Функция.
Свойства функции.
Выполнил:
учитель математики и информатики
МОУ СШ № 7 Волгограда
Изотова Ирина Юрьевна
План:
Определение функции.
Область определения. Область значений.
Способы задания функции.
Возрастание, убывание функции.
Ограниченность функции.
Наибольшее, наименьшее значения функции.
Выпуклость, вогнутость функции.
Четность, нечетность функции.
Элементарные функции, их свойства и графики.
Определение функции
Определение функции
Зависимость между двумя переменными х и у,
при котором каждому значению переменной х соответствует
единственное значение переменной у называют функцией .
Обозначают у = f(х),
где х – независимая переменная (аргумент),
у = f(x) – зависимая переменная (функция).
х2
х1
у2
у1
у
х
О
у
х
хо
у1
у2
О
хо
у1
у2
у
х
О
Не является функцией
Не является функцией
Является функцией
Область значений функции
х
у
О
Область значений функции
Множество всех значений функции у = f(х),
где х принадлежит Х (области определения).
Обозначение: Е(f) = [m;n]
Область определения функции
Множество всех допустимых значений х (аргумента, независимой переменной) при которых выражение имеет смысл.
Обозначение: D(f) = [а;b]
b
a
х
у
О
n
m
Способы задания функции
Табличный.
Аналитический (формулой)
у = 2х + 5;
f(x) =
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Описанием (с помощью естественного языка)
Например:
«Каждому отрицательному числу соответствует – 1, нулю – число 0, а каждому положительному – число 1»
Графический
х
у
Свойства функции
Возрастание
Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве D(f), если для любых двух точек х1 и х2 области определения, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(x1 ) < f(x2).
(Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции)
Убывание
Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве D(f), если для любых двух точек х1 и х2 области определения, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(x1 ) > f(x2).
(Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)
у
x
О
Термины «возрастающая», «убывающая» функция объединяют общим названием МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ.
x
у
О
Ограниченность функции
Функцию у = f(x) называют ограниченной снизу на множестве D(f), если все значения функции на области определения больше некоторого числа.
(Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) > m.)
Функцию у = f(x) называют ограниченной сверху на множестве D(f), если все значения функции на области определения меньше некоторого числа.
(Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) < m.)
Если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m.
Если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = m.
у
x
О
m
Если функция ограниченна и сверху и снизу, то ее называют ограниченной.
у
x
О
m
Наибольшее (наименьшее) значения функции
Число m называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве D(f), если:
в области определения существует такая точка хо , что f(хо ) = m;
для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f(хо).
Обозначение: У наим. = у(хо) = m.
M
хо
х
О
у
хо
m
Если у функции существует У наим, то она ограничена снизу.
Если функция не ограничена снизу, то У наим. не существует.
Если у функции существует У наиб., то она ограничена сверху.
Если функция не ограничена сверху, то У наиб. не существует.
Число M называют наибольшим значением функции у = f(x) на множествеD(f), если:
в области определения существует такая точка хо , что f(хо ) = M;
для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f(хо).
Обозначение: у наиб. = у(хо) = M.
у
х
О
Выпуклость, вогнутость функции
Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
О
x
у
Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
x
у
О
Четность, нечетность функции
Функция у = f(х) называют четной, если:
Область определения ее симметрична относительно начала координат;
Для любого х из D(у) выполняется равенство f(-x) = f(x).
Функция у = f(х) называют
нечетной, если:
Область определения ее симметрична относительно оси ОУ;
Для любого х из D(у) выполняется равенство f(-x) = - f(x).
у
x
О
График симметричен относительно оси ОУ.
График симметричен относительно начала координат.
О
у
x
Алгоритм исследования функции
Область определения.
Область значений.
Четность, нечетность функции.
Возрастание, убывание функции.
Ограниченность функции.
Наибольшее, наименьшее значения функции.
Непрерывность функции.
Выпуклость, вогнутость функции.
Линейная функция
1. D(f) = R;
2. Не является ни четной ни нечетной;
3. Если k > 0, возрастает,
если k < 0 убывает;
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
6. Функция непрерывна;
7.
8. Не имеет выпуклости.
х
у
K < 0
О
У = kx + m
m
У = kx + m
О
у
х
K > 0
m
Функция
1.
2. Нечетная функция;
3. Если k > 0, то функция убывает на D(f),
если k < 0, то функция возрастает на D(f);
4. Не ограничена ни сверху, ни снизу;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Функция терпит разрыв в точке х = 0;
7.
8. Если k > 0, то функция выпукла вверх при х < 0,
и выпукла вниз при х > 0;
Если k < 0, то функция выпукла вверх при х > 0,
и выпукла вниз при х < 0.
K > 0
x
О
у
у
K < 0
О
х
Функция
1. D(f) = [0; + ∞);
2. Не является ни четной ни нечетной;
3. Возрастает;
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = [0; + ∞)
8. Выпукла вверх.
у
х
О
Функция
1. D(f) = R;
2. Функция четная;
3. Возрастает на [0; + ∞);
убывает ( - ∞; 0]
4. Не ограничена сверху,
ограничена снизу;
5. Наибольшего значения нет,
наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = [0; + ∞)
8. Выпукла вниз.
О
у
х
Функция
1. D(f) = R;
2. Функция четная;
3. Возрастает на [0; + ∞); убывает ( - ∞; 0]
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу;
5. Наибольшего значения нет,
наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = [0; + ∞)
8. Выпукла вниз.
1. D(f) = R;
2. Функция четная;
3. Убывает на [0; + ∞); возрастает ( - ∞; 0]
4. Не ограничена снизу, ограничена сверху;
5. Наименьшего значения нет,
наибольшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = ( - ∞; 0];
8. Выпукла вверх.
О
у
х
a > 0
у
О
х
у
a < 0
