Математические неожиданности листа Мёбиуса

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 40 г.Улан-Удэ»

Городская научно-практическая конференция «Обыкновенное чудо»

Секция: математика

Математические неожиданности листа Мёбиуса

Выполнила:

ученик 5г класса, Мусаев Мухаммед

Руководитель:

Астраханцева Надежда Арнольдовна учитель математики

МАОУ СОШ № 40 г. Улан-Удэ

г. Улан-Удэ

2019 год

Содержание

Введение…………………………........................................................3

Историческая справка ……………………………………………4

Лист Мёбиуса – начало новой науки топологии.........................5

Изготовление листа Мебиуса ………………………………........6

Опыты с листом Мебиуса...............................................................10

Топологические свойства листа Мёбиуса ………………………13

Приложение

Применение листа Мёбиуса…………………………………………14

Заключение............................................................................................19

Список использованной литературы..................................................20

Введение

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур.

Слышали ли вы когда-нибудь о листе Мёбиуса? Как его можно изготовить, как он связан с математикой и где применяется в жизни? В первый раз я узнал о нём на занятиях математического кружка.

Занимаясь этой работой, я пришел к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке, и в XXΙ. Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве, в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из города Токио.

Меня очень заинтересовала, заинтриговала эта тема. Я изучил литературу, затем сам изготовила лист Мебиуса, а потом проводил исследования, ставя опыты, изучая его волшебные, необыкновенные свойства.

Лента Мёбиуса – бумажная лента, повёрнутая одним концом на пол- оборота (то есть 180 градусов) и склеенная с его другим концом. Миллионы людей во всех частях света даже не подозревают, что они каждый день используют ленту Мёбиуса.

Цель: рассказать и показать людям, что на вид простая лента, повёрнутая

на пол-оборота со склеенными концами, может заключать в себе много

неожиданностей.

Задачи:

выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их;

познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;

научиться и научить других изготавливать лист Мёбиуса;

изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса;

найти, где используются его свойства;

создать слайд - фильм по данной теме.

Исходя из выше сказанного, мы определили объект нашего исследования-односторонние поверхности.

При этом предметом исследования является обучение умению изготавливать лист Мёбиуса, проверять его свойства, находить применение в жизни. Это ведёт к более глубокому осмыслению математики как прикладной науки.

Работая над темой, мы использовали следующие методы: анализ, синтез,

наблюдение, эксперимент, сравнение и социологический опрос.

Работа состоит из введения, шести пунктов, заключения, списка используемых источников и литературы.

1. Историческая справка

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868гг)

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус. Рассказывают, что открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы длинной ленты. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты.

Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году. А. Ф. Мёбиус родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. В те времена занятия матема­тикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Став профессором Лейпцигского университета, с 1816 года Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию, систему координат и аналитические методы исследования; установил существование односторонних поверхностей (листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон рёбер» и которые не имеют объёма. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии. Он получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса) и стал одним из крупнейших геометров своего времени.

2. Лента Мёбиуса - начало новой науки топологии

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Термин “топология” может быть отнесён к двум разделам математики. Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, долгое время называли комбинаторной. За другой, у истоков которой стоял немецкий учёный Георг Кантор, закрепилось название общей или теоретико-множественной.

Комбинаторная топология – раздел геометрии. «Геометрия»-слово греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие», («гео» - по-гречески земля, а «метрео» - мерить) изучает свойства фигур. Как и любая наука, геометрия делится на разделы.

1. Планиметрия (лат. слово, «планум» - поверхность+метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, окружность и т.д.)

2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство + метрия) - раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

З. Топология (греч. «топос» - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Комбинаторная топология изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных отображениях. Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.

Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики. Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т. п. Основы аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем Александровым.

Георг Кантор Павел Сергеевич Александров

(1845-1918) (1896-1982)

3. Как изготавливают лист Мёбиуса

● Лист Мёбиуса относится к числу (математических неожиданностей).Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ*А*, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А*В*, т.е. так что совместятся точки А и В* и точки А* и В.

●Формы и размеры бумажной полоски для листа Мёбиуса.

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но нельзя недооценивать тот факт, что ограничения на размер имеют значения в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то лист Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее не склеиваемых.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его чётное количество раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим лист Мёбиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Из рисунка 1 видно, что лист бумаги, из которого склеен лист Мёбиуса, оказался смятым.

Предположим теперь, что бумажную полоску можно изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из неё лист Мёбиуса. Таким образом, существует число λ, что из полоски длины больше λ, лист Мёбиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ – нельзя (что будет для полоски, длина которой в точности равна λ, нас не интересует). Очень хотелось бы найти это λ.

Удивительно, но решение этой задачи до сих пор неизвестно, но ученые нашли ограничения на число λ

1,57( /2 = 90°) < λ < 1,73( )

● Развёртывающая поверхность.

Раз требование не мять бумагу важно, посмотрим, каков его математический смысл.

Легко понять, что запрещение мять бумагу значительно ограничивает

Рис. 4 Рис. 5

возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить без складки пополам (рис. 4), но нельзя сложить вчетверо. Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус, но нельзя сделать сферу или даже её кусочек: прижмите лист бумаги к глобусу (рис. 5), и обязательно появятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму.

Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги (рис.6), изгибая, но, не сминая его, математики называют развёртывающимися. В математике развертывающиеся поверхности определяются не так: в метаматематическом языке отсутствуют слова «бумага», «сминать», «сделать». Существует целая теория развёртывающихся поверхностей, среди достижений которой – удовлетворительный ответ на вопрос, какими они могут быть; математики называют это «классификацией» (ответ принадлежит Леонардо Эйлеру). Приведём только некоторые свойства развертывающихся поверхностей как экспериментальные факты.

Рис. 6

1.Через каждую точку А развёртывающиеся поверхности, не лежащую на её границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в А. Иначе говоря, каждой точке к развёртывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхности (условимся, что это название относится только к отрезкам максимальной длины, целиком лежащим на поверхности, то есть к отрезкам, не содержащимся в больших отрезках с этим свойством).

2.Если через точку А, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причём А не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий А, является плоским. В таком случае точку А мы будем называть плоской.

3.Если точка А, не лежащая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем, а, то окрестность точки А устроена так: через точку А проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, допустим b. Эта образующая разделяет поверхность на две части. С той стороны от образующей b, с которой находится образующая a, к образующей b прилегает плоский кусок, с другой стороны от b, сколь угодно от точки А, имеются не плоские точки. Точку А в этой ситуации мы будем называть полуплоской.

Подчеркнём, что если точка поверхности не является ни граничной, ни плоской, то через неё проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причём концы этой образующей лежат на границе поверхности.

●Примеры: Лист бумаги, свёрнутый в цилиндр или в конус, плоских (и полуплоских) точек не имеет. У цилиндра образующие составляют семейство параллельных отрезков, у конуса – семейство отрезков, веером расходящихся из одной точки. Возможны более сложные расположения образующих.

Рис. 7 Рис. 8

Например, образующие и плоские точки развёртывающейся поверхности (рис.7), показаны на рисунке 8 (на нём поверхность развёрнута в плоский лист бумаги): тонкие линии – образующие, а закрашенные области состоят из плоских точек.

Точки, лежащие на границе области плоских точек, являются либо граничными для всей поверхности, либо полуплоскими. Если поверхность сделана из бумажного многоугольника (скажем, из прямоугольника), то плоские точки составляют один или несколько плоских многоугольников, причем у каждого из этих многоугольников вершины лежат на границе поверхности, а стороны либо лежат на границе, либо состоят из полуплоских точек.

4. Опыты с листом Мебиуса

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверх­ность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь таинственное в таком обычном понятии? Да, может, примером является лист Мёбиуса. Чтобы изучить его свойства, я провел несколько опытов (разделив их на две группы) самостоятельно, а затем предложила провести их обучающимся 3,5 и 8 классов.

I группа опытов

Опыт № 1. Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны.

Начала красить лист Мёбиуса, не переворачивая его.

Результат. Лист Мёбиуса закрасился полностью.

«Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге «Что такое математика?»

Опыт №2. Изготовила из бумаги паука и муху и отправила «гулять» по обыкновенному кольцу, но запретила им переползать границы.

Результат. Паук не смог добраться до мухи.

Опыт № 3. Отправила этих паука и муху только уже по листу Мёбиуса. И запретила им переползать через границу.

Результат. Бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!

II группа опытов

связана с разрезанием листа Мёбиуса, результаты занёсены в таблицу

Результаты проведённых опытов и социологического опроса с 3,5,8 классами.

Обучающиеся, пока были не знакомы с листом Мёбиуса, отвечали на первые три вопроса неверно (1- 68%, 2-53%, 3-52%). Причём, с каждым вопросом и проведённым опытом, количество правильных ответов увеличивалось. Мне удалось заинтересовать данной темой опрошенных настолько, что в итоге большинство из них отвечало верно (4-62%). А ребята из 5-го класса изъявили желание в следующем году участвовать в ШНПК по математике.

5.Топологические свойства листа Мёбиуса

По результатам опытов можно сформулировать следующие топологические свойства листа Мёбиуса, относящиеся к математическим неожиданностям.

Односторонность – топологическое свойство листа Мебиуса, характерное только для него.

Непрерывность – на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена

с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата,

потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая

непрерывность.

Связность – чтобы располовинить кольцо, потребуется два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей заменяется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т. д. А вот чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.

Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.

«Хроматический номер» - это максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Приложение

Применение листа Мёбиуса

∞ У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу.

Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность.

∞ Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза , потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию. Лист Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере.

∞ Совсем недавно ей нашли другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лист Мёбиуса же, вопреки всем законам, направление срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель.

∞ В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

∞ Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

∞ При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

∞ Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно – фантастические рассказы предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе автора А.Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в лист Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

∞ Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти: спираль замыкается сама на себя, и происходит самоуничтожение.

∞ Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и фокусникам

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цир­ке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

∞ Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника.

∞ Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

∞ Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и листу Мёбиуса (работа с бумагой «Лист Мёбиуса и его модификации»).

Заключение

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, худож­ников и нас учеников. Мне были очень интересны открытые свойства листа Мёбиуса:

Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону

Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии и изучении свойств Вселенной. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин.

Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также множество фантастических рассказов.

Работая над данной темой, я получил удовольствие от полезной и интересной информации о листе Мёбиуса от того, что смастерил своими руками и поделился этим с ребятами нашей школы.

Список используемых источников и литературы

М. В. Величко «Математика 9-10 классы. Проектная деятельность учащихся»: Волгоград: «Учитель», 2006. – С. 122.

Б. А. Кордемский «Математическая смекалка»: М.: «В - 71», 1957. –

С. 576.

«Математика «Большой справочник для школьников поступающих в вузы»»: М.: «Дрофа», 2002. – С. 864 «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. С. 687.

В. В. Трошин «МАГИЯ ЧИСЕЛ И ФИГУР «Занимательные материалы по математике»»: М.: «Глобус», 2007. – С

«Я познаю мир «Математика»»: Минск: «АСТ – ЛТД», 1998. – С.475.

Материалы сайтов:

http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://www.frei.ru/golos/books/

http://umiranie.chat.ru/sphere.htm

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/