Если вы хотите участвовать в большой жизни, то заполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность.
М.И. Калинин
1. Сравните числа:
а) и ;
б) 0,4 и ;
в) - ;
г) - и -о,75.
2. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
а) 1547∙ и 1547 ∙ ;
б) 2187: и 2187 ∙ ;
в) 289 ∙ 17 и 289: ;
г) 156,4:0,2 и 156,4 ∙ 0,2.
3. Сравните выражения:
б)
Разминка для глаз
Тема урока:
Тема урока:
Числовые неравенства
и их свойства
Цели: изучить теоремы, выражающие свойства числовых неравенств; формировать умение применять теоремы–свойства при решении задач.
Задание 1. Сравните числа:
а) 5,1 и 2,5;
б) -3 и 2;
в) 1,05 и 1,0005;
2,5 и 5,1;
2 и -3;
1,0005 и 1,05.
Вывод:
Если a > b, то b…а.
Если а < b, то b…а.
Теорема 1.
Если а > b, то b < a и если a < b, то b > a.
Доказательство:
если а > b, то по определению разность а-b > 0. Но тогда величина b-a < 0, что по определению означает
b < a.
Если а < b, то по определению разность а-b < 0. Но тогда величина b-a > 0, что по определению означает
b > a.
Теорема доказана.
Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена на рисунках.
Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена на рисунках.
Если а > b, то на координатной прямой точка а расположена правее точки b. Но тогда точка b расположена левее точки а, что и означает b < a.
Если а < b, то на координатной прямой точка а расположена левее точки b. Но тогда точка b расположена правее точки а, что и означает b > a.
Задание 2. Сравните числа:
a)2,3 и 7,6; 7,6 и 8,7; 2,3 и 8,7;
б)-,1,5 и -1,25; -1,25 и -1; -1,5 и -1;
в)-0,7 и 2; 2 и 2,1; - 0,7 и 2,1.
Вывод:
Если a < b и b < с, то a…c.
Теорема 2.
Если а < b и b < с, то а < с.
Так как а < b, то на координатной прямой точка b расположена правее точки а. Так как b < с, то точка с расположена правее точки b и, тем более правее точки а. Поэтому а < с.
Задание 3. Сравните:
а) 2,3 и 3,6; 2,3 + 2 и 3,6 + 2;
б) 1,6 и 2,07; 1,6 – 11 и 2,07 – 11;
в) – 4 и – 3; – 4 + и – 3 + .
Вывод:
Если a < b, то a+c…b+c.
Теорема 3.
Если a < b и с – любое число, то а+с < b +с.
Так как а < b, то точка а расположена на координатной оси левее точки b.
Точка а+с смещена относительно точки а на такое же расстояние, как и точка b+с относительно точки b. Поэтому точка а+с расположена на координатной оси левее точки b+с и, следовательно, а+с < b +с.
Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
Задание 4. Сравните:
а) 11,1 и 12,1;
б) 0,7 и 1;
в) 0,01 и 0,001;
11,1∙3 и 12,1 ∙ 3;
0,7 ∙ 1,1 и 1 ∙ 1,1;
0,01 ∙ 10 и 0,001 ∙ 10.
Вывод:
Если a < b и c > 0, то ac…bc.
Сравните:
а) 11,1 и 12,1;
б) 0,7 и 1;
в) 0,01 и 0,001;
11,1 ∙(-3) и 12,1 ∙(-3);
0,7 ∙(-1,1) и 1 ∙(-1,1);
0,01 ∙(-10) и 0,001 ∙(-10).
Вывод.
Если a < b и c < 0, то ab…bc
Теорема 4.
Если a < b и с – положительное число, то ac < bc. Если a < b и с – отрицательное число, то ac > bc.
Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делению, то свойство, аналогичное рассмотренному, справедливо и для деления.
Итак, если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Следствие.
Если a и b положительные числа и a < b, то > .
Пример 1
Известно, что a<b.
Сравните:
а) a-4*b-4;
б)10,5a*10,5b;
в)-3,2a*-3,2b;
Пример 2
Известно, что a<b.
Сравните:
а) b+6*a+6;
б) 12-a*12-b;
в) -* - .
Пример 3.
Оценим периметр квадрата со стороной а см, если известно, что
18,1 < a < 18,2.
Решите:
№ 746, 749
Релаксация
- Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.
- Если к обеим частям верного неравенства прибавить отрицательное число, то получится ли верное неравенство?
- Можно ли обе части верного неравенства умножить на отрицательное число, чтобы получилось верное неравенство?
Какое ещё условие необходимо соблюсти?
- Если a<b и b>4. Можно ли утверждать, что a>4?
Домашнее задание:
п. 29 № 747, 751, 752, 753
Литература:
Алгебра . 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова: под ред. С.А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2015. – 287с.
Алгебра . 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.В. Суворовой /авт.-сост. Т.Ю. Дюмина, А.А. Махонина. – Волгоград: Учитель. 2011 – 399 с.
