Малыгина Светлана Изосимовна

Красота и таинственность листа Мебиуса

Материал опубликован 17 October 2020

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Болгуринская средняя общеобразовательная школа

Направление Математика

«Красота и таинственность листа Мебиуса»

Автор: Овчинникова

Карина Юрьевна, 9 класс

МБОУ Болгуринская СОШ

Руководитель:

Малыгина Светлана Изосимовна

учитель математики

МБОУ Болгуринская СОШ

Болгуры, 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4

1.Обзор литературы 5

1.1 Историческая справка 5

1.2 Что такое лист Мебиуса 5

1.3 Свойства листа Мёбиуса 5

1.4. Применение листа Мёбиуса в жизни 6

2.Методы исследований 8

2.1 Изготовление листа Мебиуса 8

2.2. Разрезание листа Мебиуса 8

2.3. Построение модели листа Мебиуса

в программе Компас 3D, печать на 3D принтере 10

3. Результаты исследований 11-12

Выводы 13

Заключение 14

Литература 15

Приложение 17-21

ВВЕДЕНИЕ

Для некоторых людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Наш современник Сухомлинский считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика, а точнее геометрия, замечательный предмет для удивления.

Геометрия-слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы: планиметрия, в ней изучаются свойства фигур на плоскости, стереометрия, в ней изучаются свойства фигур в пространстве, топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Поэтому в последнее столетие большое влияние на ряд различных областей знаний приобрела топология.

Поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны. Одной стороной кольцо соприкасается с пальцем, вторая сторона – наружная. У этих сторон две границы (два края), каждая имеет форму окружности. Если какое-нибудь насекомое захочет переползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то она при этом непременно должна пересечь ту или иную границу. Но можно ли приготовить простую модель односторонней поверхности? Чем отличается она от кольца, какие у нее свойства, где она применяется? В своей работе мы решили ответить на эти вопросы.

Тема нашей работы: Красота и таинственность листа Мебиуса.

Цель исследования: изготовить лист Мебиуса, определить и проверить его удивительные свойства.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

1. Изучить литературу о ленте Мебиуса

2. Описать и изготовить лист Мёбиуса.

3. Изучить и проверить свойства листа Мёбиуса.

4. Построение модели листа Мебиуса в программе Компас 3D, печать на 3D принтере

Методы нашего исследования:

1.Изучение литературы и интернет- сайтов по теме «Лист Мебиуса».

2. Изготовление листа Мебиуса обычным способом и построение модели листа Мебиуса в программе Компас 3D, печать на 3D принтере.

3. Разрезание листа Мебиуса.

4. Проверка опытно-экспериментальным путём свойств листа Мебиуса.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Историческая справка

Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Самым известным объектом в топологии является лист Мёбиуса.

Родоначальниками топологии были немецкий учёный Георг Кантор (1845-1918), Феликс Хаусдорф, Павел Сергеевич Александров (1896-1982). Как было сказано выше, что топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания. С точки зрения топологии баранка и кружка одно и тоже. Сжимая и растягивая кусок резины можно перейти от одной из этих фигур к другой. А вот баранка и шар - разные объекты; чтобы сделать отверстие, надо разорвать баранку.

1.2. Что такое лист Мёбиуса?

Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. В 1858 году лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790 – 1868), ученик К.Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году. Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), – две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы, вы обнаружите, что весь он полностью окрашен.

Чтобы получить модель ленты Мебиуса нужно взять вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей».

1.3 Свойства листа Мёбиуса

Односторонность – топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него.

Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т.д.

Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.

«Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

1.4. Применение листа Мёбиуса в жизни

Лист Мёбиуса находит многочисленное применение в науке, технике, искусстве и в изучении свойств Вселенной. Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике:

1) полоса ленточного конвейера, шлифовальная лента, выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.

2) в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

3) в матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию.

Лист Мёбиуса в искусстве служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил ему работы. Одна из известных, показывает муравьёв, ползающих по поверхности листа Мёбиуса-«Лента Мёбиуса». (Приложение 1. №1)) Замкнутая кольцеобразная полоса на первый взгляд имеет две поверхности-внешнюю и внутреннюю. Видно, как 9 красных муравьёв один за другим ползут по той и по другой. Тем не менее это полоса с односторонней поверхностью. В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” находится памятник “Ленте Мёбиуса”. Памятник был установлен в 1997 году. Авторы памятника: скульптор А.З. Налич, архитектор О.Н.Иванченко и строитель Г.Л. Федорков. (Приложение 1. №2)) В Екатеринбурге на улице Свердлова установлен памятник листу Мёбиуса в 2008 году. Скульптор Адуашвили. (Приложение 1. №3) Листом Мебиуса также является монумент у здания Президиума Национальной академии наук в Минске. (Приложение 1. №4) Мастерицы-рукодельницы изготавливают шарфики, закрученные в эту чудо ленту. Писатели-фантасты сочиняют о ней произведения, поэты посвящают ей стихи. Лист Мебиуса используется для показа многих фокусов. Главная же ценность листа Мёбиуса, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Математические исследования продолжаются и в наши дни. Его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

2.МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

2.1 Изготовление листа Мебиуса.

Для работы понадобились набор бумажных полосок длины 30см, 60см и ширины 3см, 5см, 6см, клей и ножницы.

Взяла бумажную полоску шириной 3см, длиной 30 см и соединила концы полоски, предварительно перевернув один из них на пол-оборота (т.е. на 1800). Получился лист Мебиуса. (Приложение 2, №1) Взяла бумажную полоску шириной 5см, длиной 30 см и соединила концы полоски, предварительно перевернув один из них на пол-оборота (т.е. на 1800). Получился лист Мебиуса. (Приложение 2, №2) Аналогично изготовила лист Мебиуса из полосы шириной 6см. Если ширина и длина полос почти не отличаются, то сделать лист Мебиуса нельзя. Если согнуть такие полоски гармошкой и вложить перекрученными на пол-оборота друг в друга, то тоже можно.

Начала проводить фломастером посередине листа Мёбиуса с шириной 3см с одной стороны, не переходя через край. Получилась непрерывная линия и начало совпало с концом. (Приложение 2, №3) Значит, лист Мебиуса односторонняя поверхность. Проводя фломастером по краю ленты, попали в эту же точку, откуда начали проводить линию. Значит, у листа Мебиуса один край.

Перед склейкой ленту длиной 60см и шириной 3см пробовала перекручивать на пол-оборота 2, 3, 4, 5 раз и т. д. Лист Мебиуса получается, если перекручиваешь нечетное число раз. Если просто склеить концы бумажной ленты, то получится обычное кольцо.

2.2. Разрезание листа Мебиуса.

Разрезала ленту Мебиуса посередине вдоль, а также отступая от края разное количество сантиметров.

1) Лист Мёбиуса шириной 3см разрезала посередине вдоль. Получила 1 кольцо, длина которого в два раза больше, а ширина в два раза меньше, перекручено на 1 полный оборот (или на два пол-оборота, т.е. на 3600). Это кольцо листом Мебиуса не является. (Приложение 2, №4, 5)

2) Лист Мёбиуса шириной 3см разрезала вдоль на расстоянии 1см от края. Получила два сцепленных друг с другом кольца разных по длине: первое является листом Мебиуса с шириной 1см, длина которого равна длине исходного. Второе кольцо шириной 1см длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота. (Приложение 2, №6)

3) Лист Мёбиуса шириной 5см разрезала вдоль на расстоянии 1см от края.

Получила два сцепленных друг с другом кольца: первое шириной 3см является листом Мёбиуса, длина равна длине исходного. Второе шириной 1см длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота. (Приложение 2, №7)

4) Лист Мёбиуса шириной 5см разрезала вдоль на расстоянии 2см от края.

Получила два сцепленных друг с другом кольца: первое кольцо – лист Мёбиуса шириной 1см длина равна длине исходного. Второе кольцо - шириной 2см, длина в два раза длиннее исходного перекрученного на два полных оборота. (Приложение 2, №8) Вывод: разрезая лист Мебиуса не посередине, получаем из средней части лист Мебиуса шириной n-2k, где n- ширина первоначального листа Мебиуса, а k- расстояние от края первоначального листа Мебиуса, меньшее чем половина n.

5) На обеих сторонах бумажной ленты шириной 5см провела две линии так, что получилась полоса 3см посередине и две полосы по 1см по краям ленты, склеила лист Мёбиуса, разрезала вдоль линий. Получила два сцепленных друг с другом кольца: первое кольцо-лист Мебиуса шириной 3см получилось из средней полосы. Второе кольцо - шириной 1см, длина в два раза длиннее исходного перекрученного на два полных оборота получилось из двух крайних полос. (Приложение 2, №9)

6) На обеих сторонах бумажной ленты шириной 5см провела две линии так, что получилась полоса 1см посередине и две полосы по 2см по краям ленты, склеила лист Мёбиуса, разрезала вдоль линий. Получила два сцепленных друг с другом кольца: первое кольцо-лист Мебиуса шириной 1см получилось из средней полосы. Второе кольцо - шириной 2см, длина в два раза длиннее исходного перекрученного на два полных оборота получилось из двух крайних полос. (Приложение 2, №9)

7) На обеих сторонах бумажной ленты шириной 6см провела две линии, на расстоянии 2см друг от друга, склеила лист Мёбиуса, разрезала вдоль линий.

Получила два сцепленных друг с другом кольца: первый в два раза длиннее исходного, ширина 2см, перекручен на два полных оборота, получилось из краев исходной ленты. Второе кольцо - лист Мебиуса длина равна длине исходного, ширина тоже 2см, получилось из центральной части исходной ленты. (Приложение 2, №10)

8) На обеих сторонах бумажной ленты шириной 6см провела три линии, на расстоянии 1,5см друг от друга, склеила лист Мебиуса, разрезала вдоль линий. Получила два сцепленных друг с другом кольца: оба в два раза длиннее исходного, ширина 1,5см, перекручены на два полных оборота. (Приложение 2, №11)

9) На обеих сторонах бумажной ленты шириной 6см провела четыре линии, на расстоянии 1,2см друг от друга, склеила лист Мёбиуса, разрезала вдоль линий. Получила три сцепленных друг с другом кольца: два кольца в два раза длиннее исходного, шириной 1,2см, перекручены на два полных оборота. Третье кольцо - лист Мёбиуса, длина равна длине исходного, ширина тоже 1,2см. (Приложение 2, №12)

10) На обеих сторонах бумажной ленты шириной 6см провела пять линий, на расстоянии 1см друг от друга, склеила лист Мебиуса, разрезала вдоль линий. Получила три сцепленных друг с другом кольца: все в два раза длиннее исходного, ширина 1см, перекручены на два полных оборота. (Приложение 2, №13) Результаты: если на ленте получаем нечетное количество полос, то из среднего получается лист Мебиуса, а остальные кольца в два раза длиннее первоначального и по количеству равны (n-1):2, где n – количество полос. Если же на ленте четное количество полос, то получаются кольца в два раза длиннее первоначального и по количеству в два раза меньше исходного количества полос.

11) По листу Мебиуса как по дороге провела машинку. Она ушла по одному цвету, а пришла по другому. Когда она вернулась в исходную точку, то оказалась в том же направлении.(Приложение 2, №14, 15 ). Значит, ориентированность отсутствует у листа Мебиуса. Т.к. у этого листа нет правой и левой сторон. Нет верха и низа.

12) Разрезая тройной лист Мебиуса вдоль посередине, получила перекрученное кольцо, как восьмерка.

Построение модели листа Мебиуса в программе Компас 3D, печать на 3D принтере

Ход построения в программе Компас 3D

1.Создание эскизов для построения половины основы будущей ленты М. Откроем раздел «Деталь» и, выбрав плоскость XY выполним следующий эскиз 1. Радиусы дуг окружности выбраны произвольно. Размер 30 равен разности диаметров двух дуг и будет соответствовать ширине кольца. Дуга радиусом равным среднему радиусу двух дуг.Выберем плоскость ZX и выполним эскиз 2. Кривые представляют собой четвертушки дуг эллипсов, построенных по размерам полуосей. Длинная полуось большего эллипса соответствует диаметру большей дуги эскиза 1. Длинная полуось меньшего эллипса – диаметру меньшей дуги. Меньшая полуось обоих дуг равна ширине кольца, установленного на эскизе 1.

2. Создание пространственных кривых для построения половины основы будущей ленты М. Выходим из режима создания эскизов. Теперь мы имеем две пары кривых. Первая пара – большая дуга окружности и большая четверть дуги эллипса. Вторая пара – меньшая дуга окружности и меньшая четверть дуги эллипса. Переходим в меню «Пространственные кривые» и, используя команду «Кривая по двум проекциям» строим две кривых по каждой из пар кривых полученных на эскизах 1 и 2. Концы полученных пространственных кривых замыкаем пространственными отрезками.

3. Создание поверхности половины ленты М. Переходим в меню «Поверхности» и, используя команду «Поверхность по сети кривых» строим поверхность половины ленты М. Первая половина листа Мебиуса готова. Вторую половину строим совершенно аналогично с той лишь разницей, что для построения пространственных кривых мы используем построение зеркальных эскизов. (Приложение 2, №16)

4. Распечатали модель листа Мебиуса на 3D принтере в программе Cura. Для печати использовался пластик PLA. Печать длилась 2ч 4 мин. Температура печати 2100С. Температура стола 650. Температура экструдера 2100С. Напечатали модель, составляющую 70% от размера модели в программе Компас 3D. (Приложение 2, №17)

3.РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

Изготовили лист Мебиуса и установили следующие свойства. Проводя фломастером посередине и по одному краю листа Мёбиуса с шириной 3см с одной стороны, не переходя через край, получила непрерывную линию и начало совпало с концом. Значит, лист Мёбиуса односторонняя поверхность, с одним краем.

Перекручивая обычную бумажную ленту, пришла к выводу, что лента Мебиуса получается если перед склейкой бумажную ленту перекручиваешь на пол-оборота нечетное количество раз. Если четное – то получается обычное кольцо, только перекрученное. Если просто склеить концы бумажной ленты, то получится обычное кольцо.

Если ширина и длина полос почти не отличаются, то сделать лист Мебиуса нельзя. Если согнуть такие полоски гармошкой, и вложить перекрученными на пол-оборота друг в друга, то тоже можно.

Разрезая лист Мебиуса посередине вдоль, получается 1 кольцо, длина которого в два раза больше, а ширина в два раза меньше, перекручено на 1 полный оборот (или на два пол-оборота, т.е. на 3600). Это кольцо уже листом Мебиуса не является.

Разрезая тройной лист Мебиуса вдоль посередине, получается перекрученное кольцо, как восьмерка. Т.е. при разрезании вдоль многократного листа Мебиуса, получаются перекрученные кольца.

Разрезая лист Мебиуса не посередине, получаем из средней части лист Мебиуса шириной n-2k, где n- ширина первоначального листа Мебиуса, а k- расстояние от края первоначального листа Мебиуса, меньшее чем половина n.

Если на ленте, проводя линии, получаем нечетное количество полос, то из среднего получается лист Мебиуса, а остальные кольца в два раза длиннее первоначального и по количеству равны (n-1):2, где n – количество полос. Если же на ленте четное количество полос, то получаются кольца в два раза длиннее первоначального и по количеству в два раза меньше исходного количества полос.

По листу Мебиуса как по дороге провела машинку. Она ушла по одному цвету, а пришла по другому. Когда она вернулась в исходную точку, то оказалась в том же направлении. Значит, ориентированность отсутствует у листа Мебиуса. Т.к. у этого листа нет правой и левой сторон. Нет верха и низа.

Построила модель листа Мебиуса в программе Компас 3D, распечатали на 3D принтере в программе Cura. Печать длилась 2ч 4 мин. Температура печати 2100С. Напечатали модель, составляющую 70% от размера модели в программе Компас 3D. Это достаточно сложно, трудоемко, но интересно.

Некоторые свойства листа Мебиуса такие как связность, ориентированность, хроматический номер, являются математическими неожиданностями и понять их сложно.

Таким образом, геометрия - замечательный предмет для изучения и удивления. Мы убеждаемся в этом еще раз, проводя опыты с листом Мебиуса.

ВЫВОДЫ

В ходе исследования мы изготовили лист Мебиуса и изучили некоторые его свойства.

Проанализировали некоторые свойства листа Мебиуса и выяснили, что лист Мебиуса действительно имеет один край, одну сторону, т.е. является односторонней поверхностью, обладает непрерывностью и не является ориентированной поверхностью.

Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.

Разрезая лист Мебиуса посередине вдоль, получается 1 кольцо, длина которого в два раза больше, а ширина в два раза меньше, перекручено на 1 полный оборот или перекрученные кольца как восьмерки в случае многократного листа Мебиуса. Эти кольца уже листом Мебиуса не являются.

Убедились, что разрезая лист Мебиуса не посередине, получаем из средней части лист Мебиуса шириной n-2k, где n- ширина первоначального листа Мебиуса, а k- расстояние от края первоначального листа Мебиуса, меньшее чем половина n. Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Проанализировали и выяснили что, если на ленте, проводя линии, получаем нечетное количество полос, то из среднего получается лист Мебиуса, а остальные кольца в два раза длиннее первоначального и по количеству равны (n-1):2, где n – количество полос. Если же на ленте четное количество полос, то получаются кольца в два раза длиннее первоначального и по количеству в два раза меньше исходного количества полос.

Сравнили обычный лист Мебиуса, изготовленный из полосок бумаги, а также распечатанный на 3D принтере. Красота и таинственность присутствует и в тех и других фигурах.

Следовательно, проверка опытно-экспериментальным путём некоторых свойств листа Мебиуса подтвердила их. Разрезая лист Мебиуса и изготавливая его необычным способом, мы убедились в его красоте и таинственности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей работе мы рассмотрели вопросы, связанные с понятием лист Мебиуса: что это такое, его свойства, применение в жизни, изменение листа Мебиуса при разрезании на разное количество частей.

Узнали, что лист Мебиуса можно изготовить своим руками, а также что красота и таинственность проявляются при разрезании.

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни: у школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса; у учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;
в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.
Т.о. Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и многих других…В результате появились картины, скульптуры, другие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса.

Показав ребятам эксперименты с листом Мебиуса, они посчитали, что я их обманываю. Но раскрыв им «тайну», ребятам показалось это интересным.

Таким образом, казалось бы математика оторвана от реального мира, имеет дело сплошь и рядом с такими объектами, которые невозможно себе представить, развивает себя по своим внутренним законам. Но нет, математика напрямую соприкасается с жизнью, она занимает в ней особое место, дает новый толчок исследованиям! Она является стержнем к мышлению!

Выражаю благодарность за помощь в построении листа Мебиуса в программе Компас 3D и распечатке его на 3D принтере учителю ИЗО и технологии Гусевой Елене Александровне.

ЛИТЕРАТУРА

Детская энциклопедия. Я познаю мир. Математика. Сост. А.П.Савин и др. М.: АСТ, 1998г

«Квант», 1978, №4. Лист Мебиуса в искусстве.

«Квант», 1974, №3. Топологические опыты своими руками.

Лэнгдон Н., Снейп Ч. «С математикой в путь» Издательство «Педагогика», 1987г., с. 42-43

Кордемский Б.А, Математические завлекалки. М.: Издательский Дом ОНИКС: Альянс-В, 2000г.

И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия» 5-6 класс.

В.А.Гусев. А.И.Орлов, А.Л.Розенталь. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах, М.: «Просвещение», 1977г

А.А.Гусак, Г.М.Гусак. Линии и поверхности. Минск: «Вышэйшая школа», 1985г.

Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111-112.

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ:

1. Статья: Что такое лист Мебиуса?