Дидактические материалы к урокам алгебры в 8 классе

 Дидактические материалы к урокам алгебры в 8 классе (ТИСО)

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение ……………………………………………………………………………………………….4

Квадратное уравнение. Виды квадратного уравнения………………………………………………5

Формулы корней квадратных уравнений…………………………………………………………...12

Теорема Виета………………………………………………………………………………………...20

Рациональные уравнения……………………………………………………………………………27

Уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям…………………………………………….33

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители………………………39

Литература ……………………………………………………………………………………………47

 

 

 

Дидактические материалы к урокам алгебры в 8 классе составлены по технологии индивидуализированного способа обучения (ТИСО), и представляют содержание:

- учебных листов

- проверочных работ

- рейтинговых листов.

Работа по технологии ТИСО позволяет достичь высокого уровня мотивации учащихся, реализации самостоятельности и возможности для учащегося усвоить учебный материал в своем темпе и на своем уровне.

Содержание пособия соответствует требованиям Госстандарта образования и программы по математике для 8 класса. Учебные листы по своему целевому назначению отвечают идеям развивающего обучения.

В методико – дидактическом сборнике представлены уроки по 6-ти темам по курсу «Алгебра 8»: квадратное уравнение, виды квадратного уравнения; формулы корней квадратных уравнений; теорема Виета; рациональные уравнения; уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям; квадратный трехчлен, разложение квадратного трехчлена на множители.

Материалы сборника помогут учителю организовать самостоятельную работу учащихся и осуществить целенаправленный контроль за состоянием знаний и умений учащихся по изучаемым темам.

 

УЧЕБНЫЙ ЛИСТ

тема

«КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ. ВИДЫ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ»

(3 занятия)

 

В результате изучения темы нужно

 

ЛИТЕРАТУРА:

Алгебра 8 класс. А.Е.Абылкасымова, Алматы, «Мектеп» 2008 год.

Алгебра 8 класс. Сборник решения задач С.К.Тулеубаева, Алматы, «Мектеп» 2008год

 

Приобретать знания – храбрость,

Приумножать их – мудрость,

А умело применять их – великое искусство.

 

Помни, что работать нужно по алгоритму.

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.

Пожалуйста, не оставляй без ответа возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.

Желаю успеха!

ЗАДАНИЕ №1

Каждое из уравнений

-x2 + 6x + 1,4 = 0 (1)

2x2 – 7x – 8 = 0 (2)

Имеет вид ax2 + bx + c = 0, где х – переменная, a,b,c – числа

В уравнении (1) а = -1; b = 6; с = 1,4.

В уравнении (2) а = 2; b = -7; с = -8.

Такие уравнения называются квадратными.

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax2 + bx + c = 0, где х – переменная, a,b,c – некоторые числа, причем а≠0.

а – старший коэффициент,

b – средний коэффициент,

с – свободный член.

Если старший коэффициент квадратного уравнения равен 1, то уравнение называется приведенным.

- Запиши в тетрадь формулу квадратного уравнения, укажи его коэффициенты

№1. Укажи в каждом квадратном уравнении его коэффициенты: (6б)

1) 5х2 – 9х + 4 = 0; 4) -х2 – 8х + 1 = 0;

2) x2 + 3х – 10 = 0; 5) 2х2 + 7х + 8 = 0;

3) -x2 – 7х + 1 = 0; 6) х2 – 3х + 2 = 0.

№2. Выпиши приведенные квадратные уравнения, объясни свой выбор. (2б)

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №1

 

ЗАДАНИЕ №2

ЗАПОМНИ! Если в квадратном уравнении коэффициенты b или с оба одновременно равны 0, то квадратное уравнение называется неполным.

№1. Составь по два уравнения на каждый вид неполных квадратных уравнений. (6б)

№2. Рассмотри и запиши образец решения неполного квадратного уравнения

вида ax2 + bx =0.

 

 

№3. Реши по образцу любые 4 примера: (8б)

 

1) 2x2-5x=0 2) 5x-7x2=0 3)-5x2+6x=0

4) 4m2-8m=0 5) 2x-5x2=0 6)3x2-4x=0

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №2

 

ЗАДАНИЕ №3

№1. Рассмотри и запиши образец решения неполного квадратного уравнения вида: ax2+c=0.

 

 

 

№2. Реши по образцу любые 4 примера: (8б)

1) 4x2 – 1 = 0 2) 9x2 - 6,25 = 0 3)5у2 – 5 = 0

4) -x2 + 3 = 0 5) 49x2 + 16 = 0 6)11 + z2 = 0

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №3

 

ЗАДАНИЕ №4

№1. Рассмотри и запиши образец решения неполного квадратного уравнения вида: ax2=0.

 

 

 

№2. Реши по образцу любые 3 примера: (6б)

1) 5x2 = 0 2) (x+2)2 = -3x2 + 4x + 4

3) 6x2 + 8 = 8 4) 45x2 – 19 = -19

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 4

 

ЗАДАНИЕ №5

№1. Реши четные или нечетные уравнения. (10б)

6)

7)

8)

9)

10)

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №5

 

ЗАДАНИЕ №6

Молодец! Теперь ты можешь приступить к проверочной работе №1.

 

ЗАДАНИЕ №7

№1. Найди корни уравнения. Реши любые два уравнения. (4б)

№2. Реши выборочно четные или нечетные уравнения. (4б)

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №6

 

ЗАДАНИЕ №7

Молодец! Теперь ты можешь приступить к проверочной работе №2.

 

 

 

 

 

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №1

 

 

 

 

 

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №2

№1. Реши уравнения, из уровня А или В. (6б)

А В

1) 1)

2) 2)

3) 3)

№2. Реши уравнения, из уровня А или В. (6б)

 

А В

1) 1)

2) 2)

3) 3)

 

 

Итого: 12 баллов

«5» - 12б.

«4» - 10б.

«3» - 8б.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕЙТИНГОВЫЙ ЛИСТ

по теме: «Квадратное уравнение. Виды квадратного уравнения»

Ф.И. ______________________________________, класс_________

 

 

Итого: 96 баллов

«5» - 90-96 б.

«4» - 82-89 б.

«3» - 77-81 б.

 

УЧЕБНЫЙ ЛИСТ

тема

«ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

(3 занятия)

В результате изучения темы нужно

ЗНАТЬ: УМЕТЬ:

- формулу корней приведенного - вычислять дискриминант;

квадратного уравнения; - определять имеет или не

- формулу квадратного имеет корни квадратное уравнение;

уравнения общего вида; - решать квадратные уравнения с

- понятие дискриминанта; использованием

- алгоритм решения квадратного формулы их корней.

уравнения.

 

 

ЛИТЕРАТУРА:

1. Алгебра учебник 8 класса общеобразовательной школы А. Абылкасымова,

И. Бекбоев, А. Абдиев, З. Жумагулова, г Алматы: «Мектеп», 2008г.

2. Алгебра 8 класс. Сборник задач. Алматы «Мектеп», 2008г.

Помни, что работать нужно по алгоритму!

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.

Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!

ЗАДАНИЕ №1

Прочитай текст:

Рассмотрим решение приведенного квадратного уравнения:

x2+px+q=0 (1) запиши в тетрадь формулу (1)

Для этого прибавим и вычтем в левой части уравнения (1) одно и тоже число.

()2 =.

Получим: x2+px+q+ -=0.

Число p представим в виде: p = 2. . Поэтому предыдущее равенство можно записать так: x2+2. . x+()2 - +q=0

Заметим, что первые три слагаемые левой части последнего равенства есть квадрат суммы двух выражений, поэтому это равенство можно записать так:

(x + )2 - + q=0, или (x+)2 – - q)=0,

Откуда: (x+)2 = - q. (2)

Из уравнения (2) находим:

x+ = + или: x = -+ (3)

Получили два корня:

х1= - - и х2 = -+

Следует заметить, что при выводе формулы корней приведенного квадратного уравнения использовали преобразование выделение полного квадрата.

Формула (3) является общей формулой корней приведенного квадратного уравнения. Запиши ее в тетрадь.

Ее можно выразить так: корни приведенного квадратного уравнения равны половине второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс и минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.

Выучи определение. (2б)

Запомнив формулу (3), мы можем найти корни приведенного квадратного уравнения, не производя преобразований, а просто подставив в формулу (3) данные значения . Однако следует заметить, что формулу (3) удобно использовать, когда второй коэффициент в приведенном квадратном уравнении – четное целое число.

Переходим к решению квадратного уравнения общего вида ax2+bx+c=0, где а 0. (4)

Для нахождений корней уравнения (4) разделим все его члены на а, получим приведенное квадратное уравнение x2+x+=0.

Здесь p = и q =.

Согласно формуле корней приведенного квадратного уравнения имеем:

x1;2= - + - = - + = - + = .

Таким образом получили формулу корней уравнения (4):

x1;2= . (5)

Выражениеb2 - 4ac называется дискриминантом уравнения (4) и обозначается буквой D. т.е D =b2 - 4ac.

Запиши формулу в тетрадь.

Формула (5) читается так: корни квадратного уравнения равны дроби, знаменателем который является удвоенный первый коэффициент , а числителем – второй коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс и минус квадратный корень из дискриминанта уравнения.

Выучи определение. (2б)

Число корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта. Здесь имеют три случая.

При D>0 уравнение (4) имеет два различных корня. В этом случае корни находим по формуле x1;2=.

При D=0 уравнение (4) имеет два равных корня. В этом случае говорят, что уравнение имеет один корень, который вычисляется по формуле x=- ;

При D<0 уравнение (4) не имеет корней.

 

Ответь устно на вопросы:

- Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением? (1б)

- Какое выражение называют дискриминантом квадратного уравнения? (1б)

- Можно ли определить по дискриминанту, сколько корней имеет квадратное уравнение? (1б)

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №1

ЗАДАНИЕ №2

- Рассмотри решение квадратных уравнении по формуле.

Пример 1. Найдем корни уравнения 2x2+3x+1=0

При решении квадратного уравнения по формуле выполняется алгоритм, который заключается в следующем.

Определить коэффициенты: =2, 3, с = 1.

Вычислить дискриминант: D =b2-4ac= 32 – 4.2.1 = 1>0

Записать формулу корней с числовыми значениями:

x1,2= = .

Вычислить корни в порядке возрастания:

x1,2= = = = -1; x2= = -.

Уравнение имеет два корня: -1 и -.

Ответ: x1=-1, x2=

Пример 2. Решим уравнение x2 -12x+36 = 0

D =b2-4ac= (-12)2 – 4.1.36 = 0, x1,2== = =6.

Уравнение имеет корень, равный 6.

Ответ: 6

Пример 3. Решим уравнение 2x2 -4x+5=0

D =(-4)2-4.2.5 = 19-40 = -24. Т.к. дискриминант отрицательное число, уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней не имеет.

№1. Расскажи алгоритм решения квадратного уравнения. (2б)

№2. Реши уравнение А или В. (6б)

А B

х2-5x+6=0 1) x2-7x+10=0

y2 +8y+16=0 2) y2-10y+25=0

–a2-3a+1=0 3) –a2+a+3=0

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №2

ЗАДАНИЕ №3

Рассмотрим квадратное уравнение ax2 + 2kx + c = 0.

Если в квадратном уравнении коэффициент при x четное число, то удобно записывать формулу корней уравнения иначе.

Пусть дано уравнение ax2+2kx+c = 0, тогда D =(2k)2-4ac = 4(k2-4ac = 4(k2-4ac)

х1;2 = = = . (6)

Следовательно, в таких случаях нужно вычислять не значение дискриминанта, а значение выражения k2 – ac, его значение равно .

Так, при решении уравнения ax2+2kx+c = 0 обозначим его дискриминант

= k2 – ac, при его корень вычисляют следующим образом: x1;2= .

Рассмотри решение примеров 1,2 запиши их в тетрадь.

Пример 1.

Найдем корни уравнения 5x2 - 8x – 4 = 0.

Решение: Здесь b= -8, т.е b=2(-4)

Используя формулу (6) имеем,

х1,2===;

Откуда: x1= - ; x2=2

Ответ: - ; 2

Рассмотри пример на определение количества корней квадратного уравнения.

Пример 2. Определим при каких значениях а уравнение 3x2-2x-a=0 не имеет корней.

Решение: Известно что квадратное уравнение не имеет корней, если D<0.

Найдем дискриминант: D =b2-4ac=22+4*3a=4+12a

По условию 4+12a<0

Решая линейное неравенство, получаем a< -.

Следовательно, данное уравнение не имеет корней при a< -.

Ответ: a€(-∞; -

№1. Выборочно реши 2 уравнения. (4б)

8x2-14x+5=0

4x2+4x+1=0

х2-8x-84=0

x2-22x-23=0

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №3

ЗАДАНИЕ №4

№1. Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите число корней.

Реши любые 3 уравнения. (6б)

–x2+6x-11=0 4) -5 x2+2x-2,5=0

x2-14x+49=0 5) x2+9x-3=0

3x2-x-2=0 6) x2-5x-8=0

№2. Выборочно реши два уравнения. (4б)

x2+3x+2=0 3) –x2-2x+24=0

x2-7x+12=0 4) - x2-5x+6=0

№3. Замени в уравнении x2-4x-5=0 свободный член другим числом, при котором уравнение не будет иметь корней. (2б)

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №4

ЗАДАНИЕ №5.

Молодец! Можно приступать к проверочной работе №1.

ЗАДАНИЕ №6

№1. Реши любые два уравнения. (4б)

2x(5x-7)=2x2-5 3) (x-5)2=3x2-x+14

(x+4)2=4x2+5 4) 9x(4x-1)=3x-1

№2. Выборочно реши 2 уравнения. (4б)

1,3x+0,2=0,7x2 3) 0,09- 4x2 =1,6x

9x2+2x -=0 4) 0,1x2-14= - 0,4x

№3. Выборочно реши четные или нечетные. (4б)

(3x-1)(x+2)=20 3) (x-3)2+(x+4)2-(x-5)2=17x+24

(x-4)(4x-3)+3=0 4) (x+5)2+(x-2)2+(x-7)(x+7)=11x+80

№4. Реши 2 уравнения. (4б)

-1 = – 3) - =

- = -0,2x 4) – = 0,2x

№5. Реши одно уравнение. (2б)

1) – =

2) - = .

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №5

Тема изучена в полном объеме. Просмотри еще раз свои рабочие записи, обрати внимание на пометки на полях.

ЗАДАНИЕ №7

Проверь свои знания, выполнив проверочную работу №2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №1

 

№1. Реши выборочно 4 уравнения. (8б)

А B

2x2+3x+1=0 1) x2+7x-44=0

2x2+x+2=0 2) 9y2+6y+1=0

–y2+3y+5=0 3) -2t2+8t+2=0

x2 +5x-6=0 4) a+3a2=-11

3x2-7x+4=0 5) x2-10x -39 = 0

5x2-8x+8=0 6) 4y2 – 4y+1=0

14x2-5x-1=0 7) -3t2-12t+6 = 0

P2+p-90=0 8) 4a2+5 = a

 

№2. Выборочно решите два уравнения, используя формулу (6). (4б)

A B

3x2-14x+16=0 1) 4x-36x+77=0

5x2 -16x+3=0 2) 15y2-22y-37=0

x2+2x – 80=0 3) 7a2 -20a+14=0

 

Итого: 12 баллов

«5» - 12б.

«4» - 10б.

«3» - 8б.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №2

 

№1. Реши выборочно 6 уравнений из уровня А или В. (12б)

А В

1) x2 +x-72=0 1) x2-5x-84=0

2)2y2-2y+0,5=0 2) 8y2+4y+0,5=0

3)-15=3t(2-t) 3) 10t=5(t2 -4)

4)a = a2+4 4) a=a2+1

5)(2x-3)(5x+1) = 2x + 5) (3x-1)(x+3)= x(1+6x)

6)(x+4)2=3x+10 6) (2x-3)2= 11x-19

7)3(x+4)2= 10x+32 7) (x+1) 2= (2x-1)2

8)- 11x=11 8) = x(10x-9)

9) = 9) x2 - x = +

10) x2+x-10=0 10) -x-3=0

 

№2. Реши одно уравнение. (2б)

Определите значение y, при которых верно равенство;

1) - = 12

2) - = 20

 

Итого: 14 баллов

«5» - 14б.

«4» - 12б.

«3» - 10б.

 

 

 

РЕЙТИНГОВЫЙ ЛИСТ

по теме: «Формулы корней квадратного уравнения»

Ф.И. ______________________________________, класс_________

 

Итого: 75 баллов

«5» - 70 - 75б.

«4» - 65 - 69б.

«3» - 59 - 64б.

 

 

УЧЕБНЫЙ ЛИСТ

тема

«ТЕОРЕМА ВИЕТА»

(3 занятия)

В результате изучения темы нужно

 

ЗНАТЬ: УМЕТЬ:

- свойства корней квадратного уравнения; - решать квадратные уравнения,

- теорему Виета; используя теорему Виета;

- теорему, обратную теореме Виета. - определять знаки корней квадратного

уравнения;

- составлять квадратное уравнение

по его корням.

Формулы:

х2 + рх + q = 0;

х1 + х2 = -р

х1· х2 = q

 

ЛИТЕРАТУРА:

Алгебра: учебник 8 класса общеобразовательной школы, А. Абылкасымова, И. Бекбоев,

А. Абдиев, З. Жумагулова, г. Алматы: «Мектеп», 2008 г.

2. Алгебра 8 класс. Сборник задач. Алматы, «Мектеп», 2008 г.

Помните, что работать нужно по алгоритму!

Не забывайте проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.

Пожалуйста, не оставляйте без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!

 

ЗАДАНИЕ № 1

Повтори правила и формулу корней квадратного уравнения общего вида

ах2 + bх + с=0, где а ≠ 0.

Запиши формулу в тетрадь, найди сумму и произведение корней х1 и х2. (2б)

Как известно:

х1 = и х2 =

Найдем сумму и произведение х1 и х2:

х1 + х2 = + = = -

х1∙ х2 = = = =

х1 + х2 = и х1 х2 =

Запиши пример: 5х2 – 48х - 20 = 0

х1 + х2= и х1 х2 =- = -4

Тебе известно, что разделив обе части на первый коэффициент – а, уравнения

ах2 + bх + с=0 (а ≠ 0), можно получить приведенное квадратное уравнение:

х2 + х + =0 (1)

Вы также знаете, что приведенное квадратное уравнение принято записывать в виде

х2 + pх + q=0 (2)

Сопоставив (1) и (2) можно заключить, что

р = , q =

Выше было определено, что х1 + х2= и х1 х2 = - ;

Можно утверждать, что х1 + х2 = - р и х1 х2 = - q.

Запиши и выучи теорему Виета. (2б)

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

х1 + х2= -р и х1 х2 =- q.

Прочти доказательство:

Пусть дано приведенное квадратное уравнение: х2 + pх + q = 0.

Ты знаешь, что корни данного уравнения равны:

х1 =- + х2=- - .

Отсюда:

х1 + х2 =(- + ) + (- - = - + - - = -p/

Итак, х1 + х2 =- p

2)х1 х2 =(- + ) (- - =)2 – 2 = – ( - q)2 =

= – + q = q

Итак, х1 х2 = q

Теорема доказана.

Обратите внимание: теорема Виета доказана для случая, когда приведенное квадратное уравнение имеет два различных корня (т.е. для D>0).

5) Рассмотрите случаи: если D=0 и D<0. (2б)

6) Рассмотрите и запишите примеры 1 и 2 в тетрадь.

Пример 1. Найти корни квадратного уравнения х2 – 8х + 15 = 0.

Решение: Нам известно, что по теореме Виета второй коэффициент (р = -8) приведенного квадратного уравнения равен сумме корней взятой с противоположным знаком (х1 + х2 = 8), а свободный член (q = 15) равен их произведению (х1 х2= 15). Используя теорему Виета, методом подбора определяем, что корнями данного уравнения являются числа 3 и 5, так как 3 ∙ 5 = 15 и 3+5 =8.

Ответ: 3; 5.

Пример 2. Составим приведенное квадратное уравнение, если 11 и - 2 являются его корнями.

Решение: Найдем сумму и произведение корней х1 = 11 и х2 = - 2.

Тогда х1 + х2 =9 и х1 ∙ х2 = - 22. Теперь можно составить приведенное квадратное уравнение, учитывая, что второй коэффициент равен сумме корней с противоположным знаком, а свободный член есть их произведение т.е. р = -9 и q= -22. Тогда имеем приведенное квадратное уравнение х2 – 9х - 22 = 0.

7) Выучи обратную теорему Виета.

Если сумма двух чисел равна –р, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями квадратного уравнения: х2 + pх + q=0.

8) Выполни четные или нечетные примеры из № 1 и №2.

№1. Найди сумму и произведение корней уравнения. (6б)

1) х2-6х+8=0 2) х2-5х+6=0 3) х2+2х-3=0

4) х2-7х+2=0 5) х2-6х+5=0 6) х2-х-30=0

 

№2. Составь квадратное уравнение по его корням. (12б)

2 и 3; 2) 6 и 2; 3) 5 и 3; 4) 1 и 2;

5) и ; 6) 0,4 и 0,2; 7) 2 и 1; 8) и ;

9) 1 и 1; 10) 5 и 0; 11) 0 и 1; 12) 5 и 5.

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №1

 

ЗАДАНИЕ №2

№1. Не пользуясь формулами корней квадратных уравнений, найди корни следующих квадратных уравнений. Выборочно реши 5 примеров. (10б)

х2-10х+25=0; 6) 4х2-12х+9 =0;

х 2+6х+9=0; 7) 9х2-24х+16=0;

х2-6х+5=0; 8) 3у2-23у+21=0;

2х2 – 9х -5 = 0; 9) 7у2-11у-6=0;

3х2+х -4 = 0 ; 10) 3х2 – 3х +6 =0.

 

№2. Найди сумму и произведение корней каждого из данных уравнений. Выборочно реши 2 примера. (4б)

1) 3х2+4х-6=0; 2) -х2-7х+8=0;

3) 2х2-5х+1=0; 4) 5х2+х-4=0.

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №2

ЗАДАНИЕ №3

№1. Составь квадратное уравнение по его корням. Выборочно реши 4 примера. (8б)

-1; 3; 2) -0,2; -0,3; 3) 0,3; -0,1; 4) -1;1;

5) -4; 0; 6) 0; -5; 7) -0,3; 0; 8) 1,5; -2.

№2. Один из корней квадратного уравнения равен 2. Найди второй корень уравнения. Выборочно реши 2 примера. (4б)

1) х2+17х-38=0; 2) 7х2-11х-6=0;

3) -7х2 +11 х + 6=0; 4) 8х2 -15х -2 =0.

№3. Один из корней данного квадратного уравнения равен -3. Найди коэффициент k и второй корень уравнения. Выборочно реши 2 примера. (4б)

1) х2+5х+k=0; 3) 5х2-7х+k=0;

2) x2+ kx -16=0; 4) 3x2-kx+10=0.

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №3

ЗАДАНИЕ №4

Молодец! Можно приступать к проверочной работе №1.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!

ЗАДАНИЕ №5

№1. Не решая следующие уравнения, определи знаки корней. Выборочно реши 5 примеров. (10б)

1) х2-6х+5=0; 2) х2+4х-5=0; 3) х2+20х+19=0;

4) 2х2+5х+2=0; 5) 3х2+8х=4; 6) 4х2+5=10х;

7) 8х2-1=2х; 8) 2х2+3х=2; 9) 4х2+9х=-2.

№2 Составь квадратные уравнения по его корням. Выборочно реши 3 примера. (6б)

х1= √3 и х2 = √ 5 4) х1= -7 и х2 = -4√3;

х1 = 2√3 и х2 = 3√3 5) х1 = -2 и х2 = √ 5

х1 = √3+ 2 и х2 = √3 -2 6) х1 = 1 -5 √ 2 и х2 = 1+5√2

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 4

Тема изучена в полном объеме. Прсмотри еще раз свои рабочие записи, обрати вниммание на пометки на полях.

ЗАДАНИЕ №6

Проверь свои знания, выполнив проверочную работу №2.

 

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 1

№1. Найди сумму и произведение корней уравнения. (4б)

А В

1) х2 -2х – 15 = 0; 1) х2 + 4х – 12 = 0;

2) х2 – 5/6х+1/6=0. 2) х2 + 1/4х -1/8=0.

№2. Составь квадратное уравнение, корнями которого являются х1 и х2 . (4б)

А В

1) х1 = -7 и х2 = 2,5; 1) х1 = 2,5 и х2= -6;

2) х1 = 6 и х2 = - 1,3. 2) х1= -1,2 и х2= -0,5.

№3. Найди корни квадратного уравнения. (4б)

А В

1) х2 - 3х - 88 = 0; 1) х2 + 16х +63 = 0;

2) х2 + 11х – 26 = 0. 2) х2 – 17х – 84 = 0.

№4. Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найди второй корень уравнения. (2б)

А В

х2 +21х+54=0. 9х2 – 20х -21 = 0.

Итого: 14 баллов

«5» - 14б.

«4» - 12б.

«3» - 10б.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 2

№1. Определи знаки корней уравнений (если корни существуют), не решая уравнения. (6б)

А В

х2 +11х + 20=0; 1) у2 + 15у -13 = 0;

2у2 + 19у - 27=0; 2) 3х2 +21х +17=0;

5х2 +17х - 93=0. 3) 3у2 - 23у + 21=0.

№2. Один из корней данного квадратного уравнения равен - 3. Найди коэффициент k и второй корень уравнения. (4б)

А В

1) х2 + 5х + k = 0; 1) х2 + kх – 16 = 0;

2) 3х2 – kх +10 = 0. 2) 5х2 – 7х + k = 0.

№3. Найди подбором корни уравнений. (6б)

А В

1) х2 – 5х +6=0; 1) х2 – 8х – 9 = 0;

2) у2 – 8х + 15 = 0; 2) у2 - 3у – 10 = 0;

3) у2 – 13х + 42=0. 3) у2 – 11у -80 = 0.

№4.Запишите квадратное уравнение, корни которого равны. (2б)

А В

1) 2 и 5; 1)3 и 4;

2) -1 и 3; 2) -2 и 5;

Итого: 18 баллов

«5» - 18 б.

«4» - 16б.

«3» - 14б.

РЕЙТИНГОВЫЙ ЛИСТ

по теме: «Теорема Виета»

Ф.И. _____________________________________________________, класс _____________

Итого: 102 балла

«5» - 94 – 102б.

«4» - 84 - 93б.

«3» - 78 – 83б.

УЧЕБНЫЙ ЛИСТ

тема

«РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

 

(3 занятия)

 

В результате изучения темы нужно

ЛИТЕРАТУРА:

1. Алгебра учебник 8 класса общеобразовательной школы А. Абылкасымова,

И. Бекбоев, А. Абдиев, З. Жумагулова, г Алматы: «Мектеп», 2008г.

2. Алгебра 8 класс. Сборник задач. Алматы «Мектеп», 2008г.

Помни, что работать нужно по алгоритму!

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.

Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!

 

Приобретать знания – храбрость,

Приумножать их – мудрость,

А умело применять их – великое искусство.

 

ЗАДАНИЕ №1

1) Рассмотри виды дробно-рациональных уравнений.

Например:

2) Рассмотри в примерах решение дробно-рационального уравнения.

Выполни проверку, подставив корни в исходное уравнение. (2б)

 

Решив квадратное уравнение, находим его корни, в результате получаем х1 = -3,5 и х2 = 5.

№1. Запиши в тетрадь и выучи алгоритм решения дробно-рациональных уравнений. (2б)

1) найдем общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножаем каждый член уравнения на соответствующий дополнительный множитель;

3) приравнивая числители, получим целое рациональное уравнение;

4) решаем полученное уравнение;

5) исключаем из числа его корней посторонние корни.

№2. Составь и запиши три дробно-рациональных уравнения. (6б)

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №1

ЗАДАНИЕ №2

№1. Выборочно реши три дробно-рациональных уравнения. (6б)

 

№2. Реши один пример на выбор. (2б)

При каком значении х значение дроби:

1) равно 7;-9;0;10; 2) равно 0; 2; ; ?

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №2

 

ЗАДАНИЕ № 3

Молодец! Можно приступать к проверочной работе №1.

ЗАДАНИЕ №4

1)Рассмотри пример.

Найти корни уравнения .

Решение: Так как в обеих частях уравнения находятся рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, то должны быть равны их числители, т.е.:

После преобразования последнего уравнения имеем: или Полученное квадратное уравнение имеет корни

Проверка показывает, что исходному уравнению удовлетворяет только первый корень – а второй корень ему не удовлетворяет, так как при х=7 знаменатели обеих частей исходного уравнения обращаются в нуль, т.е. х=7 является посторонним корнем.

№1. Ответь на вопрос: какие корни называют посторонними корнями? (2б)

№2. Реши на выбор 2 примера. (4б)

1); 2) ;

3) ; 4) .

№3. Реши на выбор один пример. (2б)

Найди значения переменной у, при которых:

сумма числа 1 и дроби равна ;

разность числа 5 и равна ;

разность дробей и равна ;

сумма дробей и равна .

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №3

 

Тема изучена в полном объеме. Просмотри еще раз свои рабочие записи, обрати внимание на пометки на полях.

ЗАДАНИЕ №5

Проверь свои знания, выполнив проверочную работу №2.

 

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №1

№1. Выпиши из предложенных уравнений дробно-рациональные. (3б)

№2. Выборочно реши три примера. (6б)

Итого: 9 баллов

«5» - 9б.

«4» - 8б.

«3» - 7б.

 

 

 

 

 

 

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №2

№1. Реши на выбор 3 уравнения. (6б)

№2. Реши на выбор одно задание. (2б)

А В

«5» - 8б.

«4» - 7б.

«3» - 6б.

 

 

РЕЙТИНГОВЫЙ ЛИСТ

по теме: «Рациональные уравнения»

Ф.И. ______________________________________, класс_________

 

 

Итого: 41 баллов

«5» - 37 - 41б.

«4» - 33 - 36б.

«3» - 28 - 32б.

 

 

 

 

 

УЧЕБНЫЙ ЛИСТ

тема

«УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К КВАДРАТНЫМ УРАВНЕНИЯМ»

(3 занятия)

В результате изучения темы нужно

 

ЛИТЕРАТУРА:

1. Алгебра учебник 8 класса общеобразовательной школы А. Абылкасымова,

И. Бекбоев, А. Абдиев, З. Жумагулова, г Алматы: «Мектеп», 2008г.

2. Алгебра 8 класс. Сборник задач. Алматы «Мектеп», 2008г.

Помни, что работать нужно по алгоритму!

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.

Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!

Приобретать знания – храбрость,

Приумножать их – мудрость,

А умело применять их – великое искусство.

ЗАДАНИЕ № 1

1) Прочитай и выучи определение. Выпишите его в тетрадь. (2б)

Определение:

Уравнение вида , где а0, называется биквадратным уравнением.

2) Рассмотри и выпиши пример решения биквадратного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение: Если обозначим в данном уравнении через z, то получим следующее квадратное уравнение: .

Решив полученное квадратное уравнение, имеем:

Для нахождения значения х в равенство вместо z подставим его значения. Тогда получим уравнения . Уравнение вида не имеет корней, а уравнение имеет два корня:

Подставляя эти значения в исходное уравнение, убеждаемся, что они удовлетворяют ему.

Ответ: -1;1.

Этот метод называется – МЕТОД ВВЕДЕНИЯ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

 

№1. По образцу выборочно реши 4 примера. (8б)

№2. Запиши в тетрадь и выучи алгоритм решения уравнений, приводящиеся к квадратным уравнениям методом введения новой переменной. (2б)

1) введем в уравнение новую переменную путем обозначения какого-то выражения из этого уравнения;

2) вместо этого выражения подставляем новую переменную и получим квадратное уравнение относительно новой переменной;

3) решаем полученное квадратное уравнение;

4) способом подстановки находим значение исходной переменной;

5) с помощью проверки определяем корни данного уравнения.

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №1

ЗАДАНИЕ №2

1) Разбери образец решения уравнения, приводящегося к квадратному уравнению.

Решим уравнение .

Решение:

1) Введем новую переменную .

2)Подставим новую переменную в исходное уравнение, получим .

3)Решаем полученное уравнение:

4)Находим значение исходной переменной:

Ответ: -1+ ; -1- .

№1. Ответь на вопросы:

1. В чем заключается смысл метода введения новой переменной? (1б)

   Почему требуется обязательная проверка корня уравнения, приводящегося к решению квадратных уравнений? (1б)

№2. На выбор реши два примера. (4б)

Используя метод введения новой переменной, решите уравнение:

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №2

ЗАДАНИЕ №3

Молодец! Можно приступать к проверочной работе №1.

ЗАДАНИЕ №4

№1. Реши на выбор по одному уравнению из каждой колонки. (4б)

№2. Реши на выбор 3 примера. (6б)

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №3

Тема изучена в полном объеме. Просмотри еще раз свои рабочие записи, обрати внимание на пометки на полях.

ЗАДАНИЕ №5

Проверь свои знания, выполнив проверочную работу №2.

 

 

 

 

 

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №1

№1. Реши на выбор 5 уравнений. (10б)

А В

№2. Выборочно реши два примера. (4б)

А

В

Итого: 14 баллов

«5» - 14б.

«4» - 10б.

«3» - 8б.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №2

№1. Реши на выбор 2 уравнения. (4б)

№2. Реши на выбор одно уравнение. (2б)

Итого: 6 баллов

«5» - 6б.

«4» - 4б.

«3» - 2б.

РЕЙТИНГОВЫЙ ЛИСТ

по теме: «Уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям»

Ф.И. _____________________________________________, класс __________

 

 

 

Итого: 48 баллов

«5» - 44 – 48б.

«4» - 39 – 43б.

«3» - 35 – 38б.

 

УЧЕБНЫЙ ЛИСТ

тема

«КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.

РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ»

(3 занятия)

В результате изучения темы нужно

 

- определение квадратного трехчлена; - находить корни квадратного трехчлена;

- алгоритм нахождения корня - разложить квадратный трехчлен на множители;

квадратного трехчлена; - применять разложение квадратного трехчлена

- формулу разложения квадратного при преобразованиях алгебраических дробей;

трехчлена на множители. - находить наибольшее и наименьшее значения

квадратного трехчлена.

 

ЛИТЕРАТУРА:

1. Алгебра учебник 8 класса общеобразовательной школы А. Абылкасымова,

И. Бекбоев, А. Абдиев, З. Жумагулова, г Алматы: «Мектеп», 2008г.

2. Алгебра 8 класс. Сборник задач. Алматы «Мектеп», 2008г.

Помни, что работать нужно по алгоритму!

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.

Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!

 

Приобретать знания – храбрость,

Приумножать их – мудрость,

А умело применять их – великое искусство.

ЗАДАНИЕ № 1

Прочитай текст:

Определение:

Квадратным трехчленом называется многочлен вида а2 +b + с, где – переменная, а, b, с – коэффициенты, причем а ≠0.

Как и в случае с квадратным уравнением, а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член квадратного трехчлена.

Квадратный трехчлен называется приведенным, если его первый коэффициент равен 1, т.е. а = 1.

Корнями квадратного трехчлена называются значения переменной , при которых значение квадратного трехчлена равно нулю. Другими словами, корнями трехчлена а2 +b + с называются корни уравнения а2 +b + с = 0.

Рассмотрим разложение квадратного трехчлена на множители. Квадратное уравнение общего вида

а2 +b + с = 0, где а ≠0, (1)

преобразуем в приведенное квадратное уравнение. Для этого обе части уравнения (1) разделим на первый коэффициент:

2 + + = 0. (2)

Пусть корнями приведенного квадратного уравнения будут 1 и 2, тогда, согласно теореме Виета, имеем:

1 + 2 = - ,

12 = ,

откуда: b = - а (1 + 2) и с = а (1 2).

Подставив значения b и с в квадратное уравнение (1) и используя способ группировки, получим:

а2 +b + с = а2 - а (1 + 2) + а (1 2) = а(2 - (1 + 2) + 1 2) =

а(2 - 1 - 2 + 1 2) = а( ( – 1) – 2( – 1)) = а ( – 1) ( – 2).

В результате получили формулу разложения квадратного трехчлена на множители через его корни, а именно:

а2 +b + с = а ( – 1) ( – 2), (3)

где 1 и 2 – корни квадратного трехчлена.

Таким образом, доказали, что, если 1 и 2 – корни квадратного трехчлена

а2 +b + с, то, а2 +b + с = а ( – 1) ( – 2).

Итак, если квадратный трехчлен имеет корни, то он раскладывается на множители.

Верно и обратное утверждение, что, если квадратный трехчлен раскладывается на множители, то он имеет корни.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители.

№1. Выпиши в тетрадь:

- определение квадратного трехчлена;

- определение приведенного квадратного трехчлена;

- определение корней квадратного трехчлена;

- формулу разложения квадратного трехчлена на множители через его корни.

Выучи наизусть определения, записанные в тетради. (4б)

№2. Найди корни квадратных трехчленов – реши на выбор любые четыре примера. (8б)

1) х2- 8х + 7; 5) х2+ 15х + 56;

2) х2 - 11х +30; 6) х2+ х - 6;

3) х2- 8х + 15; 7) х2+7х + 12;

4) х2+ х – 42; 8) х2+2х - 8.

ПРОЙДИТЕ ПРОВЕРКУ № 1

 

ЗАДАНИЕ № 2

Рассмотри и запиши решение заданий из следующих примеров:

Разложим на множители квадратные трехчлены:

1) х2+4х-21;

2) 25у2+10у+1;

3) 3х2+4х-7;

4) 3х2+х+4.

Решение:

1) Уравнение 2+4-21= 0 является приведенным квадратным уравнением, т.к. а =1.

Решение: 2+4-21= 0

D = b2 – 4ac = 16 + 84 = 100.

1 = 3; 2 = -7.

Используя формулу разложения квадратного трехчлена, получим:

2+4-21= ( – 3) ( + 7).

2) Дискриминант уравнения 25у2+10у+1 = 0 равен нулю. Значит, уравнение имеет два равных корня: у1 = у2 = - и а = 25. Теперь квадратный трехчлен 25х2+10х+1 разложим на множители следующим образом: 25у2+10у+1 = 25 (у – (- ))(у – (- )) = = 25 (у + )2 = (5у + 1)2.

3) Уравнение 32+4-7 = 0 имеет корни: 1 = 1; 2 = -. Значит, квадратный трехчлен можно разложить на множители. В данном случае, а = 3, поэтому имеем:

32+4-7 = 3 ( – 1) ( + ).

4) Найдем дискриминант уравнения 32++4 = 0:

D = 1 - 434 = 1 – 48 = - 47. Так как дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней. Следовательно, квадратный трехчлен нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени, т.е. нельзя разложить на множители.

№1. Ответь на вопросы

- В каком случае квадратный трехчлен не раскладывается на линейные множители? (1б)

- Можно ли называть многочлен 9х2+5 квадратным трехчленом? (1б)

№2. Разложи на множители квадратные трехчлены.

Выполни четные или нечетные примеры. (8б)

1) х2- 16х + 60; 5) 16 х2+ 8х + 1;

2) х2 + 20х - 96; 6) 9х2- 6х + 1;

3) х2- 4х - 77; 7) 4х2- 7х - 2;

4) х2- 4х – 96; 8) 4х2+ 11х - 3.

ПРОЙДИТЕ ПРОВЕРКУ № 2

ЗАДАНИЕ № 3

№1. Рассмотри и запиши решение следующих примеров.

Сократить дробь:

1);

2) .

Решение:

Найдем корни квадратных трехчленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби . Корнями трехчлена 2- 8- 9 являются -1 и 9, а корнями трехчлена 2+9 + 8 – числа -8 и -1. Тогда по формуле (3) имеем: 2- 8- 9 = ( – 9) ( + 1)

и 2+9 + 8 = ( +8) ( + 1). Следовательно, дробь имеет вид . Данную дробь можно сократить при условии, что не будет принимать значение, равное -1. Поэтому сократим дробь на общий множитель (при условии ≠ -1) и получим дробь .

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители, используя формулу (3) и формулу разности квадратов: m2 + 6m – 7 = (m + 7)(m - 1);

m2 – 1 = (m+1)(m-1). Данная дробь примет вид . Сократив дробь на общий множитель m – 1, получим: . Сокращение данной дроби можно выполнить при условии, что m ≠ 1.

№2. Сократи дробь. Выполни четные или нечетные примеры. (10б)

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

ПРОЙДИТЕ ПРОВЕРКУ № 3

ЗАДАНИЕ № 4

Молодец! Можно приступать к проверочной работе №1.

ЗАДАНИЕ № 5

Рассмотри и запиши решение следующего задания.

Определим наибольшее значение трехчлена .

Для нахождения наибольшего значения данного трехчлена выделим полный квадрат: = - = - [( - 3)2 - 1] = 1 - ( - 3)2.

Разность двух членов с постоянным уменьшаемым может иметь наибольшее значение, когда вычитаемое имеет наименьшее значение. При =3 вычитаемое имеет наименьшее значение (нулевое). Следовательно, при этом значении трехчлен имеет наибольшее значение, равное 1, т.к. 1 – (3 - 3)2 = 1 – 0.

№1. Найди наибольшее и наименьшее значения квадратного трехчлена - реши на выбор любые два примера. (4б)

1) х2- 2х + 4;

2) -х2 + 4х + 2;

3) 2х2+8х - 1;

4) -3х2+6х +2.

ПРОЙДИТЕ ПРОВЕРКУ №4

Тема изучена в полном объеме. Просмотри еще раз свои рабочие записи, обрати внимание на пометки на полях.

ЗАДАНИЕ №6

Проверь свои знания, выполнив проверочную работу №2.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №1

№ 1. Разложи на множители. (8б)

А В

1) х2 - 4х +3; 1) х2 – 10х + 21;

2) 10х2 + 7х +1; 2) 15х2 – 8х + 1;

3) 9х2 - 3х - 2; 3) х2 + х - 6;

4) х2 + 10х + 21; 4) 15х2 + х - 2;

 

№ 2. Сократи дробь. (6б)

А В

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) . 3) .

Итого: 14 баллов

«5» - 14б.

«4» - 12б.

«3» - 10б.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №2

№ 1. Разложи на множители квадратный трехчлен. (6б)

А В

1) 12 х2 + х – 1; 1) 8х2 + 15х -2;

2) 15 х2 + х - 2; 2) 2х2 – 5х + 2;

3) 2х2 - х – 5. 3) -24х2 – 5х + 1.

 

№ 2. Сократи дроби. (4б)

А В

1) ; 1) ;

. 2) .

№ 3. Найди произведение двух дробей. (2б)

А В

и . и .

Итого: 12 баллов

«5» - 12б.

«4» - 10б.

«3» - 8б.

 

 

РЕЙТИНГОВЫЙ ЛИСТ

по теме: «Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители»

Ф.И. __________________________________________, класс __________

 

 

Итого: 62 балла

«5» - 56 – 62б.

«4» - 46 – 55б.

«3» - 39 – 45б.

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразоват. шк./ А. Абылкасымова, И.Бекбоев ,

А. Абдиев, З. Жумагулова. – Алматы: Изд-во «Мектеп», 2008 г.

Алгебра: Сборник задач. Учеб.пособие для 8 кл.общеобразоват.шк. – Алматы: Изд-во «Мектеп»