаты ее проекции на эту плоскость и расстояние от нее до плоскости, взятое со знаком плюс для одной половины пространства и со знакам минус — для другой; так мы получим декартову систему координат в пространстве.
Сферической системой координат обычно пользуются на аэродромах. Рядом с аэродромом ставят радиолокатор. Этот прибор умеет определять дальность до самолета, угол, под которым самолет виден над горизонтом, и угол между направлением на самолет и направлением на север.
Понятие «Функции».
Понятие «функция» является важнейшим в математике, с помощью функции описываются различные явления и процессы: физические, химические, статистические, природные и т. п.
Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления связаны между собой. Они ещё не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удаётся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере.
Сам термин «функция» возник лишь в 1664 году в работах немецкого учёного Г. Лейбница. Но Лейбниц всё-таки оставался в круге геометрических представлений. Только ученик Лейбница- И. Бернулли дал в 1718 году определение функции, свободное от геометрических образов: «Функцией переменной величины называется количество, образовано каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Гениальный ученик Бернулли- петербургский академик Леонард Эйлер определяет функцию так: «Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, принято называть их функциями».
Итак, знание законов природы дало человеку возможность объяснять и предсказывать её разнообразнейшие явления. «Математическими портретами» закономерности природы служит функция. В математике всякое правило, устанавливающее соответствие, называется функцией.
Из истории функций.
Слово «функция» (от латинского function- совершение, выполнение) Г. Лейбниц употреблял с 1673 г. В смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от х» стало употребляться Г. Лейбницем и И. Бернулли. Развитие понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика - несовершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.
Линейная функция и её графики
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.
Графиком линейной функции является прямая.
Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.
Частные случаи линейной функции
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у=кх, где х- независимая переменная, к- не равное нулю число.
Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функцией. Так как формула у=кх получается из формулы у=кх+b при b=0. Отсюда следует, что графиком прямой пропорциональности служит прямая. Это прямая проходит через начало координаты, так как при х=0 значение у равно 0. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координаты.
Д
ля построения графика прямой пропорциональности достаточно отметить какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.
При к=0 формула у=кх+b, которой задаётся линейная функция, имеет вид у=0х+b, у=b. Линейная функция, задаваемая формулой у=b, принимает одно и тоже значение при любом х.
Построим график функции у=-2.
Л
юбому значению х соответствует одно значение у, равное -2. Отметим две какие-нибудь точки с ординатой -2, например Р(0;-2)и N(4;-2), и проведём через них прямую. Прямая РN- график линейной функции у=-2.
Расположение графиков линейной функции в координатной плоскости
Расположение графиков функции у=кх в координатной плоскости зависит от к. Из формулы у=кх находим, что у=к. Значит, график функции у=кх проходит через точку (1;к). При к>0 эта точка расположена в первой координатной четверти, а при к<0- четвёртой. Отсюда следует, что при к>0 график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатной четверти, а при k < 0 – в четвертой. Отсюда следует, что при k > 0график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k < 0 – во второй и четвертой.
О
т коэффициента пропорциональности зависит угол, который построенная прямая образует с положительным направлением оси х. Если k >0, то этот угол острый (так обстоит дело на рис. 51с прямыми l1, l2, l3) если k<0, то этот угол тупой (так обстоит дело на рис 51 с прямой l3 имеем k = 1/3, для прямой l1 имеем k = 1, для прямой l2 имеем k = 2; при увеличении коэффициента k увеличивается и угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент k в записи у = kx называют не только коэффициентом прямой пропорциональности, но и угловым коэффициентом.
Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика всё время увеличивается, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастания и говорят так: если к>0, то линейная функция у=кх+m возрастает.
Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k<0, то линейная функция у=kx=m убывает.
Пересечения графика линейной функции с осью Оу зависит от коэффициента b.
Если b<0, то прямая слева графика линейной функции пересекает отрицательную полуось Оу, если b>o, то пересекает положительную полуось Оу.
Взаимное расположение графиков линейной функции
Графики двух линейных функций представляют собой прямые, которые либо пересекаются, либо параллельны.
Рассмотрим, например, графики функций, заданных формулами у= 0,9х – 1 и у = 0,8х + 1 с различными коэффициентами при х. Выясним, пересекаются ли эти графики.
П
ересечение графиков означает, что они имеют общую точку. В этом случае найдется такое значение х, которому соответствует одно и тоже значение у для обеих функций. Что бы найти это значение х, надо решить уравнение 0,9х-1=0,8х+1. Имеем: 0,9х -0,8х = 1+1, 0,1х=2, х=20.
При х равном 20 обе функции у = 0,9х-1 и у=0,8х+1 принимают одно и тоже значение, равное 17. Точка (20; 17) принадлежит как одному, так и другому графику. Такая точка только одна. Значит, прямые, являющиеся графиками функций у=0,9х-1 и у=0,8х+1, пересекаются.
Р
ассмотрим теперь линейные функции, заданные формулами у=0,5х+4 и у=0,5х-2 с одинаковыми коэффициентами при х. Что бы выяснить, пересекаются ли графики этих функций, надо решить уравнение 0,5х+4=0,5х-2. Так как это уравнение не имеет корней, то прямые, которые являются графиками функций у= 0,5х+4 и у=05х-2, не имеют общих точек, то есть они параллельны.
Графики 2 линейных функций заданных формулами вида у=кх+b, пересекаются, если коэффициенты при х различны, и параллельны, если коэффициенты при х одинаковы.
Графики двух линейных функций заданных формулами вида у=кх+b, пересекаются, если коэффициенты при х различны, и параллельны, если при коэффициенты при х одинаковы.
График линейного уравнения
Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах+bу=с, где х и у- переменные, а, b и с- некоторые числа.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.
Е
сли в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком такого уравнения является прямая. Посмотрим, например, уравнение 2x+0y = 12. Его решениями служат все пары чисел (х; у), в которых х =6, а у – любое число, например, (6; 2), (6; 0), (6; - 4,5). График уравнения состоит из всех точек, абсцисса которых равна 6, а координата – произвольному числу. Такие точки образуют прямую, проходящую через точку (6; 0) и параллельную оси у.
П
остроение графика линейной функции с помощью элементарных преобразований
Составление формул линейных функций по их графикам
Надо уметь переходить не только от аналитической модели у=кх к геометрической (графику прямой пропорциональности), но и от геометрической модели к аналитической.
Р
ассмотрим, например, прямую на координатной плоскости, изображенную на рисунке. Она является графиком прямой пропорциональности, нужно лишь найти значение коэффициента k. Так как k у/х, то достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение координаты этой точки к ее абсциссе. Прямая проходит через точку Р (3; 6), а для этой точки имеем: 6/3 = 2. Значит, k = 2, а потому заданная прямая линия служит графиком прямой пропорциональности у=2х.
Г
рафик линейной функции у=kх обычно строят так: берут точку (1; k) (если х=1, то из равенства у=kх находим, что у=k) и поводят прямую через эту точку и начало координат. Впрочем, в случае необходимости точку (1; k) можно заменить другой точкой, более удобной. На рисунке изображены графики линейных функций у=х (прямая l1), у= 2х (прямая l2), у=х/3 (прямая l3; здесь не очень удобно брать точку (1; 1/3), мы взяли точку (3; 1)), у=-2х (прямая l4).
На рисунке изображены графики линейных функций у=2х-4, у=2х+6. Оба они параллельны графику прямой пропорциональности у=2х, только первая прямая (у=2х-4) получается из прямой у=2х сдвигом вниз на четыре единицы масштаба, а вторая прямая (у=2х+6) получается из прямой у=2х сдвигом вверх на шесть единиц масштаба.
Справедлив следующий общий результат, который мы сформулируем в виде теоремы.
Прямая, служащая графиком линейной функции у=kх+b, параллельна прямой, служащей графиком прямой пропорциональности у=kх.
Рассмотрим пример на составление формулы линейной функции по ее графику.
1. Построим прямую CD параллельную заданной прямой АВ, проходящей через начало координат.
2
. Прямая CD является графиком прямой пропорциональности, значит, задается формулой у=kх. Для нахождения коэффициента k достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение k=у/х. Прямая проходит через точку D (1; 3), тогда k = 3/1=3. Поэтому прямая CD задается формулой у=3х.
3. Прямые AB и CD параллельны значит, прямая AB будет задаваться формулой у=3х+b.
4. Для нахождения коэффициента B достаточно взять координаты любой точки прямой и подставить в формулу у=кх+b и решить уравнение относительно b. Прямая AB проходит через точку B (-2; 3), тогда 3= 3*(-2)+b,
3+6=b,
b=9.
5. Таким образом прямая AB задается формулой у=3х+9.
Табличный процессор
Применение новых компьютерных технологий позволяет быстро и эффективно выполнять на практике действия и операции, использование которых ранее было трудоемким или недоступным. Одним из доказательств этого утверждения служат электронные таблицы (ЭТ). В ЭТ возможно использование следующих функций: нахождение максимума и минимума, подсчет общего количества, нахождение средних результатов, округление данных до желаемого разряда, нахождение случайного числа и пр. Электронные таблицы позволяют быстро и компактно заносить данные в таблицу, а также осуществлять расчет результатов. Новые возможности: данные в таблице могут быть изменены, что вызывает автоматический пересчет результатов.
Электронные таблицы позволяют максимально сократить временные затраты пользователя. Эстетический вид таблиц делает их понятными и легко воспринимаемыми для чтения при работе с ними пользователя. Электронные таблицы применяются для обработки, хранения, анализа информации.
Табличный процессор отличается:
доступностью;
простотой интерфейса;
универсальностью.
Программа имеет обширную библиотеку встроенных функций, разбитых на категории: финансовые, математические, статистические, логические и другие. Хотя табличный процессор и ориентирован, прежде всего, на зкономико-статистические расчеты, он позволяет с успехом проводить вычисления по многим другим разделам математики. Зачем нужно изучать математические возможности табличный процессор. Во-первых, математическую модель рациональнее решать теми средствами, какими она решается за наименьшее время. Во-вторых, математических приложений на компьютере может и не быть, а табличный процессор, скорее всего, есть.
Заключение
Нам было очень интересно работать над этой темой. Работу мы продолжим и дальше, так как можно самим придумать много разных рисунков по координатам. Главным итогом нашей работы над проектом стало создание сборника, которому дала название «Планета координат». В нем собраны интересные задания по теме проекта, которые будут полезными при изучении математики и информатики.
В свободное время тоже можно порисовать. Красивые рисунки будут получаться даже у тех учеников, которые не умеют хорошо рисовать, потому что эти задания просты по форме и разнообразны по внешнему выражению.
Выполнение таких заданий заставляют увидеть связь красоты и учебных предметов, которые кажутся сложными и «сухими», соприкоснуться с миром прекрасного. Применение такого подхода в процессе обучения даст свои плоды - уроки математики и информатики станут интересными и плодотворными.
Распределение заданий по уровням сложности и по прикладной тематике позволит выбрать ученику задания в соответствии со своими способностями и познавательными интересами.
Познавательной деятельности ученика большую привлекательность придает компьютер. З
Василек
адания такого типа развивают на уроках информатики логическое мышление, воспитывают чувство красоты, повышают интерес к предмету.Мы надеемся, что этот сборник будет пользоваться большим спросом у учеников и учителей, потому что задания можно применять на уроках математики при изучении темы «Функции и графики», «Координатная плоскость»; информатики – «Системы счисления», «Построение диаграмм» при изучении табличного процессора OpenOffice.org Calc.
Литература
В.А. Гусев, А.Г. Мордкович «Математика». Справочные материалы. М. «Просвещение», 1988
В.Г. Коваленко «Дидактические игры на уроках математики» М. «Просвещение» 1990
А. Савин. Координаты // Квант. 1977. №9
Сайт википедии http://ru.wikipedia.org/wiki
http://kykaraha.beon.ru/29386-228-risunki-na-koordinatnoi-ploskosti-poprobuite-jeto-prikol-no.zhtml
Журнал Математика в школе №10 от 2001 г.
Газета «Информатика» (имеются подшивки с 1999г).
Е.Н. Панфилова. Учебник «Excel и VBA». Бином. 2007г.
В.С. Крамор «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа» М. «Просвещение». 1990
А.Г. Мордкович «Алгебра 7 класс» М. «Мнемозина». 2002
К.П. Сикорский «Дополнительные главы по курсу математики» М. «Просвещение» 1974
Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова «Алгебра 7 класс». М. «Просвещение» 2001
6
Елена Вениаминовна Чурина