Подготовка к ГИА по математике в 9 классе на тему «Иррациональные выражения и уравнения»

Авторский курс

Подготовка к ГИА по математике

по теме

« Иррациональные выражения и уравнения»

Объем часов: 16 часов

Автор – разработчик: Косых Галина Сергеевна МБОУ Лицей № 7 г. Саяногорск

Пояснительная записка для курса.

Данный курс составлен из теоретического материала, практической части, итогового теста. Можно применить для итогового повторения. Учитель конкретизирует тему по данному курсу, может использовать практические задания, которые отобраны из банка ФИПИ, а ученикам поможет обобщить и систематизировать материал по данной теме, так как в экзаменационных тестах есть задания, связанные с этими понятиями и в 1 части и во2 части.

Теоретические сведения

Методы решения иррациональных уравнений

Основная цель при решении иррациональных уравнений состоит в том, чтобы освободиться от знака радикала и получить рациональное уравнение.

При решении иррациональных уравнений применяют следующие основные методы:

возведение в степень обеих частей уравнения;

введение новой переменной;

разложение на множители.

Кроме основных методов можно рассмотреть дополнительные методы решения иррациональных уравнений:

умножение на сопряженное;

переход к уравнению с модулем;

метод «пристального взгляда» (метод анализа уравнения);

использование монотонности функции.

Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, используя вышеперечисленные методы, необходимо обратить внимание на вид данного уравнения. Это позволяет определить, есть ли смысл решать уравнение вообще, и если да, то каким способом его можно решить.

Рассмотрим каждый из методов.

Метод: Возведение в степень

Часто используемый «специфический» прием решения иррациональных уравнений – возведение в степень. Наиболее распространенный случай – возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Заметим, что уравнение , вообще говоря, неравносильно уравнению

. Действительно:

.

То есть, решая уравнение , мы находим корни двух уравнений . Это означает, что уравнение является следствием уравнений . Последнее означает, что среди корней уравнения содержатся все корни уравнения , но могут оказаться корни, посторонние для этого уравнения.

То есть если при решении уравнения используется возведение в квадрат, то необходимо делать проверку или рассматривать дополнительные условия, при которых уравнения и равносильны.

Уравнения равносильно , в следующих случаях

В первом и втором случаях уравнение не имеет корней, а в третьем – корни уравнений и совпадают.

Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Если уравнение, обе части которого одновременно неотрицательны (или одновременно не положительны), возвести в квадрат, то получится уравнение, равносильное исходному уравнению.

Или в виде схемы:

.

Замечание. В теореме 1 речь идет только об одном преобразовании – возведении в квадрат. Последующие преобразования могут привести к расширению (или сужению) ОДЗ уравнения, что необходимо исследовать отдельно.

Следствие 1. Для уравнения вида получим:

Следствие 2. Для уравнения вида получим:

Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда приводит к неприятностям. Рассмотрим, например, иррациональное уравнение

Возведя обе части в квадрат, получим:

Но значение , будучи корнем рационального уравнения , не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив 1 вместо x в заданное иррациональное уравнение, получим: . Как же можно говорить о выполнении числового равенства, если и в левой, и в правой его части содержатся выражения, не имеющие смысла? В подобных случаях говорят: – посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение не имеет корней.

Пример 1.Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

.

Далее последовательно получаем:

Проверка. Подставив в уравнение , получим – верное равенство. Подставив в уравнение , получим: – верное равенство. Значит, оба найденных значения – корни уравнения .

Ответ: 4; 5.

Пример 2. Решить уравнение

.

Решение. Преобразуем уравнение к виду

И применим метод возведения в квадрат:

Еще раз применим метод возведения в квадрат:

Проверка. Подставив значение в уравнение, получим: – неверное равенство; значит, – посторонний корень.

Подставив значение в уравнение , получим: – верное равенство; значит, – корень уравнения .

Ответ: -1.

Рассмотрим приемы оформления заданий.

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Возведем исходное уравнение в квадрат.

Получим:

Выполним проверку:

, что неверно – корень посторонний;

, откуда , что верно.

Ответ: 3.

Решение примера 3 можно оформить иначе.

Корень уравнения не удовлетворяет условию .

Пример 4. Решите уравнение

Решение.

Проверим выполнение условия .

Неравенство очевидно.

, неравенство верно, следовательно, оба корня уравнения удовлетворяют условию .

Ответ: .

Пример 5.

Решение:

Ответ: -1.

Пример 6. 

Решение:

Ответ: 14.

Пример 7.

Решение: ОДЗ:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

х = 6 входит в ОДЗ, значит может быть корнем данного уравнения.

Проверка:

Ответ: 6

Пример 8. 

Решение: ОДЗ

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

х1 = 2; х2 = 3. Эти корни входят в ОДЗ.

 - входит в ОДЗ

 - не входит в ОДЗ

Ответ: 

Пример 9. 

Решение: ОДЗ:

Обозначим = у. Тогда х-3=у2.

у2 + 4у - 12 = 0;

у1 = -6, у2 = 2.

а)=-6. Решений нет, т.к. -6>0, а 0.

б) = 2,
х - 3 = 4,
х = 7 входит в ОДЗ.

Ответ: 7.

Итак сделаем вывод:

1) если иррациональное уравнение содержит только один радикал, то нужно
записать так, чтобы в одной части знака равенства оказался только этот радикал.
Затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, чтобы получилось
рациональное уравнение;

2) если в иррациональном уравнении содержится два или более радикала, то
сначала изолируется один из радикалов, затем обе части уравнения возводят в
одну и ту же степень, и повторяют операцию возведения в степень до тех пор,
пока не получится рациональное уравнение.

3) При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается уравнение, не равносильное данному. Если не следить за равносильностью переходов, то проверка является обязательным элементом решения. О.Д.З. в иррациональных уравнениях не поможет отсеять все посторонние корни. Поэтому необходимо проверить, удовлетворяют или не удовлетворяют найденные значения переменной данному уравнению.

Метод: Введение новой переменной

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример1. 

Пусть  тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого  и  Решая уравнение , получаем и 

Ответ: 3; - 4,5.

Пример2. Решите уравнение .

Решение. Пусть , тогда исходное уравнение равносильно:

Следовательно,

Ответ: 6.

Пример 3. 

Решение: ОДЗ:

Обозначим = у. Тогда х-3=у2.

у2 + 4у - 12 = 0;

у1 = -6, у2 = 2.

а)=-6. Решений нет, т.к. -6>0, а 0.

б) = 2,
х - 3 = 4,
х = 7 входит в ОДЗ.

Ответ: 7.

Три решения одного уравнения

Решить уравнение: .

Решение 1. Возведем обе части уравнения в квадрат и преобразуем полученное уравнение:

Вновь возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ:

Решение 2. Пусть

Получаем систему:

Следовательно, , откуда .

Проверка показывает, что – корень исходного уравнения.

Метод: Разложение на множители

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений 

Пример1.

Решение:

При  уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений: 

Ответ: 1; 3.

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 2.

Решение:

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине 

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

 или

Корень уравнения т.е. число  при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение  не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ: -2.

Рассмотрим примеры на дополнительные методы решения иррациональных уравнений.

Метод: Умножение на сопряженное

Пример 1.  Решить уравнение

 

                               .                                                    

Решение:

 Областью допустимых значений переменной  в уравнении является отрезок  .

Умножим обе части уравнения на выражение . Отметим, что . После этого получаем уравнение

                            .                         

Отсюда следует, что   и    является корнем уравнения. Пусть теперь . Тогда обе части уравнения разделим на  и получим уравнение    или  

                                          .                                         

Поскольку на области допустимых значений  левая часть уравнения убывает, а правая часть – возрастает, то уравнение не может иметь более одного корня. Подбором нетрудно установить, что единственным корнем уравнения является  .                   

Ответ:   1.

Пример 2.  Решить уравнение

 

                           .                            

Решение: 

Из уравнения (17) следует  . Если обе части уравнения умножить на выражение , то получим

                       .                  

Отсюда следует, что  . Однако подстановкой в уравнение убеждаемся в том, что значение    не является его корнем.

Разделим обе части уравнения на выражение  и получим  или .  Корнями квадратного уравнения являются    и . Однако  , поэтому уравнение имеет только один корень .   

Отметим, что если , то .

Ответ:  .

Решение следующего примера можно как и предыдущий отнести к еще одному методу решения уравнений – метод монотонности .

Пример 3.  Решить уравнение                                             .                                         

Решение

Перепишем уравнение  в виде функционального уравнения . Так как функция  возрастает на всей числовой оси , то уравнение  будет равносильно уравнению    или  .

Из уравнения    получаем равносильные уравнения  

,  , .

Отсюда следует, что уравнение имеет корни

,   и   .

Ответ:  , , .

Метод пристального взгляда также можно отнести к методу монотонности.Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция  возрастает в области определения и число  входит в множество значений, то уравнение  имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

1) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

2) Записать область определения данной функции.

3) Доказать ее монотонность в области определения.

4) Угадать корень уравнения.

5) Обосновать, что других корней нет.

6) Записать ответ.

Пример 4. .

Решение:

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Ответ: корней нет.

Пример 5. 

Решение:

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для  эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать.. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

Ответ: 1.

Метод оценки.

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Пример 1.

Решение:

Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной , не меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:

Корнем второго уравнения системы является число 

Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:

.

Ответ: -1.

Пример 2.

Решение:

Для всех  имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при  и 

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ: 2.

От того, что ученик решит лишний десяток задач, умнее и сообразительнее он не станет. Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения. Это качество будет выше, если на один и тот же пример посмотреть с разных сторон. Решение задач разными способами способствует развитию активного мышления учащихся. Хорошую почву для этого дает решение примеров разными способами.

Основные сведения о свойствах квадратного корня

Понятие рациональных и иррациональных чисел.

Свойства арифметического квадратного корня:

Теорема 1: Для любых действительных чисел а и bтаких, что а ≥ 0, и b≥ 0, выполняется равенство

Теорема 2: Для любых действительных чисел а и b таких, что а ≥ 0, и b≥ 0, выполняется равенство

Теорема 3: Для любого действительного числа а выполняется равенство

Теорема 4: Для любых действительного числа а и натурального числа п выполняется равенство

Рассмотреть примеры :

При выполнении заданий на сравнение чисел необходимо вспомнить следующие теоремы:

Теорема 1: Если a>b≥0, то > .

Теорема 2: Если > , то a > b.

Пример 3. Сравните числа: 1) 6 и ; 2) и .

Задания для практической работы

«Решение иррациональных уравнений»

Решить уравнение методом возведения в степень:

; 4. ;

; 5. ;

; 6. ;

7. .

Решить уравнение методом введения новой переменной:

8. ; 9. .

Найти сумму корней уравнения:

10. ; 11. .

Найти произведение корней уравнения:

12. ; 13.

14. Сколько корней имеет уравнение: .

15. Найти и исправить ошибку в решении уравнения:

Ответ :

Ответы :

0; 8. 36;

7; 9. 49;

Корней нет; 10. -9;

6; 11. 2;

1; 12. -9;

-0,75; 13. -3;

; 14. 2.

Практические задания на преобразование выражений

Укажите наибольшее значение из следующих чисел:

3 2) 3) 10 4) 7

Укажите наименьшее значение из следующих чисел:

2) 3) 8 4) 3

Укажите наименьшее из чисел:

2) 3) 6 4)

Укажите наибольшее из чисел:

2) 2 3) 7 4)

Укажите наименьшее из чисел:

2) 3) 4)

Расположите в порядке убывания числа 6,5, и

6,5; ; 2) ; 6,5;

3) ; 6,5; 4) ; ; 6,5

Расположите в порядке возрастания числа 9,5, и .

; 9,5; 2) 9,5; ;

3) ; ; 9,5 4) 9,5; ;

Найдите значение выражения

1)6 2) 12 3) 18 4) 36

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения

2) 3) 4)

Найдите значение выражения

24 2) 48 3) 96 4) 576

Найдите значение выражения

384 2) 576 3) 24 4) 96

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения

22+ 2) 22 3) 24+ 4) 24+

Найдите значение выражения

86 - 2) 86 - 3) 84 - 4) 84

Какое из чисел ;; является иррациональным?

2) 3) 4) все эти числа

Какое из чисел ; ;

2) 3) 4) все эти числа

Значение какого из выражений является рациональным?

2)

3) 4)

Значение какого из выражений является иррациональным?

2) 3) 4)

Ответы

2 11. 3

2 12. 4

3 13. 0,1

1 14. 0,4

1 15. 3

3 16. 2

3 17. 2

3 18. 3

1 19. 2

2 20. 1

Итоговый тест

Тест

Одно из чисел ;;;отмечено на прямой точкой А.

Какое это число?

2) 3) 4)

Ответ: 2

Какое из данных ниже чисел является значением выражения ?

3- 2) 3) 4) 3+

Ответ: 2

Какое из данных чисел является значением выражения ?

2) 3) 5 4)

Ответ: 1

Какое из данных чисел является значением выражения ?

2) 38 3) 4)

Ответ: 1

Какое из данных чисел является значением выражения ?

2) 3) 4)

Ответ: 1

Значение какого из данных ниже выражений является наибольшим?

2) 3) 6 4)

Ответ: 3

Какое из данных чисел принадлежит промежутку ?

2) 3) 4)

Ответ: 4

Какое из данных чисел ; ; является иррациональным?

2) 3) 4) все эти числа рациональные

Ответ: 3

На координатной прямой отмечены точки А, В, С, D. Одна из них соответствует числу . Какая это точка?

А В C D

7 8 9

точка А 2) точка В 3) точка С 4) точка D

Ответ: 1

Значение какого из выражений является числом рациональным?

2) 3) 4)

Ответ: 2