Исследовательская работа
«Геометрия и оригами»
Выполнила:
ученица 7 класса Бегина Вита
Руководитель:
учитель математики Нахаева Л.Н.
Цель работы: выяснить, возможно ли использовать искусство оригами при изучении курса геометрии.
Задачи:
1.Изучить литературу по истории и технике оригами.
2.Систематизировать изученный материал. 3.Проанализировать связь оригами и геометрии на примере решения геометрических задач и доказательства теорем. 4.Найти способы применения оригами в повседневной жизни. 5. Выполнить практическую работу.
6. Представить результаты исследований.
Гипотеза
Применение искусства оригами на уроках помогает легче усвоить геометрический материал.
Объект исследования
Техника оригами в геометрии.
Предмет исследования
Геометрические задачи, решаемые с помощью оригами.
1.Повысить уровень знаний по геометрии.
2.Научиться решать задачи по геометрии методом оригами.
3.Использовать метод оригами при доказательстве теорем.
4.Овладеть техникой оригами.
5.Повысить интерес одноклассников к урокам геометрии.
Планируемые результаты
Оригами удивительное искусство бумажной пластики
Не нужно никаких специальных приспособлений и дорогостоящих материалов – только лист бумаги и руки. И в результате – в зависимости от воображения и настроения – появляются на свет либо детская игрушка, либо бумажная икебана…
В математике есть своя красота,
как в живописи и поэзии.
Н.Е. Жуковский
История оригами
Оригами - это искусство бумажной пластики, родившееся в Японии.
ори - "складывание" и ками - "бумага" Несмотря на то, что бумага появилась в Китае, именно в Японии догадались складывать из неё удивительные по красоте фигурки.
Акира Ёсидзава (Акира Йошизава)
Садако, девочки из Хиросимы
Виды и техники оригами
1.Модульное оригами Эта увлекательная техника — создание объёмных фигур из модулей
2.Простое оригами
Стиль оригами, придуманный британским оригамистом Джоном Смитом. Этот стиль ограничен использованием только складок, как складки между горой и долиной.
3.Складывание по развёртке (Складывание по паттерну) Развёртка (англ. creasepattern; паттерн складок) — один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме.
Виды и техники оригами
5. Киригами - вид оригами, в котором допускается использование ножниц и разрезание бумаги в процессе изготовления модели. Это основное отличие киригами от других техник складывания бумаги, что подчёркнуто в названии: (киру) — резать, (ками) — бумага.
4.Мокрое складывание - техника складывания, разработанная Акирой Йошизавой и использующая смоченную водой бумагу для придания фигуркам плавности линий, выразительности, а также жесткости.
Азбука оригами
Базовые формы
Идеи искусства оригами, перенесённые в математику, дали начало новому разделу геометрии – оригамике. В отличие от традиции геометрических построений с помощью циркуля и линейки, введённой древними греками, в оригамике инструментом для построения является сам материал, из которого мы строим, – лист бумаги. Подробно про оригамику написано в книге её создателя Кадзуо Хаги «Оригамика. Геометрические опыты с бумагой».
В конце XX века японский математик Хумиани Хузита, живущий в Италии, начал говорить про Теорию решения задач на построение перегибанием листа бумаги. Назвал он этот процесс оригаметрией, обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются методом складывания и перегибания. Оригаметрия - это новая наука на стыке двух: оригами и геометрии.
Оригаметрия - это оригинальный подход к решению геометрических задач, которая выполняет роль фрагментарной иллюстрации решения геометрической задачи.
Правила (аксиомы) оригометрии:
Правила (аксиомы) оригометрии:
1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки.
2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.
3. Существует сгиб, совмещающий две данные прямые.
4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.
5. Существует сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.
6. Существует сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.
7. (Косиро Хатори) Пусть заданы две прямые , тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на прямую, а прямая перейдёт сама в себя то есть линия складки будет ей перпендикулярна.
Аксиомы оригаметрии 1 – 5 соответствуют аксиомам геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, возможно, решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые и при помощи классических инструментов - циркуля и линейки.
Аксиома 6 дает больше возможностей построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги, чем при использовании классических чертёжных инструментов.
В 2002 году японский оригамист Коширо Хатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах математик Х. Хузита
Аксиома 7. Для двух данных прямых и точки существует линия сгиба, перпендикулярная первой прямой и помещающая данную точку на вторую прямую.
Любая оригаметрическая задача состоит:
Любая оригаметрическая задача состоит:
1. Из постановки задачи.
2. Из решения её методом перегибания (оригами).
3.Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
4.Возможен еще один этап - практическое использование найденного решения при складывании фигурок.
Выделяют три группы задач, решаемых методом оригами:
1. задачи на построение. Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только «геометрию линейки», но и «геометрию циркуля», что обеспечивает возможность решения большого разнообразия задач;
2. задачи на доказательство;
3. задачи на вычисление, т.е. при помощи перегибании мы получаем какой-то математический объект (угол, отрезок, фигура) и нам необходимо вычислить его параметр, но делаем это мы уже математически.
Для примера рассмотрим несколько задач.
Задача №1: Деление прямого угла
Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла.
Откладывание угла в 30° и 60°
Математическое обоснование: Используя чертеж, можно записать: ВАС –равносторонний, значит АВС=600 , ОВА=900-600=300 , ABN=300 , ОВА= ABN= NBC=300
Теорема: Сумма углов треугольника равна 1800
А
В
С
М
N
А
Н (В)
С
N
М
Теорема : Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900
А
В
С
М
N
К
М
N
К
В (А,С)
Теорема : Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.
Центральная симметрия
Задача 1: С помощью перегибаний найдите центр симметрии квадрата.
Задача 2: С помощью перегибаний найдите центр симметрии прямоугольника.
Задача 3: С помощью перегибаний найдите центр симметрии круга.
Задача 4: С помощью перегибаний найдите центр симметрии правильного шестиугольника.
Задача 5: Есть ли центр симметрии у равностороннего треугольника?
Способы изготовления из квадрата правильных многоугольников без циркуля
Правильный треугольник
Правильный пятиугольник
Модульное оригами
Схема изготовления модуля
Примеры использования метода «Оригами» на этапе усвоения новых знаний и способов действий в 7 классе.
1. Точка, прямая, отрезок.
Иллюстрация с помощью сгибов понятия прямая-линия сгиба, точка-пересечение прямых. Иллюстрация взаимного расположения прямых на плоскости (плоскость - лист бумаги, прямые - линии сгибов). Взаимное расположение точек и прямых на плоскости.
Угол.
Иллюстрация с помощью сгибов произвольного угла и его биссектрисы.
3. Равенство фигур
Проверить равенство фигур наложением с помощью сгибов, получить равные фигуры с помощью сгибов наложением.
4. Сравнение отрезков и углов. Свойства отрезков и углов.
Иллюстрация свойств отрезков и углов с помощью сгибания полоски бумаги.
5. Смежные и вертикальные утлы.
С помощью сгибов наложением проиллюстрировать равенство вертикальных углов. При введении понятия вертикальные углы в 7 классе предлагается согнуть квадрат по диагоналям, затем развернуть и посмотреть, что получилось.
6. Перпендикулярные прямые
Иллюстрация свойства перпендикулярности двух прямых третьей.
Перпендикуляр к прямой
Иллюстрация свойства: единственность перпендикуляра, проведённого из точки к прямой.
7. Треугольник
Первый признак равенства треугольника. Иллюстрация признака с помощью сгибов.
8. Медиана, биссектриса и высота треугольника.
Проверить свойства медиан, биссектрис и высот треугольника с помощью сгибов для всех видов треугольников (остроугольного, прямоугольного и тупоугольного). Сделать вывод о расположении точки пересечения для каждого вида треугольника. (Треугольник получить с помощью сгибов, а затем проверять свойства не вырезая треугольник).
При изучении темы «Замечательные точки треугольника», вначале с помощью сгибов бумаги предлагают убедиться в том, что биссектрисы, медианы, высоты и срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке, а потом уже проводят математическое подтверждение данного факта.
9. Свойства равнобедренного треугольника
Иллюстрация свойств с помощью сгибов (предварительно получить с помощью сгибов равнобедренный треугольник).
10. Параллельные прямые. Признаки параллельности двух прямых
Иллюстрация признаков с помощью сгибов, а затем математическое обоснование.
Мастер-класс
Сейчас мы с вами проведем небольшую простую практическую работу:
Сейчас со мной работают те у кого листы синего цвета. Возьмите синий треугольник, давайте попробуем построить биссектрису одного из углов. Вспомните определение биссектрисы. (Биссектриса-это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на 2 равных угла). Постройте биссектрисы трех других углов. Разверните лист бумаги. Внимательно посмотрите на следы сгибов. Все три сгиба прошли через одну точку.
Сейчас со мной работают, у кого листы красного цвета. Возьмите красный треугольник построим высоту. Вспомните определение высоты. (Это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника.) Повторите действия для двух других сторон. Разверните лист бумаги. Все три сгиба прошли через одну точку.
Сейчас со мной работают те, у кого листы сиреневого цвета. Возьмите сиреневый треугольник. Для построения следующей линии нам нужно разделить сторону треугольника пополам, для этого совмещаем две вершины треугольника и делаем небольшой сгиб, отмечая тем самым середину стороны. Теперь сгибаем треугольник, так чтобы линия сгиба проходила через вершину треугольника и отмеченную точку. Как вы помните, такой отрезок называется медианой треугольника.
Постройте еще две медианы треугольника. Вновь рассмотрим рисунок линий и убедимся, что медианы так же пересекаются в одной точке.
Еще раз посмотрели на все три треугольника, какой общий вывод можно сделать?
Медианы, биссектрисы и высоты обладают замечательными свойствами: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. Биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.
- Итак, мы научились строить основные линии в треугольнике, а также вспомнили теоремы о трех замечательных точках треугольника. А еще, выполняя эти практические задания, мы освоили основы оригами.
Значение оригами для развития детей
"Чем больше мастерства в детской руке, тем умнее ребенок".
В.А. Сухомлинский
1. Учит различным приёмам работы с бумагой: сгибание, многократное складывание, надрезание, склеивание.
2. Развивает у детей способность работать руками, приучает к точным движениям пальцев, совершенствуя мелкую моторику рук.
3. Развивает глазомер. Учит концентрации внимания.
4. Учит следовать устным инструкциям.
5. Стимулирует развитие памяти, чтобы сделать поделку, ребёнок должен запомнить алгоритм её изготовления, приёмы и способы складывания.
6. Закрепляет представления о геометрических фигурах.
7. У ребёнка развивается пространственное воображение.
8. Дети учатся читать чертежи.
9. У детей развиваются творческие способности, активизируется воображение, фантазия.
10.Совершенствуются трудовые навыки; дети учатся аккуратности, бережному, экономному использованию материала
