Фигурные числа

Проектно-исследовательская работа Фигурные числа Работу выполнили: Еремин Николай Зенков Александр обучающиеся 6б класса МАОУ СОШ №4 с УИОП АГО Руководитель: Гармс Людмила Павловна учитель математики

Цель работы: выяснить, что такое фигурные числа и для чего они используются. Проблема: мы не знали что такое фигурные числа и решили с ними познакомиться. В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи: - изучить историю происхождения фигурных чисел; - рассмотреть виды фигурных чисел; - рассмотреть плоские и пространственные фигурные числа. .

История возникновения фигурных чисел

Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что–нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть «прямоугольными».

Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в школе Пифагора. Числа древними греками, а вместе с ним Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, расположенных на песке или на счётной доске – абаке. По этой причине греки не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», то есть между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень».

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл и другие. Диофант Александрийский написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счёта на камушках.

В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказано много важных и трудных теорем. В Новое время фигурными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие.

Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными. Определение и виды фигурных чисел

Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию. Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3). Телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2∙2∙2). Треугольные числа (3, 6, 10).

Квадратные числа (4,9,16). Пятиугольные числа (5, 12, 22) Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18 20, 24 Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125... и так далее.    Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе»?

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах: 5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91… 4 9 16 25 81 121 169 Хотим отметить, считается, что именно от фигурных чисел пошло выражение «Возведение в квадрат или куб». Посмотрите: 1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32), 6+10=16 (т.е. 42) и т.д.

Применение фигурных чисел в жизни человека

Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно Упаковка маркеров в форме линейного числа.

При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.

При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.

На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа).

Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа.

Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости.

К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки.

Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок …

Выводы: В процессе работы по данной проблеме мы добился цели, поставленной в начале исследования: изучил и исследовали фигурные числа - одно из понятий математики. Подводя итог работы, пришёл к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны, как солнце, воздух и вода.