Презентация «Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция)»

Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Обратная функция

Определение: Суммой функций f(x) и g(x) называется функция (f+g)(x), которая для каждого x из множества X принимает значение f(x)+g(x). (f+g)(x)=f(x)+g(x), D(f+g)=D(f)∩D(G)

Определение: Разностью функций f(x) и g(x) называется функция (f − g)(x), которая для каждого x из множества X принимает значение f(x) − g(x). (f−g)(x)=f(x)−g(x), D(f−g)=D(f)∩D(g).

Определение: Произведением функций f(x) и g(x) называется функция (f  g)(x), которая для каждого x из множества X принимает значение f(x)g(x). (f g)(x)=f(x)  g(x), D(f  g)=D(f)∩D(g).

Определение: частным функций f(x) и g(x) называется функция (f / g)(x), которая для каждого x из множества X принимает значение f(x)/g(x). (f/g)(x)=f(x)/g(x), D(f/g)=D(f)∩D(g)∖Mg, Mg={x∈D(g):g(x)=0}.

пример1 Пусть даны функция и функция Сумма функций определяется так: Функция Область определения f(x) = 1 + √x — 2 [2; +∞) g(x) = x — 1 (-∞ +∞) (f + g)(x) = x + √x — 2 [2; ∞)∩(-∞ +∞) = [2; ∞)  

пример2 Пусть даны функция и функция Произведение функций определяется так: Функция Область определения f(x) = 3√x [0; +∞) g(x) = √x [0; +∞) (f*g)(x) = 3x, x ≥ 0 [0; +∞) ∩ [0; +∞) = [0; +∞)  

пример3 Пусть даны функция и функция g(x)=0 при x=-2 и x=0 Функция Область f(x) = x+100500 (-∞ +∞) g(x) = x*√2+x [-2; +∞) (f/g)(x) = (x+100500)/(x*√2+x), (-2; 0) ∩ (0; +∞)

Определение: Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (f ° g) (x) = f(g(x)).

Свойства сложной функции Чтобы можно было вычислить сложную функцию , надо, чтобы число g(x), т. е. значение функции g, попадало в область определения функции f .  

Пример4 Функция можно рассматривать как композицию функций ° Вычисляя значения функции , необходимо брать только те числа х, для которых ≥ 0, т. е. те, для которых числопопадает в область определения функции z = √у.  

Определение: Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f. Если функция g является обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g. Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

График обратной функции

Свойства взаимно обратных функций Тождества. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда : f(g(y)) = у и g(f(x)) = х. Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g. Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций. Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х.