Мастер-класс «Изготовление моделей правильных многогранников»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Мастер класса

Тема: «ИЗГОТОВЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ»

Купино

2017

Возможно, при виде моделей кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?» На это можно ответить так: « А разве все красивое полезно?» Впрочем, можно усмотреть известную пользу, которую приносят модели в качестве декоративных украшений. Ими хорошо украсить комнату или праздничный стол.

Основной целью работы научиться делать модели многогранников из бумаги.

Задачи мастер-класса

Знакомство с понятием многогранник.

Изучение видов многогранников.

Знакомство с основными свойствами многогранников.

Поиск исторических фактов.

Исследование возможности бумаги для создания правильных многоугольников и многогранников.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие в виде вирусов. Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходят в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.

Возникает вопрос: что такое многогранник? Все термины пришли к нам от древних греков. Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона сказалось и на «Началах» Евклида. В этой книге, которая на протяжении веков была единственным учебником геометрии, дано описание «идеальных» линий и «идеальных» фигур. Самая идеальная линия-прямая и самый идеальный многоугольник - правильный многоугольник, иными словами, многоугольник, имеющий равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которые могут ограничить часть плоскости. Интересно, что «Начала» Евклида открываются построением правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти правильных тел! Каждый из этих пяти многогранников имеет гранями правильные многоугольники одного типа. В наше время они известны под именем пяти платоновых тел. Тетраэдр, гранями которого являются четыре равносторонних треугольника, можно считать трехмерным аналогом плоского правильного треугольника. Гексаэдр, обычно называемый кубом (шесть граней), имеет квадратные грани; грани октаэдра (восемь граней)- равносторонние треугольники; все грани додекаэдра (двенадцать граней) - пятиугольники; наконец гранями икосаэдра являются двадцать равносторонних треугольников.

Подобно тому, как две стороны многоугольника соединяются в вершине, так и любые две грани многогранника соединяются общей стороной - ребром многогранника, сами ребра сходятся в точках называемых вершинами многогранника.

Известно еще множество тел, получивших название архимедовых, или полуправильных многогранников. У них также все многогранные углы равны и все грани- правильные многоугольники, но несколько разных типов. Существует тринадцать полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду, впервые перечислившему их в не дошедшей до нас рукописи. Кеплер первым из современных математиков развил полную теорию этих тел.

Общие указания по изготовлению моделей

Первое, чему вы должны научиться, прежде чем строить модели многогранников, это точно и аккуратно вычерчивать нужные вам части. Для выпуклых многогранников ими будут только правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6, 8 и 10 сторонами. Но следует помнить, что у выпуклых однородных многогранников все рёбра имеют одну и ту же длину. Следовательно, все многоугольники, образующие один многогранник, должны иметь стороны одной длины. А, как легко заметить из чертежей, правильный десятиугольник (декагон), например, значительно больше правильного треугольника с такой же стороной. Это надо всегда иметь в виду при построении моделей и соответственно этому выбирать подходящий масштаб. Подумайте сначала, как вы собираетесь использовать модель и где она будет находиться.

После того как вы со всеми необходимыми предосторожностями сделаете чертежи_ требуемых частей — правильных многоугольников, — лучше всего изготовить трафареты. Для этого наложите чертёж на лист картона или плотной бумаги и проколите оба листа в вершинах многоугольника тонким шилом (или любой достаточной тонкой и острой иглой). После этого соедините по линейке полученные проколы, воспользовавшись острым карандашом. Аккуратно и ровно вырежьте ножницами трафарет, оставляя поля, отстоящие от карандашной линии примерно на 0,5 см. Итак, трафарет готов.

Теперь уже не составит труда изготовить столько его копий, сколько вам требуется. Для этого нужно наложить трафарет на стопку листов картона. (Лучше, если эти листы предварительно закреплены скрепками.) Не следует брать одновременно больше шести листов. При этом, если, например, вы хотите изготовить одинаковое число фигур различных расцветок, имеет смысл сразу же соединять разноцветные листы. После этого вы снова прокалываете вершины многоугольников, пользуясь трафаретом. Обведите его карандашом и затем уберите или же перенесите на чистый лист. Таким способом вы сделаете столько проколов, сколько сочтёте нужным.

Следующий ваш шаг — нарезать стопку картона по только что нанесённой обводке. Обязательно проследите, чтобы листы картона были надёжно соединены скрепками. Обычно при такой нарезке листы слегка прогибаются и разрез сдвигается, но пусть это вас не пугает — оставленные поля дают нам достаточный запас. Впрочем, после того как заготовки нарезаны, их несложно подравнять, подрезав края каждой из них в отдельности. Теперь каким-нибудь острым инструментом, например кончиком циркуля, нанесите прямые бороздки по сторонам многоугольника. При этом не забывайте пользоваться угольником или линейкой. Итак, вы проводите прямые бороздки, которые соединяют проколотые точки. После этого уже нет нужды размечать линии карандашом — границы достаточно заметны. Вот теперь самое время аккуратно подравнять ножницами края заготовки. Как мы уже говорили, каждую из них лучше обработать в отдельности. Срежьте уголки заготовки так, чтобы разрез проходил точно через прокол. После этого наши поля превратились в наклейки, и их следует отогнуть. Проведённые бороздки позволяют сделать это легко и точно. При помощи наклеек заготовки склеиваются друг с другом. Если многоугольник-заготовка имеет острые углы, после отгибания следует дополнительно подрезать наклейки. Этого не стоит делать заблаговременно, иначе операция усложнится. Со временем вы научитесь с лёгкостью подгонять все части, причём будете делать это чрезвычайно аккуратно. Помните основное правило: для склеивания надо оставлять как можно больше места и срезать столько, сколько необходимо, чтобы наклейки не мешали одна другой и граням вблизи вершин.

Можете воспользоваться любым клеем, лишь бы он не коробил заготовки. Но вообще-то постарайтесь выбрать тот, что быстрее схватывает. Процедура склеивания чрезвычайно проста: вы наносите клей на одну из наклеек, после чего прижимаете наклейки друг к другу и немного их двигаете, чтобы клей равномерно распределился по поверхностям. Заготовкам следует придать правильное положение, дожидаясь, пока клей подсохнет. В вашей работе время от времени надо пользоваться пинцетами; они особенно полезны при завершении работы, когда модель приобретает окончательную форму. На собственном опыте вы вскоре убедитесь, что способ изготовления моделей склеиванием отдельных граней, который мы предлагаем, позволяет получить на редкость жёсткие конструкции. Это объясняется тем, что наклейки, оставляемые нами на каждой грани, служат дополнительными рёбрами, придающими жёсткость каждому ребру модели. Вот почему лучше следовать нашему правилу и оставлять наклейки с каждой стороны любой заготовки. Конечно, возможны иногда отступления, но лишь в крайних случаях. В основном же для любых выпуклых многогранников лучше оставлять все наклейки.

Мы начали с выпуклых однородных многогранников. Их модели проще всего изготовить. Говоря о раскраске моделей, мы ориентировались на советы данные в книге. Но со временем поняли, что найти подходящий (тонкий) цветной картон или же достаточно плотную цветную бумагу проблематично, и перешли на бумагу «Снегурочка». Но она подходит только в случае изготовления моделей небольших размеров. Но все-таки если изготавливать цветную модель, то грани многогранника, имеющие общее ребро, должны быть окрашены в разные цвета.

Так же хотелось бы дать пояснения к приложению. Развертки правильных многогранников в натуральную величину давать не целесообразно, так как они делаются элементарно. Причем не обязательно делать из развертки, можно склеивать каждую грань отдельно. Для полуправильных в приложения вынесены только развертки предложенные автором книги. Если развертки нет, значит, многогранник собирается из отдельных граней.

Платоновы тела

Тетраэдр

Простейшим среди многогранников является тетраэдр. Его четыре грани — равносторонние треугольники. Четыре — это наименьшее число граней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее тетраэдр обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой. Модель тетраэдра можно сделать, пользуясь одной развёрткой, на которой будут расположены все четыре треугольные грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета. Подобным же образом все выпуклые многогранники можно сделать с помощью одной развёртки и тем самым одноцветными. Если же вы хотите сделать модель тетраэдра (как и любого многогранника) разноцветной, следует приготовить развёртки для каждого типа грани в виде отдельного многоугольника. Для тетраэдра вам понадобится всего один трафарет в виде равностороннего треугольника.

Сделайте четыре заготовки разного цвета — например. Ж, С, О и К. Не забудьте оставить наклейки с каждой стороны, как показано. Теперь склейте все четыре заготовки вместе в положение, показанное на картинке. Соедините не склеенные боковые грани и склейте вначале только две из них между собой. Затем наложите клей на оставшиеся наклейки и приклейте последнюю грань, как бы закрывая коробку. Дальнейшее сделают внутренние напряжения в модели, ваши пальцы, приложенные к её ребрам, и высыхающий клей.

Октаэдр

Октаэдр — это многогранник, гранями которого являются восемь равносторонних треугольников. Так как его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях, то можно превосходно обойтись всего четырьмя красками. Модель этого многогранника вы начинаете делать, склеивая четыре треугольника, как показано на рисунке справа. После того как вы склеите между собой грани 1 и 4, в ваших руках окажется правильная четырёхугольная пирамида без квадратного основания. Эта часть составляет ровно половину модели.

Вторая половина энантиоморфна первой. Тем не менее проще продолжить работу в такой последовательности: сначала приклейте наклейки четырёх оставшихся треугольников к соответствующим наклейкам на сторонах квадратного основания. (Проследить, чтобы противоположные грани октаэдра имели один и тот же цвет, нетрудно.) Затем последовательно склейте наклейки соседних граней, снова закрывая модель последним треугольником, как крышкой.

Гексаэдр (куб)

Несомненно, куб, или, как его иногда называют математики, гексаэдр — самый общеизвестный и широко используемый. многогранник. Все шесть его граней — квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине. Вы можете начать постройку модели куба, выбрав один квадрат и присоединив к нему четыре других. Затем вы склеите наклейки соседних боковых граней, причём склеенные попарно наклейки вновь образуют как бы жёсткий скелет многогранника. Остаётся добавить последнюю грань, и это действие уже с полным правом можно будет уподобить закрыванию ящика крышкой.

Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный многогранник. Но он обладает несколькими удивительными свойствами в отношении других платоновых и некоторых архимедовых тел. А объединение пяти кубов можно поместить в додекаэдр, и при этом получается очень красивая модель.