Занятие по математике на тему «Применение производной к исследованию функций»

Предмет

Математика

Курс

1

Тема урока

Применение производной к исследованию функций.Возрастание и убывание функции.

Тип урока

Изучение и закрепление нового материала

Вид урока

Комбинированный

Форма обучения

Классно-урочная

Форма деятельности

Фронтальная и индивидуальная.

Цель урока

Формирование умений и навыков применения производной к исследованию функций; дать понятие монотонности промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции.

Задачи урока

1. Образовательные: организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции; способствовать овладению умениями и навыками по нахождению промежутков возрастания и убывания функции с помощью производной.

2. Развивающие: развитие у учащихся умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;развитие внимания,мышления,самостоятельности,позновательного интереса.

3. Воспитательные: формирование у студентов ответственного отношения к учению; воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Оборудование

Мультимедийный проектор

Методическое оснащение

План-конспект, презентация,учебник.

Основные термины, понятия

Промежутки монотонности,экстремумы функции,производная,геометрический и физический смыслы производной

Продолжительность урока

90 минут

Планируемый результат

Предметные умения:

знать признаки возрастания и убывания функций,определение экстремумов функций; алгоритмы применения производной к исследованию функций (исследование функции на монотонность, исследование функции на экстремумы, исследование функции на наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, составление уравнения касательной)

уметь применять правила вычислений производных,признаки возрастания и убывания функций к исследованию функций.

Личностные УУД:

– независимость и критичность мышления;

– воля и настойчивость в достижении цели.

Регулятивные УУД:

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность;

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель;

умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

проговаривать последовательность действий на уроке;

работать по коллективно составленному плану;

оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;

планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;

вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

высказывать своё предположение.

Познавательные УУД:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию;

– строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

- умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя

Коммуникативные УУД:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию;

– строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

Этапы урока

Дидактические задачи

Организационный

(этап мотивации)(2 мин)

Создать эмоциональный настрой

Мотивация студентов на учебу

Актуализация знаний , умений(10 мин)

Контроль и актуализация опорных знаний по предыдущей теме

Постановка учебной проблемы

(15 мин)

Самостоятельное формулирование проблемы. На основе актуализации ранее полученных знаний подвести студентов к формулировке темы урока.

Формулирование проблемы, планирование деятельности (15 мин)

Подведение студентов к формулированию целей учебно-познавательной деятельности

Открытие новых знаний (15 мин)

Изучение построенного проекта;

Реализация построенного проекта индивидуально при выполнении задания.

Первичная проверка понимания материала

(10 мин)

Создать условия для применения теоретических знаний при решении задач.

Закрепление полученных знаний

мин)

Создать условия для применения теоретических знаний при решении задач.

Самостоятельное выполнение заданий учащимися с помощью построенного проекта;

Групповое выполнение более сложных заданий учащимися с помощью построенного проекта.

Рефлексия учебной деятельности

(3 мин)

Самостоятельная формулировка полученных умений;

Самостоятельная оценка достижения поставленной на уроке цели;

Самостоятельная оценка своей работы на уроке.

Задание на дом (1 мин)

Формируемые умения

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Организационный этап

Метапредметные (УУД):

регулятивные:

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность, умение настраиваться на занятие

коммуникативные:

- уметь слушать и вступать в диалог.

Приветствие.

Мотивация на изучение новой темы.

Приветствуют преподавателя, проверяют свою готовность к уроку (наличие тетрадей, ручек)

Актуализация знаний , умений

Предметные:

знать определение возрастающей и убывающей функции,производной,понятия приращения функции иаргумента,физический и геометрический смыслы производной;

уметь применять полученные знания к решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Проверка усвоения изученного материала.

-Мы уже несколько пар говорим про производные функций.Давйте вспомним,

Что называется функцией?

Что называется областью определения функции?

Какая функция называется возрастающей на промежутке?

Какая функция называется убывающей на промежутке

Что называется приращением аргумента?

Что называется приращением функции?

Что называется производной функции?

В чем соостоит физический смысл производной?

Замечательно.

1.Зависимость одной переменной от другой y=f(x),где f(x)-значение функции(зависимая переменная),х-аргумент(независимая переменная).

2. Множество всех значений по оси ОХ.

3.Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) 2)

4.Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) >f(x2).(слайд 2)

5.Разность значений аргумента в точке х.(слайд 2)

6.Приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению ∆х называется разность f(x0 + ∆х) – f(x0).

7.Производной функции в данной точке

называется предел отношения приращения функции в этой точке к п риращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

8.произ­водная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0 x'(t). = (t) (слайд 4)

Постановка учебной проблемы.Формулирование проблемы, планирование деятельности

Предметные:

знать определение возрастающей и убывающей функции,производной,понятия приращения функции иаргумента,физический и геометрический смыслы производной;

уметь применять полученные знания к решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

Регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Произ­водная функции y = f(x) в точке x0 – это скорость изменения функции f (х) в точке x0 x'(t). = (t)

Из курса физики вспомним ,что такое скорость и ускорение и по каким формулам их находим.

Рассмотрим на примере графиков движения .

У нас есть два вида равнопеременного движения-равноускоренное и равнозамедленное

Равноускоренное движение представляет ....

Равнозамедленное движение представляет..

И,так как производная функции это скорость изменения функции,то по определению...

Быстрота изменения положения тела в пространстве с течением времени ;V=, где S зависимая переменная переменная, t-независимая переменная.

Ускорение –быстрота изменения скорости

(слайд 5)

..возрастающую функцию(скорость растет)

...убывающую функцию(скорость падает)

= при t t0 vv0 v’(t) при равноускоренном движении

= при t t0 vv0 v’(t) при равнозамедленном движении

Открытие новых знаний

Предметные:

Знать

достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

Одной из основных задач,возникающих при исследовании функции,является нахождение промежутков возрастания и убывания-промежутков монотонности функции.Такой анализ легко выполнить с помощью производной.Заполните,пожалуйста ,таблицу.(слайд 6)

Сформулируем признаки возрастания и убывания функции:

Итак,для исследования функции на монотонность мы воспользуемя алгоритмом...

При исследовании функции

1)f(x) =2x3 -монотонно возрастает на всей числовой прямой

2) f(x) = х3-3х она возрастает на одном интервале,убывает на другом интервале.Построим график функции.

Рассмотрим окрестность точки х=-1......

Рассмотрим окрестность точки х=1....

Сформулируем определение.

Функция f(x) =2x3  не имеет экстремумов. Производная равна 0 в точке 0.Точки ,в которых производная функции равна 0,называются стационарными.

Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции.

 Приведём достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума

(слайд 14)

Если f/(x) >0 в каждой точке интервала,то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Если f/(x) <0 в каждой точке интервала,то функция f(x) убывает на этом интервале.(слайд 8)

Алгоритм.

Указать область определения функции.

Найти производную функции y=f(x).

Определить промежутки, в которых f/(x) )>0 и  f / (x)<0.

Сделать выводы о монотонности функции. (слайд 9)

1) 2) (слайд 10)

Есть точки,в которых возрастание функции сменяется убыванием и наоборот.

...наибольшее значение данная функция в этой окрестности принимает вточке х=-1, точку х=-1 называют точкой максимума функции. (слайд 13)

...наименьшее значение данная функция в этой окрестности принимает в точке х=1. Точку х=1 называют точкой минимума функции. (слайд 13)

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех хх0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x)< f(x0)  (слайд 11)

Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех хх0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x) f(x0)  (слайд 12)

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) ,  и f”=(x0),тогда:1) если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) её производная меняет знак с «плюса» на «минус», то есть f’(x)>0 слева от точки x0 и f”(x)<0 справа от точки x0 , то x0  – точка максимума функции ;

(слайд 11)

2) если при переходе через стационарную точку x0  функции  f(x) её производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то x0 – точка минимума функции .

(слайд 12)

Первичная проверка понимания материала

Предметные:

Знать

достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

Определите промежутки монотонности функции

у = -3х3 + 4х2 + х – 10. (слайд 15)

Решение

1.Найдем область определения функции.

D(y) = 

2.Найдем производную функции.

y’ = (x – 1)(-9x – 1)

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так как на интервале  производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале  производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале  производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках  функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на ; функция убывает на  и на .

Ответ: Функция возрастает на 

Функция убывает на  и на  (слайд 16)

Закрепление новых знаний

Предметные:

Знать

достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

– отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами;

- уметь слушать и вступать в диалог.

А теперь посмотрим, как это работает.

Даны графики производных функций.

1.Определить область определения,промежутки монотонности функции.

2. Определить количество промежутков возрастания, найти длину наибольшего. (слайд 17)

3.На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−0,5;4,3). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции положительна.

(слайд 18)

4. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−0,5;4,3). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции отрицательна.
(слайд 19)

5. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции

у = х5–5х4 +5х3 – 4. (слайд 15)

1)2)

3)

Для функции f(x), у которой производная в точке x0 существует, f′(x0)>0 равносильно тому, что f(x) возрастает в x0.   На интервале (−0,5;4,3) целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f(x) возрастает только в 1, 2 и 4. Таким образом, производная функции y=f(x) положительна в 3 целых точках. Ответ: 3

4)
Для функции f(x), у которой производная в точке x0 имеет смысл, f′(x0)<0 равносильно тому, что f(x) убывает в x0.   На интервале (−0,5;4,3) целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f(x) убывает только в 0, 2 и 3. Таким образом, производная функции y=f(x) отрицательна в 3 целых точках. Ответ: 3

5) Решение:

y' =

Функция возрастает на ; функция убывает на .

Ответ: Функция возрастает на ;

функция убывает на ,хmax=1;хmin=3 (слайд 16)

Рефлексия учебной деятельности

Предметные:

Знать

достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

–  классифицировать и обобщать факты и явления;

– строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

регулятивные:

–  осознавать конечный результат решения проблемы.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Преподаватель:

- Что вы сегодня узнали нового?

- Какова была цель вашей деятельности?

- Вы достигли поставленной цели?

- Что вы использовали, и что вам помогло в достижении цели?

-Все, кто отвечал на уроке будут оценены.

Возможные варианты ответов:

С помощью поизводной можно легко найти промежутки монотонности,определить свойства фуннкции.

научиться применять производную к исследованию функций; познакомиться с промежутками возрастания и убывания, экстремумами функции.

Мы достигли поставленной цели.

Определение производной функции,ее физический смысл.

Задание на дом

Ш.Алимов.Алгебра и начала анализа.10-11 кл.

№ 3,стр.101;№11.стр.107 (слайд 20)