Функции одной независимой переменной

Уроки 1-2

Тема: « Функции одной независимой переменной. Пределы. Непрерывность функции.

План:

1. Определение функции. Свойства функций.

2. Способы задания функции.

3. График функции.

4. Предел функции.

5. Непрерывность функции.

1.Определение функции. Свойства функций.

Определений 1:

Если даны числовое множество Х и правило f , позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят , что задана функция y = f(x) с областью определения Х. Пишут y = f(x) , х € Х. Для области определения используют обозначение D(x). Переменную х называют независимой переменной. Или аргументом, а переменную у --- зависимой переменной. Множество всех значений функции y = f(x) , х € Х называют областью значений функции и обозначают Е(f).

Пример

Свойства функций:

Определение 1.

Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве Х, если для любых точек х1 и х2 множества Х таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)< f(x2).

Определение 2.

Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х, если для любых точек х1 и х2 множества Х таких, что х1 > х2, выполняется неравенство f(x1)> f(x2).

возрастающая убывающая

Термины «возрастающая» и «убывающая» объединяют одним общим термином «Монотонная функция».

Определение 3.

Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа.

Определение 4.

Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа.

Определение 5.

Функцию y = f(x) , х € Х.называют четной , если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = f(x)

Пример

Доказать, что y=x4 - четная функция.

Решение: Здесь f(x)=x4 , f(-x) = (-x4) = x4 значит для любого значения х выполняется равенство f(-x) = f(x), т. е. функция является четной.

Определение 6.

Функцию y = f(x) , х € Х.называют нечетной , если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = - f(x)

Пример

Доказать, что y=x3 - нечетная функция.

Решение: Здесь f(x)=x3 , f(-x) = (-x3) = -x3 значит для любого значения х выполняется равенство f(-x) = -f(x), т. е. функция является нечетной.

2. Способы задания функций

a. Табличный.

b. Аналитический.

с. Графический.

3. График функции

Если задана функция y = f(x), х € Х и на координатной плоскости отмечены все точки вида ( х ; у ), где х € Х, а y = f(x), то множество этих точек называют графиком функции

y = f(x), х € Х.

4.

a)Предел функции на бесконечности

Пусть дана функция y = f(x), в области определения которой содержится луч [ а; +∞ ) и пусть прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), Для описания этой геометрической модели используется запись:

lim f(x) = b

x + ∞

( Читают: предел функции y = f(x), при стремлении х к плюс бесконечности равен b).

y

b y=f(x)

а x

0

Если же задана функция y = f(x), в области определения которой содержится луч (-∞; а] и прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), Для описания этой геометрической модели используется запись:

lim f(x) = b

x -∞

y

b

Y=f(x)

а x

Если одновременно выполняются соотношения lim f(x) = b lim f(x) = b ,

х→+∞ х→ - ∞

то их можно объединить одной записью lim f(x) = b ,

х→∞

Для вычисления предела функции на бесконечности используют правила:

1)

2) если

, , то

a) Предел суммы равен сумме пределов:

b) Предел произведения равен произведению пределов:

с) Предел частного равен частному пределов, если с не равно 0:

d) Постоянный множитель выносится за знак предела:

b) Предел функции в точке

lim f(x) = b

х→а

Смысл приведенной записи заключается в следующем: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к а , то соответствующее значение функции все меньше и меньше будет отличаться от предельного значения b.

Для вычисления предела функции в точке , как и для вычисления предела функции на бесконечности используется теорема об арифметических операциях над пределами .

Теорема:

Если lim f(x) = b lim g(x) = c. То

х→a х→ a

При условии, что с≠0

5. Непрерывность функции

Определение 1

Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение lim f(x) = f(а)

х→ a

Определение 2

Функцию y = f(x) называют непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.