Подготовка к ОГЭ: Решение геометрических задач

Подготовка к ОГЭ Решение геометрических задач МБОУ СОШ №9 Учитель математики Чуприна Ирина Александровна

1. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=82°, AD – биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах. Решение: Биссектриса делит угол пополам, значит  ∠BAD = 82 / 2 = 41° Ответ: 41 ЗАДАНИЕ №15 ОГЭ

2. В треугольнике два угла равны 72° и 42°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах. Решение: Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, чтобы найти третий угол треугольника, нужно сложить два известных угла и вычесть их сумму из 180° 180° − (72° + 42°) = 66° Ответ: 66

3. В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABС =124°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах. Решение: Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник равнобедренный, значит углы при основании равны. ∠ВСА =∠ВАС = (180° - 124°) / 2 = 28° Ответ: 28

4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, M – середина стороны AB, AB=36, BC=20. Найдите CM. Решение: CM — медиана, а медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, значит, CM = AB/2 = 36/2 = 18 Ответ: 18

Площадь треугольника 5. Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 7. Найдите площадь этого треугольника. Решение: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. S = 1/2 * 6 * 7 = 21 Ответ: 21

6. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=6, DC=10 . Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите площадь треугольника BCD. Решение: Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований: SВСD /SАВС = DC/АС, тогда SВСD = SАВС * DC / АС АС = 6 + 10 = 16 SВСD  = 48 * 10 / 16 = 30 Ответ: 30

Подобные треугольники 7. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 48, сторона BC равна 57, сторона AC равна 72. Найдите MN. Решение: Поскольку отрезок MN соединяет середины двух сторон треугольника ABC, MN является средней линией, она параллельна AC и равна её половине: МN = АС/2 = 72/2 = 36 Ответ: 36

8. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=21, MN=14. Площадь треугольника ABC равна 27. Найдите площадь треугольника MBN.

Теорема Пифагора В равностороннем треугольнике высота является медианой и биссектрисой. Она делит этот треугольник на 2 прямоугольных треугольника. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны - катетом, и высота - катетом. 9. Высота равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите его периметр.

ЗАДАНИЕ №16 ОГЭ Центральные и вписанные углы 10. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 64°. Ответ дайте в градусах. Решение:Угол AOB является центральным углом, ∠ACB — вписанным. Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠ACB в два раза меньше ∠AOB.  ∠ACB = ∠AOB / 2 = 64° / 2 = 32°. Ответ: 32

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP =20, CP =30, DP =24. Найдите AP. Решение:

12. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=6, BC=18 . Найдите AK. Решение:

Вписанная окружность Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 38. Найдите высоту этой трапеции. Решение: Собственно из рисунка видно, что диаметр окружности равен высоте окружности, особенно это становится очевидным, если высоту провести перпендикулярно основаниям через центр окружности. То есть получается высота равна два радиуса 2*38=76 Ответ: 76

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=14, BC=15, CD=23. Найдите AD. Решение: По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны. AB+CD=BC+AD AD=AB+CD-ВС AD= 14 + 23 - 15 = 22 Ответ: 22

 15. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 11√3 . Найдите длину стороны этого треугольника. Решение: Проведем еще две прямые (биссектрисы, медианы, высоты) в равностороннем треугольнике. Получим 6 прямоугольных равных  треугольников, в который один угол равен 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы. Используя теорему Пифагора можем вычислить второй катет этого треугольника и умножить на два, тем самым получив сторону треугольника.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Решение: Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны: ∠CBD = ∠CAD = 80° ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD, отсюда ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD ∠ABD = 132° - 80° = 52° Ответ: 52

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 12,5. Найдите AC, если BC=24. Решение: Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. AB = 12,5*2 = 25 По теореме Пифагора AB2 = АС2 + ВС2 АС2 = AB2 - ВС2  АС2 = 252 - 242  АС2 = 49 АС = 7 Ответ: 7

Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 111°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах. Решение: Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°: ∠A + ∠C = 180°, отсюда ∠C = 180 - ∠A = 180° - 111° = 69° Ответ: 69

19. Площадь круга равна 123. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°. Решение: Круг составляет 360°, его площадь равна 123. Пусть х - площадь сектора, центральный угол которого равен 120°. Составим пропорцию. угол   площадь 360°  -     123 120°   -      х 360/120 = 123/x х = (123 * 120) / 360 = 14760 / 360 = 41  Значит, площадь сектора равна 41 кв. единица. Ответ: 41

ЗАДАНИЕ №17 ОГЭ Параллелограмм Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.   Решение: В параллелограмме противолежащие углы равны. Угол ABC — тупой, а угол BAD — острый, значит, ∠BAD=∠ВСD  — меньший угол параллелограмма. AD||BC (по определению параллелограмма), следовательно диагональ ВD можно рассматривать как секущую при параллельных прямых, углы CВD и АDВ равны как накрест лежащие: ∠АDВ = ∠CВD Рассмотрим треугольник АВD. Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда: ∠ВАD = 180° - ∠АВD - ∠АDВ = 180° - ∠АВD - ∠CВD = 180° - 65° - 50° = 65°. Ответ: 65

Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 21°. Ответ дайте в градусах. Решение: Обозначим точку пересечения стороны ВС биссектрисой как Е.               Углы BEA и EAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC. Поскольку AE — биссектриса угла A, ∠BAD = 2∠BAE = 2∠BEA = 2 * 21 = 42°. Этот угол является острым углом параллелограмма. Ответ: 42 Е

Трапеция Один из углов равнобедренной трапеции равен 66°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. Решение: Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны. Так как сумма односторонних углов трапеции (углы при параллельных прямых и секущей) равна 180°, то больший угол в трапеции 180° - 66°  = 114°. Ответ: 114

 23. В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание. Решение: Введем обозначения, как показано на рисунке. Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов любого треугольника равна 180°, значит ∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°, ∠АВF  = ∠ВАF , следовательно, треугольник АВF равнобедренный и  АF = ВF = 5 Проведем высоту СЕ из угла С. В четырехугольнике ВСЕF противолежащие стороны параллельны, а углы F и Е прямые, значит это прямоугольник. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, значит ВF = СЕ = 5, ВС = FЕ  Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, то есть ∠ВАF = ∠CDE = 45°, ∠ECD = 180° - 90° - 45° = 45°, отсюда треугольник АВF = СDЕ по двум сторонам и углу между ними. Значит АF = ЕD = 5 ВС = FЕ = АD - (АF + ЕD) = АD - 2АF = 15 - 2 * 5 = 5 Ответ: 5

Прямоугольник 24. Диагональ прямоугольника образует угол 74° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах. Решение: Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, значит любой треугольник, полученный внутри прямоугольника, равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°. Учитывая вышесказанное, найдем угол между диагоналями прямоугольника: 180° - 2 * 74° = 32° - острый угол Ответ: 32

Ромб  25. В ромбе ABCD угол ABC равен 72°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.   Решение:Сумма односторонних углов АBС и ВCD равна 180°, отсюда ∠ВCD = 180° - 72° = 108°. Диагональ ромба AC является биссектрисой угла ВCD, поэтому делит его пополам ∠ACD = 108° / 2 = 54°. Ответ: 54 2 способ для тех, кто забыл свойства диагонали ромба По определению ромба все его стороны равны. Тогда треугольник АВС равнобедренный (ВС=ВА), а значит углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда ∠ВСА = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 72°) / 2 = 54° ВС||АD, а СА - секущая, значит ∠ВСА = ∠САD = 54° как накрест лежащие. Треугольник АDС так же равнобедренный (СD=АD), значит  ∠ACD = ∠САD = 54° Ответ: 54

Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту. Решение: Площадь  параллелограмма S=ah, где а - сторона параллелограмма, а h - высота, опущенная к этой стороне. h=S/a Тогда первая высота: h1=32/8=4; вторая высота: h2=32/16=2. Ответ: 4

Площадь параллелограмма ABCD равна 104. Точка E – середина стороны AB. Найдите: а) площадь треугольника CBE; б) площадь трапеции DAEC. Решение:   Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому SACВ= 104 / 2 = 52. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому а)  SCВE = 1/2 SACВ = 52 / 2 = 26      Ответ: 26 б) следовательно,     SAECD = SABCD - SCDE = 104 - 26 = 78.     Ответ: 78

Средняя линия трапеции 28. Основания трапеции равны 14 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. Решение: Введём обозначения, как показано на рисунке. MN — средняя линия, AM = MB, откуда по теореме Фалеса AK = KC. AD > ВС, значит КN > МК (как средние линии треугольников) Рассмотрим треугольник ACD. KN — средняя линия, следовательно, KN = AD/2 = 19/2 =9,5. Ответ: 9,5