Опорный конспект по теме: «Рациональные числа»

Рациональные числа — это числа вида m/n , где m - целое число, а n - натуральное число. 

Множество рациональных чисел принято обозначать буквой Q.

Выполняется соотношение Z⊂Q , поскольку любое число m можно представить в виде  m/1.
Итак, можно сказать, что рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.

Любая десятичная дробь как частный случай обыкновенной дроби тоже является рациональным числом.

Для рациональных чисел кроме указанной выше записи m/n можно использовать другой вид записи, который рассмотрен ниже.
Рассмотрим целое число 7, обыкновенную дробь 511 и десятичную дробь 4,244. Целое число 7можно записать в виде бесконечной десятичной дроби 7,0000... .

Десятичную дробь 4,244 тоже можно записать в виде бесконечной десятичной дроби 4,244000... .

Для числа 511  - воспользуемся методом "деления углом":

Как видите,  после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: 45,45,45, .... Таким образом, 511 =0,454545....

Короче это записывают так: 0,(45).

Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь —  бесконечной десятичной периодической дробью.

Число 7 также можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число 0:

7 =7,00000...=7,(0).

Так же обстоит дело и с числом 4,244:

4,244=4,244000...=4,244(0).

Чтобы все было аккуратно, говорят так: 4,244 — конечная десятичная дробь, а 4,244000... — бесконечная десятичная дробь.

Вообще любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Пример:

Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь

а) 1,(47)      б) 1,3(47).

Решение

а) Пусть x =1,(47), т. е. x = 1,474747... . 
Умножим x на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры, надо, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для этого число x нужно умножить на 100. Получим:

100x=147,474747... .

Следовательно,

_ 100x=147,474747...

           x=1,474747...

_________________________________

100x−x=147,474747...−1,474747...

 99x=146

x=14699.

Итак, 1,(23)= 14699 =1 4799.

б) Пусть x=1,3(47)=1,3474747.... Сначала умножим x на 10, чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой: 10x=13,474747... . Теперь число 10xумножим на 100 — тогда запятая сместится ровно на один период вправо:

1000x=1347,474747... .

Имеем:

_1000x=1347,474747...

       10x=13,474747...

__________________________

  990x=1334;

x= 1334990 = 667495 =1 172495.