Базовый уровень Задание №20 матетамика, базовый уровень Составила: Мокина В.С. учитель математики МАОУ гимназия №83 г. Тюмень
Базовый уровень Учащиеся должны продемонстрировать: владение основными алгоритмами, знание и понимание ключевых элементов содержания, умение пользоваться математической записью, применять знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, - умение логически мыслить, применять математические знания в простейших практических ситуациях. Базовый уровень
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? Задача 1 Базовый уровень
Решение задачи 1 Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий — 14. Если распилить палку по желтым — 5 кусков, следовательно, линий — 4. Если распилить по зеленым — 7 кусков, линий — 6. Всего линий: 14 + 4 + 6 = 24 линии, следовательно, кусков будет 25. Базовый уровень
Задача 2 В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? Базовый уровень
Решение задачи 2 Груздей максимум 16 (иначе можно было бы взять 17 груздей и условие бы не выполнилось). Рыжиков максимум 24 (иначе можно было бы взять 25 груздей в нарушение условия). Известно, что в корзине всего 40 грибов. Поэтому груздей ровно 16, а рыжиков ровно 24. Базовый уровень
Задача 3 На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора. Базовый уровень
Решение задачи 3 Одна параллель делит поверхность глобуса на 2 части, двенадцать параллелей разделят глобус на 13 частей, следовательно, 13 · 22 = 286 — на столько частей разделят глобус 12 параллелей и 22 меридиана. Базовый уровень
Задача 4 На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 35 км, между A и C — 20 км, между C и D — 20 км, между D и A — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в километрах. Базовый уровень
Решение задачи 4 Расположим А, В, C, D вдоль кольцевой дороги по очереди так, чтобы расстояния соответствовали данным в условии. Всё хорошо, кроме расстояния между D и A. Чтобы оно было таким, каким нужно, подвинем D и поставим между B и A нужным образом. Тогда между B и C будет 15 км. Базовый уровень
Задача 5 Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) Базовый уровень
Решение задачи 4 Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7 = 66 квартир. Следовательно, на каждом из 7 этаже в подъезде не меньше 9 квартир. Пусть на каждой лестничной площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего 9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется в восьмом подъезде, что противоречит условию. Пусть на каждой площадке по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в первых шести — 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом подъезде. Она в нем 42-ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже. Если бы на каждой площадке было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы 11 · 7 · 6 = 462 квартиры, то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию. Тем самым, Саша живёт на пятом этаже. Базовый уровень
Задача 5 Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир? Базовый уровень
Решение задачи 5 Число квартир, этажей и подъездов может быть только целым числом. Заметим, что число 110 делится на 2, 5 и 11. Следовательно, в доме должно быть 2 подъезда, 5 квартир и 11 этажей. Ответ: 11. Базовый уровень
Задача 5 Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат? Базовый уровень
Решение задачи 5 Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с чётными координатами, поскольку число прыжков, которое он делает, — чётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает шести. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек. Ответ: 7.
Задача 6 Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? Базовый уровень
Решение задачи 6 За день улитка заползёт на 4 метра, а за ночь — сползёт на 3 метра. Итого за сутки она заползёт на метр. За шестеро суток она поднимется на высоту шести метров. И днём следующего, седьмого, дня она окажется на вершине дерева. Ответ:7 Базовый уровень
Задача 7 Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров? Базовый уровень
Решение задачи 7 Последовательность цен за метр — арифметическая прогрессия с первым членом 4200 и разностью d = 1300 Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле В нашем случае имеем: S11 = Тем самым, цена работы составляет 117 700 руб. Sn = a1 = Базовый уровень
Задача 8 Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника. Базовый уровень
Решение задачи 8 Введём обозначения, как показано на рисунке. Периметр верхнего левого прямоугольника равна 24, поэтому 2( а+с) = 24 аналогично, 2( а+d) = 28, 2(b+d) = 16. При помощи полученной системы уравнений выразим значение b+c c= 12 – a a = 14 – d b = 8 – d C = 12 – 14 + d = d -2 b+ c = 8 – d + d -2 =6 2(b+ c) = 12 Ответ: 12 Базовый уровень
Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами? Задача 9 Базовый уровень
От каждого столба отходит по 4 провода, следовательно, всего будет 10·4 = 40 соединений. Заметим, что каждые два столба связаны одни проводом, поэтому между этими десятью столбами будет протянуто всего 40:2 = 20 проводов. Ответ: 20. Решение задачи 9
Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 10 партий, а Коля — 21. Сколько партий сыграл Лёша? Задача 10 Базовый уровень
Больше всех партий сыграл Коля, следовательно, было сыграно не менее 21 партии. В одной из первых двух партий должен был участвовать Миша, значит, было сыграно не более 2·10+ 1 =21 партии. Значит, Коля участвовал в каждой сыгранной партии. Таким образом, Лёша сыграл 21 − 10 = 11 партий. Решение задачи 10 Базовый уровень
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков. Сколько досок взяли? Задача 11 Базовый уровень
Каждый поперечный распил добавляет один кусок к уже имеющимся, следовательно, изначально было 16 − 11 = 5 досок. Ответ: 5. Решение задачи 11 Базовый уровень
Спасибо за работу. Базовый уровень
