Автор публикации: К. Хамаганова, ученица 6Б класса
Комитет по образованию
Городская научно-практическая конференция для учащихся 5-7 классов Обыкновенное чудо
Тема работы: Происхождение уравнений
Номинация: математика
Автор: Хамаганова Ксения,6 б класс МАОУ СОШ №32
Консультант: Казазаева Е.Б., учитель математики МАОУ СОШ №32
г. Улан-Удэ
2019 г.
Оглавление.
1.Введение………………………………………………………………………………………..3
2.Происхождение уравнений……………………………………………………………………4
3. Решение уравнений……………………………………………………………………………6
4. Решение уравнений в Древней Греции и Индии……………………………………………7
5. Заключение…………………………………………………………………………………….8
6. Используемая литература…………………………………………………………………….9
1.Введение.
Тема происхождение уравнений выбрана мною потому, что в дальнейшем будут изучаться на уроках алгебры, которую будем изучать начиная с 7 класса. Алгебра − часть математики, принадлежащая, вместе с арифметикой и геометрией, к числу старейших разделов этой науки. Алгебра изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. В отличие от арифметики, эти величины обозначаются буквами, а не цифрами.
В ходе работы над этой темой я попыталась выяснить историю уравнений, для чего нужны и значение их в математике.
Цель исследования: Выяснить историю происхождения уравнений и значение в нашей жизни.
Задачи исследования: Узнать происхождение уравнений, рассмотреть ряд уравнений.
2.Происхождение уравнений.
Кто и когда придумал первые уравнения? Что такое уравнение?
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестные числа в уравнениях принято обозначать с помощью маленьких латинских букв, например, p, t, u и т.п., но наиболее часто используются буквы x, y и z.
Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3-4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные.
Математика как наука родилась в Древней Греции. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени. В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он решил в рациональных числах уравнение, систему уравнений, и т.д. (см. Диофантовы уравнения).
Большой вклад в развитие решения уравнений внес узбекский математик и астроном Мухаммед аль Хорезми (IX век). Кстати, название «алгебра» пошло от названия трактата Мухаммеда аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где он дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль-джебр» (восстановление), от которого алгебра получила своё название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений.
Многие математики занимались решением уравнений. Одним из них был французский математик Франсуа Виет. Франсуа Виет жил в XVI веке. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики, астрономии, ввел буквенные обозначения в уравнении. Громкую славу Ф.Виет получил при короле Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели сложную тайнопись, благодаря которой они вели переписку с врагами Генриха III даже в самой Франции. Никто не мог найти шифр. Тогда обратились к Виету. Виет нашел решение за две недели непрерывной работы ключ к шифру, после чего Франция стала неожиданно выигрывать у Испании одно сражение за другим. Будучи уверенными, в том, что шифр разгадать невозможно, обвинили Виета в связи с дьяволом и приговорили к сожжению на костре. К счастью, он не был выдан инквизиторам и вошел в историю как великий математик. Более подробно познакомимся с Виетом в старших классах.
Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) внес важный вклад в теорию уравнений. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени.
Сейчас алгебра как наука значительно расширилась и усложнилась. Однако элементарная алгебра по-прежнему, как и во времена древних египтян, является наилучшим тренажёром для развития мышления.
3.Решение уравнений
Что значит решить уравнение? Решить уравнение (найти корни уравнения) это значит, что нужно найти значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.
Корень уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Давайте рассмотрим некоторые уравнения.
Например: Уравнение с одной переменной. Нам нужно найти число, при подстановке которого вместо «х» в уравнение, получится верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения.
x:7+11=21
х:7=21-11
х:7=10
х=7
10
х=70 – корень уравнения. Проверим, подставив вместо х его числовое значение.
70:7+11=21
21=21 Уравнение решено верно.
Итак, при решении уравнений используются следующие свойства:
- Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному;
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Также с алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:
-В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
-В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
-К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
-Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
4. Решение уравнений в Древней Греции и Индии
В «геометрической алгебре» древних греков решение уравнений сводилось к построению отрезков, представляющих положительные корни уравнений. Зачатки новой, арифметической алгебры встречаются лишь у Диофанта.
Вот пример задачи из «Арифметики» Диофанта.
«Если прибавить к 20 и отнять от 100 одно и то же число, то полученная сумма будет в 4 раза больше разности. Найти неизвестное.»
В 1881 г. Была найдена зарытой в земле близ Бахшали (северо-западная Индия) рукопись неизвестного автора, которая как полагают, относится к VI-VIII вв. В этом памятнике, написанном на березовой коре и известном в настоящее время под названием «Бахшалийской рукописи», содержится такая задача:
« Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий- втрое больше второго, четвертый вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?»
Диофантовы уравнения (пример): 5x + 35y=40
Решение: Наибольший общий делитель (5, 35) = 5,
40 можно поделить на 5,
значит, у этого уравнения есть корни,
Например: x=1, y=1
Как бы мы могли решить это же уравнение в настоящее время:
5х+35у=40
выразим х через у и перенесем слагаемое 35у в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный и получим
5х=40-35у разделим обе части этого уравнения на 5 (наибольший общий делитель)
х=8-7у Данное уравнение равносильно первому.
Решением данного уравнения с двумя переменными будет пара чисел, обращающих это уравнение в верное равенство. (х=1, у=1)
5. Заключение.
Таким образом, при изучении данной темы я узнала, что уравнения появились в жизни людей в далеком прошлом и по сей день являются неотъемлемой частью жизни человека будь то ремонт или приготовление пищи. Узнала, что алгебра - это часть (раздел) математики, посвященная изучению уравнений, содержащих цифры и буквенные обозначения, которые представляют величины, подлежащие определению. В современном мире на помощь человеку пришли калькуляторы и компьютеры, но без знания математики не обойтись. Она развивает наш ум и логику, память и внимание, помогает в решении жизненных задач.
6. Используемая литература.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э-68 А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с.
История математики в школе. IV—VI кл_Глейзер Г.И_1981
Алгебра 7 класс / Ю.Н.Макарычев –М. Просвещение 2009
Научно-технический энциклопедический словарь.
