Клюева Лариса Валентиновна

Тренировочный тест для подготовки к ГИА в форме ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Материал опубликован 3 February в группе

Готовимся к экзаменам

106

902

Вариант 1.

Часть 1

Площадь параллелограмма TFCE равна 16. Точка K — середина стороны TE. Найдите площадь трапеции TKCF.

На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.

Объем первого цилиндра равен 58 м3. У второго цилиндра высота в 5.5 раза больше, а радиус основания — в 1.5 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 22 спортсмена, среди них 11 прыгунов из Португалии и 5 прыгунов из Эквадора. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что девятым будет выступать прыгун из Португалии.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0.05. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите корень уравнения

Найдите значение выражения 16

= 7.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите корень уравнения f ′(x) = 0.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 45 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель.

Определите наименьшее возможное сопротивление R2 этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 Ом и

R2 Ом их общее сопротивление даeтся формулой Rобщ =

R1R2 R1+R2

(Ом), а для нормального

функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 36 Ом.

Ответ выразите в омах.

Первая труба пропускает на 18 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 420 литров она заполняет на 14 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 784 литра?

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Найдите точку максимума функции y = 2 ln(12x − 4)7 − 12x − 5.

Часть 2

а) Решите уравнение 4 sin2 x + 8 sin( 3π + x) + 1 = 0.

3π

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; − 2 ]

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 20, BB1 = 15, B1C1 = 21. Решите неравенство 12x − 8x − 2 ⋅ 6x+1 + 3 ⋅ 4x+1 + 32 ⋅ 3x − 2x+5 ≤ 0.

В июле 2024 года планируется взять кредит на 15 лет под 9% годовых. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг будет возрастать на 9% по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

в июле 2025, 2026, 2027, 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

в июле 2032 года долг должен составить 511 000 рублей;

в июле 2033, 2034, 2035, 2036, 2037, 2038 и 2039 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

к июлю 2039 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите сумму кредита, если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 1 310 160 рублей.

Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN.

а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.

б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

≤ 0

x−(2a+23−a)

x−(cos a−1)

выполнено при всех x, принадлежащих промежутку (6; 9).

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 272. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.

а) Может ли число 425 являться членом такой прогрессии? б) Может ли число 680 являться членом такой прогрессии?

в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Вариант 2.

Часть 1

Площадь параллелограмма HFCT равна 376. Точка E — середина стороны HT. Найдите площадь трапеции HECF.

На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.

Объем первого цилиндра равен 68 м3. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания — в 6 раз больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Австрии и 7 прыгунов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым будет выступать прыгун из Китая.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0.18. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите корень уравнения

Найдите значение выражения 24

= 9.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите корень уравнения f ′(x) = 0.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 10 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель.

R2 Ом их общее сопротивление даeтся формулой Rобщ =

R1R2 R1+R2

(Ом), а для нормального

функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом.

Ответ выразите в омах.

Первая труба пропускает на 18 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 252 литра она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 594 литра?

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Найдите точку максимума функции y = 2 ln(−5x + 1)13 + 5x − 12.

Часть 2

а) Решите уравнение 4 cos2 x + 4 cos( π + x) − 1 = 0.

5π

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 2 ; 4π]

Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O равен 5, а его высота равна

51. Точка M — середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причём прямая MN параллельна образующей конуса SB.

а) Докажите что ∠ANO — прямой.

б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если AB = 8.

x+ x+ x

2 1

x+ 1

≤ 2 −

Решите неравенство 8 3 −9⋅4 2 +13⋅2 −13

x+1 1 2x −2

2x+1 −1

4 2 −9⋅2 +4

В июле 2024 года планируется взять кредит на 12 лет под 23% годовых. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг будет возрастать на 23% по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

в июле 2025, 2026 и 2027 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

в июле 2027 года долг должен составить 450 000 рублей;

в июле 2028, 2029, 2030, 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите сумму кредита, если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 1 645 920 рублей.

Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.

а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны. б) Найти отношение BH к ED, если ∠BCD = 135°.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

< 0

x−(2a+23−a)

x−(sin a−1)

выполнено при всех x, принадлежащих промежутку (6; 9].

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.

а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии? б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?

в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Вариант 3.

Часть 1

Площадь параллелограмма BNOZ равна 4. Точка P — середина стороны BZ. Найдите площадь трапеции BPON.

На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.

Объем первого цилиндра равен 75 м3. У второго цилиндра высота в 25 раз меньше, а радиус основания — в 10 раз меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 14 прыгунов из Финляндии и 6 прыгунов из России. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой.

Найдите вероятность того, что предпоследним будет выступать прыгун из России.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0.1. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите корень уравнения

Найдите значение выражения 15

= 9.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите корень уравнения f ′(x) = 0.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 42 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель.

R2 Ом их общее сопротивление даeтся формулой Rобщ =

R1R2 R1+R2

(Ом), а для нормального

функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 33 Ом.

Ответ выразите в омах.

Первая труба пропускает на 12 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 132 литра она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 570 литров?

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Найдите точку максимума функции y = 2 ln(20x + 17)3 − 15x + 12.

Часть 2

а) Решите уравнение 3 cos 2x + 7 sin x + 2 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π ; −π]

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD = 10, BC = 8, SO = 8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

5x −5

Решите неравенство 125x − 25x + 4⋅25x −20

≤ 4.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t

= 1; 2; …). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 17%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце 27-го года сумма на его счёте была наибольшей?

Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причём точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружность в точках D и E соответственно. а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.

б) Найдите AD, если ∠DAE = ∠BAC, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и AB = 3.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

x2−4x+a

= 0

5x2 −6ax+a2

Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 3111.

а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна 17.

б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 109?

в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.

Вариант 4.

Часть 1

Площадь параллелограмма HAZP равна 32. Точка C — середина стороны HP. Найдите площадь трапеции HCZA.

На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.

Объем первого цилиндра равен 16 м3. У второго цилиндра высота в 20 раз меньше, а радиус основания — в 5 раз больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 9 прыгунов из Мексики и 15 прыгунов из Бразилии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что последним будет выступать прыгун из Бразилии.

Найдите корень уравнения Найдите значение выражения (9

17)2

= 4.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите корень уравнения f ′(x) = 0.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 84 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель.

R2 Ом их общее сопротивление даeтся формулой Rобщ =

R1R2 R1+R2

(Ом), а для нормального

функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 56 Ом.

Ответ выразите в омах.

Первая труба пропускает на 12 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 336 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 680 литров?

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Найдите точку максимума функции y = −2 ln(8x + 10)−1 − x − 17.

Часть 2

а) Решите уравнение cos 2x + cos(−x) = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π ; −2π]

На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB = 1 : 2. Точка P — середина ребра AS.

а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды. б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

Решите неравенство 4x −2x+3 +7

≤ 2x−9 + 1 .

4x −5⋅2x +4

2x −4 2x −6

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t

= 1; 2; …). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 18%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце 16-го года сумма на его счёте была наибольшей?

К окружности с диаметром AB = 6 проведена касательная BC так, что BC = 3 2. Прямая

AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.

а) Докажите, что BD2 = CD ⋅ BE.

б) Найдите площадь треугольника FBE.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

x2+4x−a

= 0

15x2 −8ax+a2

а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна пяти.

б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 91? в) Найдите наименьшее нечетное число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.

Вариант 5.

Часть 1

Площадь параллелограмма AZNE равна 528. Точка D — середина стороны AE. Найдите площадь трапеции ADNZ.

На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.

Объем первого цилиндра равен 2 м3. У второго цилиндра высота в 39 раз больше, а радиус основания — в 3.5 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 24 спортсмена, среди них 6 прыгунов из Армении и 5 прыгунов из Испании. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что последним будет выступать прыгун из Армении.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0.14. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите корень уравнения

Найдите значение выражения 36

= −4.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите корень уравнения f ′(x) = 0.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 165 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель.

R2 Ом их общее сопротивление даeтся формулой Rобщ =

R1R2 R1+R2

(Ом), а для нормального

функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 66 Ом.

Ответ выразите в омах.

Первая труба пропускает на 14 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 200 литров она заполняет на 10 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 720 литров?

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Найдите точку максимума функции y = −2 ln(5x − 1)−11 − 11x + 2.

Часть 2

а) Решите уравнение 2tg2x +

5 cos x

+ 4 = 0.

9π

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 2 ]

Дана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, N — середина CS. а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.

б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN = 5.

Решите неравенство log4 (64x) + log4 x−3

≥ log4x4+16 .

log4x−3 log4(64x)

log2 x−9

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 1% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 44 млн рублей.

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.

а) Докажите, что CN : CM = LB : LA.

б) Найдите MN, если LB : LA = 2 : 3, а радиус малой окружности равен

23.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

a2 − 7a + 7 = 3∣x − 7a∣ − 6∣x∣

имеет хотя бы один корень.

Целое число S является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли S равняться 8? б) Может ли S равняться 1?

в) Найдите все значения, которые может принимать S.

Вариант 6.

Часть 1

Площадь параллелограмма ZSKF равна 432. Точка C — середина стороны ZF. Найдите площадь трапеции ZCKS.

На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.

Объем первого цилиндра равен 7 м3. У второго цилиндра высота в 5 раз больше, а радиус основания — в 5 раз больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 32 спортсмена, среди них 8 прыгунов из Австрии и 13 прыгунов из Армении. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым будет выступать прыгун из Австрии.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0.09. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите корень уравнения

Найдите значение выражения 28

= −7.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите корень уравнения f ′(x) = 0.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 132 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель.

R2 Ом их общее сопротивление даeтся формулой Rобщ =

R1R2 R1+R2

(Ом), а для нормального

функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 33 Ом.

Ответ выразите в омах.

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 315 литров она заполняет на 10 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 805 литров?

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Найдите точку максимума функции y = 2 ln(15x + 6)13 − 13x − 11.

Часть 2

а) Решите уравнение 3tg2x −

5 cos x

+ 5 = 0.

3π

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; − 2 ]

В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 13, SC = 3 17. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Найдите объём пирамиды SABC.

Решите неравенство log5 (25x) + log5 x−2

≥ 6−log5x4 .

log5x−2 log5(25x)

log2x−4

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 1% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 67 млн рублей.

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC = 90°. а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если

cos ∠BAC = 3 , а BC = 48.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

a2 − 10a + 5 = 4∣x − 5a∣ − 8∣x∣

имеет хотя бы один корень.

Целое число S является суммой не менее пяти последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли S равняться 9? б) Может ли S равняться 2?

в) Найдите все значения, которые может принимать S.

Вариант 7.

Часть 1

Площадь параллелограмма ZBDH равна 560. Точка M — середина стороны ZH. Найдите площадь трапеции ZMDB.

На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.

Объем первого цилиндра равен 3 м3. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания — в 1.5 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 35 спортсменов, среди них 14 прыгунов из Австрии и 9 прыгунов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать прыгун из Австрии.

Найдите корень уравнения

Найдите значение выражения 8

= 3.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите корень уравнения f ′(x) = 0.

R2 Ом их общее сопротивление даeтся формулой Rобщ =

R1R2 R1+R2

(Ом), а для нормального

функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 36 Ом.

Ответ выразите в омах.

Первая труба пропускает на 20 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 378 литров она заполняет на 28 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 406 литров?

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Найдите точку максимума функции y = 3 ln(4x − 1)3 − 3x − 20.

Часть 2

а) Решите уравнение 27 ⋅ 81sin x − 12 ⋅ 9sin x + 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 3π ; 3π]

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD = 5 и BC = 4. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M : MD1 = 1 : 4, точка K — середина DD1.

a) Доказать, что плоскость MCK параллельна стороне BD.

б) Найти тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания, если ∠BAD = 60°, a ∠CKM = 90°.

Решите неравенство 3x +

243 3x −84

≤ 0.

В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 106 272 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 180 072 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

В трапеции АBCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.

а) Докажите, что угол BАM равен углу CАD.

б) Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника АOB, если АB = 6, а BC = 4BM.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

f (x) = ax − a − 1 + ∣x2 − 4x + 3∣

меньше −2.

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. В первой школе он составил 54 балла. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, при этом средние баллы за тест увеличились на 12.5% в обеих школах.

a) Сколько учеников, писавших тест, могло быть в первой школе?

б) Какой максимальный балл мог быть у учащегося из первой школы?

в) Какой минимальный средний балл мог быть у учащихся во второй школе?

Вариант 8.

Часть 1

Площадь параллелограмма SZHD равна 404. Точка P — середина стороны SD. Найдите площадь трапеции SPHZ.

На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.

Объем первого цилиндра равен 29 м3. У второго цилиндра высота в 2 раза больше, а радиус основания — в 3 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Финляндии и 9 прыгунов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что предпоследним будет выступать прыгун из Канады.

Найдите корень уравнения

Найдите значение выражения 27

= 6.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите корень уравнения f ′(x) = 0.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 11 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель.

R2 Ом их общее сопротивление даeтся формулой Rобщ =

R1R2 R1+R2

(Ом), а для нормального

функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 10 Ом.

Ответ выразите в омах.

Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 480 литров она заполняет на 16 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 800 литров?

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Найдите точку максимума функции y = ln(3x − 3)13 − x + 16.

Часть 2

а) Решите уравнение 9 ⋅ 81cos x − 28 ⋅ 9cos x + 3 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 5π ; 4π]

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём

AM = SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC. б) Найдите объём пирамиды BCKM.

Решите неравенство 3x +

243 3x −36

≤ 0.

В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 85 683 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 136 383 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что OP = AP.

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если ∠ABC = 120°, а радиус описанной окружности равен 18.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

f (x) = ax − 2a − 1 + ∣x2 − x − 2∣

меньше −2.

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали не меньше двух учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов.

Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причем в школе №1 средний балл равнялся 18. Один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу

№2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе № 1 вырос на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?

в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся и после перехода одного учащегося в эту школу и пересчета баллов средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?

ОТВЕТЫ

Вариант 1.	Вариант 2.	Вариант 3.	Вариант 4.
1) 12	1) 282	1) 3	1) 24
2) 24	2) -59	2) 9	2) -30
3) 717.75	3) 816	3) 0.03	3) 20
4) 0.5	4) 0.35	4) 0.24	4) 0.5
5) 0.9975	5) 0.9676	5) 0.99	5) 0.9676
6) 176	6) -365.5	6) -145	6) -11
7) 0.4	7) 1	7) 0.1	7) 51
8) 1	8) 1	8) 2	8) -4
9) 180	9) 90	9) 154	9) 168
10) 10	10) 9	10) 3	10) 8
11) -10.6	11) -9.4	11) -12.4	11) -23.8
12) 1.5	12) -5	12) -0.45	12) 0.75
13) а)	13) а)	13) а)	13) а)

Вариант 5.

1) 396

2) -77

3) 955.5

4) 0.25

5) 0.9804

6) -13.2

7) 4.5

8) 5

9) 110

10) 4

11) 8.4

12) 2.2

а)

± 2π + 2πn; n ∈ Z ;

б) 10π

б) 6 39

(0; 1 ) ∪ {4} ∪

(64; +∞)

б) 115

{−7} ∪ [14 −

7 3; 14 + 7 3]

а) да; б) нет; в) любые целые значения, кроме −1 и 1

Вариант 6.

1) 324

2) 20

3) 875

4) 0.25

5) 0.9919

6) 350

7) 0.5

8) 3

9) 44

10) 7

11) 10.2

12) 1.6

а) 2πn; n ∈ Z; б)

−2π

б) 96

(0; 1 ) ∪ { 1 } ∪

25 5

(25; +∞)

б) 25

{−5} ∪ [15 −

10 2; 15 + 10 2]

а) да; б) нет; в) любые целые значения, кроме –2,−1,

1 и 2

Вариант 7.

1) 420

2) 73

3) 20.25

4) 0.4

5) 0.99

6) -11

7) 0.1

8) -5

9) 63

10) 9

11) 22.6

12) 3.25

а)

3π + 2πn; − π +

2 6

2πk; − 5π +

2πm; n, k, m ∈ Z

; б) 3π ; 11π

2 6

б) 14

(−∞; 1] ∪ [4; 1 +

log328)

б) 20

(−∞; − 1 ) ∪ (4; +∞)

а) 5; б) 240; в) 1

Вариант 8.

1) 303

2) -76

3) 522

4) 0.45

5) 0.9804

6) -52

7) 0.25

8) -1

9) 110

10) 10

11) -15.4

12) 14

а)

π + 2πn; ± π +

2πk; n, k ∈ Z

; б) 3π; 11π

б) 12 7 41

(−∞; 2] ∪ [3; 2 +

2log32)

б) 27

(−∞; −5) ∪ ( 1 ; +∞)

а) 6; б) 89; в) 19