Фигурные числа

Тема: Фигурные числа

Автор: Комаров Александр Николаевич

Научный руководитель: Искендерова Надежда Герасимовна

Место выполнения работы:

МБОУ «Львовская СОШ Новооскольского района

Белгородской области»

Переступив порог школы, на уроках математики мы познакомились с натуральными числами и нулём. Затем узнали числа, которые являются двузначными, трехзначными, четырехзначными и т.д. В 5 классе узнали новое: числа еще бывают дробными, смешанными, узнали их свойства. В 6 классе познакомились с простыми и составными числами, целыми, положительными и отрицательными. После того, как учительница сказала, что это ещё не все числа, пришли к вводу, что мир чисел велик.

У меня возник вопрос: «А какие существуют еще числа?». И каково было моё удивление, когда, просматривая детскую развивающую телепередачу, услышал, что есть ещё числа перевёртыши и числа с таким интересным названием как фигурные. Мне захотелось узнать о них (почему они так называются и имеют ли отношение к повседневной жизни) и я решил заняться исследованием фигурных чисел.

Итак: объектом моего исследования стали фигурные числа.

Предмет исследования: использование фигурных чисел в математике и в повседневной жизни.

Цель исследования: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурные числа; изучить процесс закономерности построения фигурных чисел и выявить их роль в нашей жизни.

Поставил перед собой задачи:

Познакомиться с историей возникновения фигурных чисел.

Изучить виды фигурных чисел.

Рассмотреть их применение в жизни человека.

Методы исследования:

поисковый метод: использование научной и учебной литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод: выполнение построений фигурных чисел; поиск фигурных чисел вокруг нас, т.е. в повседневной жизни;

социологический опрос обучающихся в школе по данной теме;

анализ полученных в ходе исследования данных и подведение итогов.

Основная часть

Когда я впервые прочитал о существовании фигурных чисел, задумался: «Почему числа фигурные?» Наверное, эти числа, как-то связаны с фигурами. А раз это связано с математикой, то фигуры, стало быть, геометрические.

Я долго искал информацию: смотрел и читал энциклопедии, дружил с Интернетом и труды мои не оказались напрасными. Из википедии я узнал, что «Фигу́рные чи́сла — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур». Меня затронуло, что фигурные числа напрямую связаны с математикой. А так как без математики немыслима окружающая нас жизнь, значит фигурные числа непосредственно связаны с окружающим нас миром. Я стал искать их в жизни.

Вот, например, про числа 25, 49, 100 говорят, что они являются квадратами. А почему? Потому что они получаются, если возвести числа 5, 7 и 10 в квадрат. Но имеет ли это название какое-нибудь отношение к геометрической фигуре - квадрату? Я обратил внимание на следующий факт. Солдаты на параде стоят правильными рядами, образуя квадраты. Число солдат внутри такого квадрата легко подсчитать - нужно умножить их число вдоль горизонтальной стороны на число солдат вдоль вертикальной стороны (заметим, что эти числа равны), и получится общее количество солдат внутри квадрата.

Вот оно что: числа 4,9,16,25,36,47,64,81,… фигурные числа. Их фигурой является квадрат. Поразмышляв, я заключил, что число 10 это тоже фигурное число – прямоугольник. Потому что 10 = 2*5, где 2 – ширина, а 5 – длина прямоугольника.

Немного истории

А когда про них узнали математики? Поискал в Интернете исторические сведения об этих числах. Оказалось, что фигурные числа были известны еще в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в школе Пифагора. Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камушков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По ‏этой ‏причине ‏греки ‏не ‏знали ‏нуля, ‏так ‏как ‏его ‏невозможно ‏было  ‏«увидеть». ‏Но ‏и ‏единица ‏ещё ‏не ‏была ‏равноправным ‏числом, ‏а ‏представлялась ‏как ‏некий ‏«числовой ‏атом», ‏из ‏которого ‏образовывались ‏все ‏числа. ‏Пифагорейцы ‏называли ‏единицу ‏«границей ‏между ‏числом ‏и ‏частями», ‏т.е. ‏между ‏целыми ‏числами ‏и ‏дробями, ‏но ‏в ‏то ‏же ‏время ‏видели ‏в ‏ней ‏«семя ‏и ‏вечный ‏корень». ‏Число ‏же ‏определялось ‏как ‏множество, ‏составленное ‏из ‏единиц. ‏Особое ‏положение ‏единицы ‏как«числового ‏атома» ‏роднило ‏её ‏с ‏точкой, ‏считавшейся ‏«геометрическим ‏атомом». ‏Вот ‏почему ‏Аристотель ‏писал: ‏«Точка ‏есть ‏единица, ‏имеющая ‏положение, ‏единица ‏есть ‏точка ‏без ‏положения».

Возможно, учение пифагорейцев было своеобразным вариантом атомизма, а изображаемые фигуры указывали на способ комбинации элементов или атомов того или иного тела – таким образом, фраза «всё есть число» означала, что суть вещи, по пифагорейцам, заключалась не в самих составных частях, а в способе их комбинации. В этом смысле структурные числа пифагорейцев были аналогом структурных формул современной химии. Некоторые исследователи усматривают корни пифагорейского представления о фигурных числах в наблюдении созвездий, которые отличаются друг от друга именно формой, образуемой звездами.

Пифагорейцам была присуща и особая числовая мистика. Так, 4 – первый квадрат, или первое число вида n × n (после 1), – по их мнению, было число справедливости, так как справедливость состоит в воздаянии равным за равное (n за n). Особенно почиталось у пифагорейцев число 10 = 1 + 2 + 3 + 4: 1 – единица, «матерь всех чисел», 2 выражает линию, 3 – треугольник, а 4 – пирамиду: фактически, на минимальном из отрезков, изображающем линию, должно быть две точки, минимальное число точек, которые нужны для изображения плоской фигуры, – три, а минимальное число точек, которые нужны для изображения пространственной фигуры, – четыре. Кроме того, из чисел, меньших 10, столько же простых, сколько и составных. Поскольку 10, кроме того, само является треугольным числом со стороной, равной 4, число 4, как бы в зародыше содержащее 10, также считалось священным и именовалось «истоком и корнем высшей природы». Величайщей клятвой у пифагорейцев считалась клятва Четверицей.

Число десять – одно из самых интересных пифагорейских чисел.

Счет на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счета на камушках.

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Диофант Александрийский написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. В Новое время фигурными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие.

В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа, которые получаются так, как это показано на рисунке.

Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, получатся все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, т.е. составное, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". Числа - камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Виды фигурных чисел

Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, бо́льшие единицы, то есть это ряд простых чисел, дополненный единицей (у Евклида используется термин «первые числа», πρώτοι αριθμοί):

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271 …

Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, бо́льших единицы, то есть составные:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88 …

Плоское число 6=2*3

Частным случаем являются прямоугольные числа (в источниках называются также «продолговатыми»), являющиеся произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеющие вид  n(n+1)

Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей:

8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 116, 117, 120, 124, 125, 126, 128, 130, 132, 135, 136, 138, 140, 144 …

Телесное число 8=2*2*2.

Многоугольные числа — числа, связанные с определённым многоугольником

Треугольные числа (3, 6, 10).

Квадратные числа (4, 9, 16).

Сумма последовательных треугольных чисел образует квадратное число

Пятиугольные числа (5, 12, 22).

Е сли взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет треугольником, если же двойка, то четырёхугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу.

Шестиугольные числа

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560 …, {\displaystyle 2n^{2}-n}  {\displaystyle 2n^{2}-n}2n2 - n…

Каждое шестиугольное число является треугольным числом, но лишь некоторые треугольные числа (первое, третье, пятое, седьмое и т. д.) являются шестиугольными. Как и треугольныe, шестиугольные числа делятся на 9 с остатком 0, 1, 3 или 6. Каждое шестиугольное число является треугольным числом, но лишь некоторые треугольные числа (первое, третье, пятое, седьмое и т. д.) являются шестиугольными. Как и треугольныe, шестиугольные числа делятся на 9 с остатком 0, 1, 3 или 6.

Центрированные многоугольные числа:

Семиугольные числа

Пространственные многогранные числа. 

Наряду с рассмотренными выше фигурными числами для плоских фигур, можно определить пространственные или даже многомерные их аналоги. Пространственные многогранные числа — числа, связанные с определённым многогранником.

Среди пространственных фигурных чисел можно выделять тетраэдрические, кубические числа.

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2*2*2=8(два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3) и так далее.

Теперь понятно, почему про такие числа говорят:

"два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе".

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число.

Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …

Тетраэдр с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел. Несколько первых тетраэдральных чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969

Круглые числа. Под круглым числом понимают число, которое оканчивается одним или несколькими нулями.

 

Теория фигурных чисел

Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности, открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах:

5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.

В том же числе 10:

 

можно «разглядеть» и распределительный закон сложения относительно умножения:

А вот числовой треугольник Махавира (IXв.). Если складывать попарно соседние числа в ряду, то получатся числа следующего ряда.

Числа каждого ряда соответствуют коэффициентам разложения формул сокращённого умножения. Например, (a+b)2= 1a2+2ab+1b2, ((a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 и т.д.

Данные моих опросов

В своей школе я провел опрос среди учащихся 5-х - 7-х классов.

Вопросами были «Известны ли вам фигурные числа?» «Где мы с ними встречаемся?»

12,5%

6,25%

6,25%

75%

Из опроса видно, что многие учащиеся о фигурных числах ничего не знают, хотя мы с ними встречаемся ежедневно.

Применение фигурных чисел в жизни человека

На вопрос «Встречаются ли фигурные числа у нас в быту или дома?» был дан утвердительный ответ: «Да, встречаются». Например, окна нашего дома, книги на полках образуют ряды линейных чисел, кнопки на домашнем телефоне, на пульте для телевизора расположены в форме плоских чисел, постельное белье в стопках – телесные числа, клавиши на клавиатуре компьютера – треугольные и линейные числа.

Далее, пройдя по местным магазинам и улицам, я увидел, что фигурные числа встречаются на витринах – при упаковке различных товаров, а современные архитектурные сооружения, – сейчас уже редко имеют форму обычного параллелепипеда. Витрины магазинов обильно украшены не просто продуктами, а замысловатыми сооружениями пирамидальных форм. Аналогичные формы имеют упаковки фруктов, конфет, подарков. 

Проводя опрос среди знакомых, мне стало известно, что фигурные числа видим по телевизору, когда 9 мая на параде солдаты стоят правильными рядами, образуя ‏квадраты ‏ или  ‏прямоугольники в ‏форме плоских чисел; ‏во ‏время ‏показательных ‏выступлений ‏ лётчиков, 

когда ‏самолёты ‏в ‏воздухе ‏образуют ‏треугольные ‏ или ‏ другие ‏фигурные  числа (плоские числа). 

На ‏уроках ‏математики ‏мы ‏встречались ‏с ‏фигурными ‏числами ‏при ‏изучении ‏формулы ‏

площади ‏прямоугольника. Здесь  ‏используется ‏понятие ‏плоского ‏числа, ‏которое ‏представляется ‏в виде произведения ‏ ‏длины ‏и ‏ширины, ‏двух ‏сомножителей. При ‏вычислении ‏объёма  ‏‏параллелепипеда ‏применяется ‏понятие ‏телесного ‏числа ‏выражаемого произведением ‏трёх 

‏сомножителей: ‏длины, ‏ширины ‏и ‏высоты. ‏ㅤ

К ‏фигурным ‏числам ‏можно ‏отнести ‏пирамидальные ‏числа, ‏которые ‏получаются, ‏если 

шарики ‏складывать пирамидкой. ‏Как раньше складывались ‏ядра около ‏пушки.

Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные украшают праздничный стол.

А это мой любимый торт «Крокембуш», который мама всегда готовит на мой день рождения. Оказывается он тоже связан с фигурными числами. Это пространственное фигурное число.

С помощью фигурных чисел на празднике было выложено одно из главных слов нашей Родины «Победа»

Оказывается, ‏ мы ‏встречаемся ‏с ‏фигурными ‏ числами ‏всюду ‏и ‏каждый ‏день, ‏но ‏ не ‏

задумываемся ‏об ‏этом. Фигурные ‏числа ‏мы ‏видим ‏на ‏улицах ‏ и ‏в ‏магазинах, ‏ по ‏телевизору ‏ и ‏

дома, ‏они ‏окружают ‏нашу ‏жизнь  и ‏мы ‏ живем ‏среди ‏них. ‏

В ‏ㅤнаше ‏время ‏фигурные ‏числа ‏не ‏потеряли ‏свою ‏актуальность, ‏фигурные ‏числа ‏являются ‏ㅤ не ‏просто ‏удачным ‏сочетанием ‏групп ‏точек, ‏но ‏и ‏имеют ‏широкое ‏применение ‏в ‏жизни ‏человека.

Заключение

В процессе работы по данной проблеме я добился цели, поставленной в начале исследования: изучил и исследовал фигурные числа - одно из понятий математики.

Подводя итог работы, пришёл к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны. 

Итак, работая по данной теме, я пришёл к следующим выводам:

Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;

Выделяется несколько видов данных чисел;

Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов.

Фигурные числа – это интересно!

Использованная литература

Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с.

Волошинов А.В. Пифагор: Союз истины, добра и красоты. 
– М.: Просвещение, 1993.

Интернет-сайт http://ru.wikipedia.org/wiki/

Энциклопедический словарь юного математика/ Составитель А.П.Савин. 
– М.: Педагогика, 1985

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%E8%E3%F3%F0%ED%FB%E5_%F7%E8%F1%EB%E0