Презентация «Экстремум функции двух переменных. Производная по направлению. Градиент»

Экстремум функции двух переменных. Производная по направлению. Градиент. МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 39» Учитель математики Вдовина Дарья Сергеевна г. Петрозаводск 2023 Презентация по математике на тему:

Содержание: Понятие экстремумов функции Необходимое условие экстремума функции двух переменных Достаточное условие экстремума функции двух переменных Алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных Пример решения задачи Производная по направлению Пример нахождения производной по направлению Градиент функции Пример нахождения градиента

Понятие экстремумов функции Функция имеет максимум в точке т.е. при если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от неё. Функция имеет минимум в точке т.е. при если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от неё. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.  

Необходимое условие экстремума функции двух переменных Теорема. Если функция достигает экстремума при то каждая частная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.  

Достаточное условие экстремума функции двух переменных Теорема. Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е. тогда при возможны следующие случаи:  

Достаточное условие экстремума функции двух переменных имеет максимум, если определитель и где имеет минимум, если определитель и не имеет ни максимума, ни минимума, если определитель Если то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).  

Алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных Пусть дана функция двух переменных Найти частные производные и Составить систему уравнений, прировняв найденные производные к нулю (необходимый признак существования экстремума): Решения этой системы уравнений являются точками возможного экстремума - критическими точками.  

Алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных 3) Пусть является критической точкой, найденной на шаге 2. Чтобы убедиться, что в ней существует экстремум функции двух переменных, находим частные производные второго порядка как частные производные от частных производных первого порядка, найденных на шаге 1.  

Алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных 4) Присвоить частным производным второго порядка, найденным на шаге 3, буквенные обозначения: Найти определитель и проверить достаточный признак существования экстремума. 5) Подставить значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получить значение экстремума функции двух переменных (минимума или максимума).  

Пример решения задачи Найти экстремумы функции двух переменных 1) Находим частные производные 2) Составляем систему уравнений и решаем её Пусть , тогда ;  

Пример решения задачи Так как и , получим: Таким образом, получили четыре критических точки – точки возможного экстремума: 3) Находим частные производные второго порядка  

Пример решения задачи 4) Находим определитель для каждой точки а) Для экстремума нет б) Для экстремума нет  

Пример решения задачи в) Для 6 и данной точке есть минимум г) Для и в данной точке есть максимум  

Пример решения задачи 5) Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значения экстремума функции двух переменных: Вывод: В точке имеется минимум В точке имеется максимум  

Производная по направлению Рассмотрим функцию определенную в окрестности точки Произвольный вектор с направляющими косинусами . Через точку  проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора . На получившейся прямой отметим точку , координаты которой образуют суммы координат точки  и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:  

Производная по направлению Величину отрезка можно обозначить . Функция при этом получит приращение  

Определение Предел отношения при если он существует, называется производной функции по направлению вектора и обозначается т.е. .  

Формула для нахождения производной по направлению Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в направлении заданного вектора  

Пример нахождения производной по направлению Найти производную функции в точке по направлению вектора 1) Найдём частные производные  

Пример нахождения производной по направлению 2) Найдём направляющие косинусы: Отсюда: 3) С помощью формулы найдём производную по направлению  

Градиент функции Градиент функции нескольких переменных в точке  характеризует направление максимального роста этой функции в точке  и величину этого максимального роста. Чтобы найти градиент функции нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:  

Пример нахождения градиента Найти градиент функции в точке Найдём частные производные функции 2) Запишем градиент, используя формулу