Доклад на тему «Развитие мышления школьников на уроках математики посредством использования приёмов рациональных вычислений»
Развитие мышления школьников на уроках математики посредством использования приёмов рациональных вычислений
В настоящее время происходит активное внедрение в практику школы различных педагогических инноваций, авторских программ и учебников, смещение акцента в обучении на разностороннее гармоничное развитие учащихся и прежде всего умственное развитие.
Но не нужно забывать о проверенных временем практиках.
Одной из важнейших задач обучения школьников математике является формирование у них вычислительных навыков, в основу которых кладется осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Это достигается в результате длительного выполнения тренировочных упражнений.
К сожалению, у многих из нас, в практике обучения математики находиться такие ученики, которые в 9 классе, не умеют выполнять элементарные математические операции: умножать и делить, складывать и вычитать дроби и целые числа. Поэтому работа по обучению рациональных приемов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и органически увязываться с изучаемым программным материалом.
В своей практике я для формирования навыков рационального вычисления выделяю по 5 минут на уроке два-три раза в неделю.
Начту с определения. Рациональность вычислений – это выбор тех вычислительных операций из возможных, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия.
На мой взгляд можно применять рациональные приемы:
• при вычислении значений числовых выражений;
• при вычислении значений буквенных выражений;
• при упрощении буквенных выражений;
• при решении уравнений;
• при решении задач.
Чтобы было проще разобраться с приемами вычисления я обобщила материал в таблицу. Предлагаю вам её изучить.
Возможно, кто-то скажет, что методы не простые и постоянно применять их сложно. Тогда я отвечу, что применять все методы, возможно и не нужно. Использование рациональных приемов, помогающих во многих случаях значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию у учащихся положительных мотивов к этому виду учебной деятельности.
|
Приемы рациональных вычислений |
|||
|
№ |
задача |
объяснение |
пример |
|
1 |
Умножение чисел методом Ферроля |
Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот, и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20. Можно умножать и трёхзначное число на двузначное. |
1. Умножение двузначных чисел 12∙14=168 а)2∙4=8(единицы) б)1∙2+1∙4=6(десятки) в)1∙1=1(сотни)
2. Умножение двузначного числа на трехзначное 125∙23=2875 а)3∙5=15, пишем 5, запоминаем 1 б)(3∙2+2∙5)+1=17,пишем 7, запоминаем 1 в)(3∙1+2∙2)+1=8, пишем 8 г)21=2, пишем 2 |
|
2 |
Умножение (деление) на степени двойки |
1) Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают. 2) Аналогично выполняют деление. 3) Чтобы умножить число на 8, его трижды умножают на 2. |
203∙4= (203∙2)∙2=406∙2=812
364:4=(364:2):2=182:2=91
53∙8= ((53∙2)∙2)∙2=(106∙2)∙2=212∙2=424 |
|
3 |
Умножение на 11 |
1.Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10 умножить на 11, нужно цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними их сумму. 2. Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, нужно мысленно раздвинуть цифры этого числа и между ними поставить последнюю цифру суммы, а первую цифру прибавить к первой цифре двузначного числа |
34∙11= 3(3+4)4= 374
76∙11=7(7+6)6=7(13)6= (7+1)36=836
|
|
4 |
Умножение на 9, 99, 999 и т.д. |
1. К первому множителю приписать справа столько нулей, сколько девяток во втором множителе и из результата вычесть первый множитель a∙9=а∙(10—1)=10∙а—а а∙99=а∙(100―1)=100∙а―а и т.д.
|
48∙9=480―48= 432 185∙9=1850―185=(1650+ 200)―185=1650+(200―185)= 1650+15=1665 36∙99=3600―36=3500+(100 ―36)=3500+64=3564 275∙99=27500―275=27000+ (500―275)=27000+225=27225 65∙999=65000―65=64000+ (1000―65)=64000+935=64935 |
|
5 |
Умножение на 5, 25, 50, 125 |
При умножении на эти числа нужно воспользоваться следующими формулами: а∙5=(а∙10):2=(а:2)∙10 а:5=(а∙2):10=(а:10)∙2 а∙25= (а∙100):4=(а:4)∙100 а:25=(а∙4):100=(а:100)∙4 а∙50=(а∙100):2=(а:2)∙100 а:50=(а∙2): 100=(а:100)∙2 а∙125=(а∙1000):8=(а:8)∙1000 а:125=(а∙8):1000=(а:1000)∙8 |
73∙5=(73∙10):2=730:2=365 54:5=(54∙2): 10=108:10=10,8 32∙25=(32:4)∙100=8∙100=800 650:25=(600+50):25=600:25+50:25= (600:100∙4)+2=24+2=26 26∙50=(26:2)∙100=13∙100=1300 1300:50=(1300:100)∙2=13∙2=26 96∙125=(96:8)∙1000=12∙1000=12000 45000:125=(45000:1000)∙8=45∙8= ((45∙2)∙2)∙2=360 |
|
6 |
Умножение на 1,5; 2,5; 3,5 |
Чтобы умножить число на 1,5, надо к данному числу прибавить его половину. Чтобы умножить число на 2,5, надо умножить его на 2 и прибавить половину числа. Чтобы умножить число на 3,5, надо умножить его на 3 и прибавить половину числа. |
16∙1,5=16+8=24 16∙2,5=16∙2+8=32+8=40 16∙3,5=16∙3+8=48+8=56 |
|
7 |
Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.
|
Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0. |
522= 2704, т.к. 25+2=28 и 22=04;
|
|
8 |
Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5 |
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25. |
352=1225, т.е. 3·4=12 и к 12 приписываем 25, получаем 1225
|
|
9 |
правило сложения 7,8,9 |
чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1; чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д.
|
67+8= 67+10―2=77―2=75 95+9=95+10―1=105―1=104
|
|
10 |
Сложение двузначных чисел |
Если цифра единиц в прибавляемом числе больше 5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы |
53+49=(53+50)―1=103―1=102 76+13=76+10+3=86+3=89
|
|
11 |
Сложение трехзначных чисел |
Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы.
|
359+523=(300+500)+(50+20)+ (9+3) =800+(70+10)+2=882 456+298=(400+200)+(50+90)+ (6+8) =600+ (140+10)+ 4=(600+100)+50+4=700+50+4 =754 |
|
12 |
Вычитание чисел |
Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится |
529―435=(529+1)―(435―1) =530―434=100―34+30=66+30
|
|
13 |
Разложение делимого на слагаемые |
Разложение делимого на такие слагаемые, которые легко бы делились раздельно, ускоряет устный подсчет числа при делении |
2808 / 9 = (2700 / 9) + (90 / 9) + (18 / 9) = 300 + 10 + 2 = 312.
|
|
14 |
Сложение нескольких последовательных чисел натурального ряда |
1.Чтобы сложить несколько последовательных чисел натурального ряда 2. Чтобы сложить несколько последовательных чисел натурального ряда (чисел чётное количество), надо взять два стоящих посередине слагаемых и их сумму умножить на половину числа слагаемых
|
1. 4 + 5 + 6 + 7 +8=6*5=30 14 + 15 +16 + 17 + 18=16*5=80 24 + 25 + 26 + 27 + 28=26*5=130 2. 4 + 5 + 6+ 7 + 8+ 9 + 10 + 11= (7+8)* =15*4=60 16 + 17 + 18 + 19 + 20 +21 +22 +23=(19+20)* =39*4=156
|
|
15 |
Нахождение суммы последовательных чётных чисел |
Для нахождения суммы последовательных чётных чисел, надо сложить два равноудалённых от концов числа их этих десяти и умножить сумму этих двух чисел на количество пар Так слагаемые этого столбца увеличиваются на 2, то сумма чисел одинаково удалённых от концов столбца постоянная и равна сумме крайних чисел.
|
Числа 2416 2418 2420 2422 2424 2426 2428 2430 2432 2434
2416+2434=4850, а так как таких пар чисел здесь 5, то для нахождения суммы этих 10 слагаемых надо 4850*5=24250.
|
|
|
Признаки делимости |
Признак делимости на 2. Число, делящиеся на 2, называется чётным, не делящееся – нечётным. Число делится на два, если его последняя цифра чётная или нуль. В остальных случаях – не делится . Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях – не делится. Признак делимости на 8 подобен предыдущему. Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится. Признак делимости на 3 и на 9. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 - только те, у которых сумма цифр делится на 9. Признак делимости на 6. Число делится на 6, если делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае - не делится. Признаки делимости на 5. На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие - не делятся. Признак делимости на 25. На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 ( т.е. число, оканчивающееся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся. Примеры. 8200 делится на 10 и на 100; 542000 делится на 10, 100, 1000. |
число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8 – чётная; 7691 не делится на 2, так как 1 – цифра нечётная; 5160 делится на 2, так как последняя цифра нуль.
Примеры. 31700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями; 215634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 3, не делящееся на 4; 16608 делится на 4, так как две последние цифры 08дают число 8, делящееся на 4. Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1+7+8+3+5=24 делится на 3 и не делится на 9. Число 106449 не делится на , ни на 9. Число 52632 делится на 9 и на 3 , так как сумма его цифр (18) делится на 9 и на 3. 126 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3. 240 делится на 5 (последняя цифра 0); 554 не делится на 5 (последняя цифра 4). 7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25. Признак делимости на 10,100 и на 1000. На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 – только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 – только те, у которых три последние цифры нули.
|
|
|
Группировка при сложении |
Объяснение легко понять из примера |
Знаменитый пример Гаусса: надо найти сумму первых 100 натуральных чисел. 1 + 2+ 3 + 4+ ... + 97 +98+ 99 +100»? Применим парную группировку слагаемых: 1 + 99 = 100 2 + 98 = 100 3 + 97 = 100... 49 + 51 = 100 Таких сумм будет 49. Остается число 50 и число 100.4 900 + 100 + + 50 = 5 050.
|
