Буклет "Применение производной к исследованию функции"

Возрастание и убывание функции

Условие возрастания функции

Если f ´(x) > 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.

Условие убывания функции

Если f ´(x) < 0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.

Теорема 1.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка c Є (a;b) такая, что f (b) – f(a) = f ´(c)(b-a).

Теорема 2.

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f ´(x) > 0 для всех x Є (a;b), то функция возрастает на интервале (a;b).

4) f′(x) существует во всех точках области определении.

5) Координатная прямая:

6) Определить знак производной f′(x) на каждом промежутке:

f ´(x)> 0, при (- ∞;2) и (3; +∞)

Получаем:

Функция возрастает, при (−∞,2) (3,+∞), функция убывает, при (2,3).

Точка x=2 - точка максимума, точка x=3 - точка минимума.

Тема:

«Применение производной к исследованию функций»

Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх всего того, и умение.

А.Н. Крылов

Выполнила:

Дубицкая Милена,

Учащаяся 11-А класса

МОУ «Школа №80 г. Донецка»

Учитель:

Лапко Ирина Валентиновна

2019

Экстремумы функции

Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x₀).

Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x₀).

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Теорема. Если x₀ - точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f ´(x₀)=0.

Теорема. Пусть функция дифференцируема на интервале (a;b), x₀ Є (a;b), f ´(x₀)=0. Тогда:

1) если при переходе через стационарную точку x₀ функции f(x) её производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f ´(x)> 0 слева от точки x₀ и f ´(x)< 0 справа от точки x₀ , то x₀ - точка максимума функции f(x).

2) если при переходе через стационарную точку x₀ функции f(x) её производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то x₀ - точка минимума функции f(x).

Наибольшее и наименьшее значение функции

Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет несколько критических точек на этом отрезке.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке нужно:

1) Найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа.

2) Найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу.

3) Из всех найденных значений выбрать наибольше и наименьшее.

Если значения функции f(x) неотрицательны на некотором промежутке ,то эта функция и функция (f(x))ᴺ, где N - натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.

Применение производной к построению графиков функций

При исследовании свойств функции нужно найти:

1) область определения;

2) производную;

3)стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график при x>0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).

Пример:

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: f(x)=2x³−15x²+36x+1

1) Область определения - все действительные числа;

2) f′(x)=6x²−30x+36;

3) 6x²−30x+36=0

x²−5x+6=0

x=3, x=2