Диагностическая контрольная работа по математике, 11 класс

Вариант 1

Математика

Профильный уровень

Работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий:

8 заданий первой части (задания 1–8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби

4 задания второй части (задания 9–12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби

7 заданий второй части (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий)

На выполнение работы отводится 3 ч 55 мин (235 мин).

Все бланки ЕГЭ заполняются гелевой или капиллярной ручкой чёрного цвета.

Ответы к заданиям 1-12 записываются в виде целого числа или бесконечной десятичной дроби. Числа записываются в поле для ответа, а затем переносится в бланк.

При выполнении заданий 13-19 части 2 работы в бланке ответов № 2 должны быть записаны полное обоснованное решение и ответ для каждой задачи.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком.

Баллы, полученные Вами за выполнение заданий, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 был записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные материалы

Часть 1

1.  Света от­пра­ви­ла SMS-cообщения с но­во­год­ни­ми поздравлениями своим 19 друзьям. Сто­и­мость одного SMS-сообщения 1 рубль 90 копеек. Перед от­прав­кой сообщения на счету у Светы было 37 рублей. Сколь­ко рублей оста­нет­ся у Светы после от­прав­ки всех сообщений?

Ответ:_____________________________

2. На рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена золота в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену золота за указанный период. Ответ дайте в рублях за грамм.

Ответ:_____________________________

 

 

 

3. На клетчатой бумаге с размером клетки изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ:__________________

4. На олимпиаде по русскому языку 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. Ответ:_____________________________

5. Найдите корень уравнения  Ответ:___________________________

6.  У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне? Ответ:_____________________________

7. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = f(x) и шесть точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x6. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) положительна?

 

Ответ:_____________________________

8. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AB, S — вершина. Известно, что BC = 5, а площадь боковой поверхности равна 180. Найдите длину отрезка SL. Ответ:_____________________________

Часть 2

9.  Найдите , если Ответ:_____________________________

10. Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону где t — время с момента начала колебаний, T = 18 с — период колебаний,  м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле  где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 6 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях. Ответ:_____________________________

11.  Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч. Ответ:_____________________________

12.  Найдите точку минимума функции Ответ:_______________

13.  а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14.  Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

 

15.  Решите неравенство: 

16.  Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

17.  К 15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

-со 2-го по 14-е каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

-15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тыс. рублей меньше долга на 15-ечисло предыдущего месяца;

-к 15 –му числу 21 месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения составит 1604 тыс. рублей.

18.  Найдите все целые отрицательные значения параметра а, при каждом из которых существует такое действительное число , что неравенство  не выполнено.

19.  В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?

в) Сколько в роте может быть солдат?

Ответы:

№13

2 =

х= πn, n или х= + 2πm, m или х= + 2πk, k

-5π≤ πn≤- 4π, n /:π

-5≤ n≤- 4

n=-5, n=-4

х=-5π, х=-4π

-5π + 2πm≤- 4π , m

-5π + 2πk≤- 4π, k

Ответ: а) х= πn, n ,х= + 2πm, m , х= + 2πk, k

Б) -5π,- 4π

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Решение:

1. Выполняем чертеж к задаче.

Призма правильная, следовательно, основанием ее является равносторонний треугольник. H делит AC пополам, поскольку в равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и медианой.

2. Тогда высоту BH можно вычислить по теореме Пифагора из треугольника АВН:

3. Вычисляем длину BN2 из треугольника BNH. Он тоже прямоугольный. По теореме Пифагора:

4. Отрезки BM и MN перпендикулярны, поскольку сумма квадратов их длин равна BN2, то есть 63:

По теореме, обратной теореме Пифагора, BMN – прямоугольный, причем угол M прямой.

б)1. Проводим перпендикуляр NP к ребру A1B2.

Показываем , что NP перпендикулярна плоскости ABB1. Из построения и условия (призма правильная) следует:

А это означает, что  .и прямая NP является проекцией MN на плоскость ABB1.

3. Выше было доказано, что  . Тогда согласно теореме о трех перпендикулярах  . Их этого следует, что NMP – линейный угол искомого угла.

Вычисляем его.

N – середина отрезка A1C1, тогда NP = 1/2∙h, где h – высота в треугольнике A1B1C1. А он равносторонний и равен треугольнику АВС. Следовательно,  , то есть  . По соотношениям в прямоугольном треугольнике.

 , откуда  .

Ответ: 

 

15.  Решите неравенство: 

ОДЗ:х>0

Решим неравенство второй степени относительно : (-∞;1)U(2;+∞)

Решение неравенства: 

 

Ответ:(0;3)U(9;+∞)

 

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение:а)

1. Выполняем рисунок, учитывая условие задачи.

Пусть О1 и О2 центры данных окружностей, а М – точка пересечения общей касательной и касательной, проведенной в к окружностям в точке К.

2. По свойству касательных, проведённых из одной точки,  AM=KM  и.  KM=BN.  Треугольник  у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

3. Вписанный угол  ∠AKD  прямой, поэтому он опирается на диаметр AD  Значит,  AD⊥AB.  Аналогично получаем, что  BC⊥AB  Следовательно, прямые  AD  и  BC  параллельны.

б)

1. Пусть радиус первой окружности равен 4, тогда радиус второй 1.

Рассмотрим треугольники  BKC  и  AKD .

  и общий угол.

По признаку подобия. Эти треугольники подобны.

Пусть   , тогда  

2. У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,    то есть   Аналогично,    Площадь трапеции  ABCD  равна  25S

Вычисляем площадь трапеции  ABCD  Для этого опускаем на  AD  перпендикуляр  O2H Его длина равна высоте трапеции. Определяем его из треугольника  O2HO1 по теореме Пифагора:

3. Отсюда

 

Имеем:  25S=20  откуда  S=0,8

 

Ответ: 3,2.

Ответ: 710.

№17

S тыс.руб – сумма, которую планируют взять в кредит.

3%=0,03

Составим и решим уравнение:

Общая сумма выплат представляет собой сумму суммы, которую планируют взять в кредит, и сумму сумм, на которые возрастает долг на 1-е число каждого месяца.

s +0,03 s +0,03 (s-30)+ 0,03(s-2∙30)+….+ 0,03(s-20∙30)=1604

s +0,03∙(s+( s-30)+(s-2∙30)+… (s-20∙30))=1604

s+0,03∙( 21s- (30+2∙30+…20∙30)+=1604

30;2∙30;…;20∙30-арифметическая прогрессия, а1 =30, а21 =20∙30

S=х20=6300

s+0,03∙( 21s-6300)=1604

1,63 s-189=1604

1,63s=1793

s=1793:1,63

s=1100

Ответ: 1100 тыс. рублей

Источники: math- ege.sdamgia.r u

http://spadilo.ru

https://egemaximum.ru