12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917
Лицензия на образовательную деятельность №0001058
Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация
 
Педагогическое сообщество
УРОК.РФУРОК
 
Материал опубликовал
Силаева Марина Олеговна26

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 города Кимовска Тульской области















УЧЕБНО – ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«ФЛАТЛАНДИЯ И ТРЕХМЕРНЫЙ МИР»







Выполнила: Нистратова Анастасия (16 лет)

ученица 10 класса

Руководитель: Силаева Марина Олеговна

учитель математики









Кимовск

2017 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение с.3

1. Роман «Флатладния» Эдвина Эббота

1.1. Жизнь и творчество Эдвина Эббота с.4 1.2. Страна «Флатландия» с. 5

2. Разные миры в картинах Морица Эшера

2.1. Биография Морица Корнилиса Эшера с. 7 2.2. Мозаики с. 9 2.3. Многогранники с. 10 2.4. Логика пространства с. 11 2.5. Самовоспроизведение и информация с. 13 Заключение с. 14 Список использованной литературы с.15



























2

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. С 7 по 9 класс мы изучали свойства геометрических фигур на плоскости. В 10 классе мы приступили к изучению нового раздела геометрии – стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объёмный, пространственный и «метрео» - измерять. В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделённую от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера. Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении т.д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит практическое значение геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, искусстве, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

Рассуждая об измерении расстояний и размерах предметов, мы часто имеем в виду двумерное пространство. Оно называется так потому, что имеет два измерения – длину и ширину.

Возьмем в руки книгу. Кроме длины и ширины она имеет и третье измерение – толщину. Это свойство всех объемных предметов. Посмотрим вокруг: трехмерны все вещи, которые нас окружают, кроме длины и ширины они имеют ещё одно измерение – высоту и толщину. Говоря о двумерных, плоских вещах, мы всё-таки понимаем относительность такого определения.

Мы живём в трехмерном мире. Точнее говоря, в трехмерном пространстве. Как чувствуем мы три измерения своего пространства, свой трехмерный мир? Это непростой и очень важный вопрос. Попытаемся ответить на него. В этом нам поможет путешествие по Флатландии.

Тема данной работы: «Флатландия и трехмерный мир».

Цель работы: изучить двухмерный и трехмерный мир, пройти путь издалека «к самому себе» через Флатландию и трехмерный мир, а так же показать аудитории разные миры через жизнь и творчество голландского художника Морица Корнилиса Эшера. 3

Задачи работы:

    Изучить литературу по данной теме с целью сбора необходимой информации.

    Проследить, как Эшер в своих замечательных работах добивается объемности путем объединения правильных многогранников, искажения базовых фигур (правильные треугольники, квадраты и шестиугольники), использованием игр света и теней на выпуклых, вогнутых объектах, иногда прибегая к перспективе (это когда выделяются точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства).

Проблема, затронутая в данной работе, является на сегодняшний день актуальной для миллионов учеников 10-ых классов, которые плохо воспринимают стереометрию и помогут им перестроить воображение от планиметрии до стереометрии гравюры Морица Эшера и роман Эдвина Эббота.

    Страна «Флатландия» Эдвина Эббота

      Жизнь и творчество Эдвина Эббота

Флатландия – страна, расположенная в плоскости, в двумерном пространстве. Более ста лет назад её придумал для своих учеников английский ученый и писатель Эдвин Эббот (1838 - 1926). Он был учителем и директором школы в Лондоне.

4

Эдвин Э. Эбботт окончил Школу Лондонского Сити и Колледж Сент-Джон Кембриджского университета, получив высшие оценки по филологии, математике и богословию. В 1865 году, в возрасте 26 лет, Эбботт стал главой Лондонской Школы. В 1889 году он вышел в отставку и посвятил себя литературе и теологии. Либеральные склонности доктора Эбботта в богословии были видны как в его представлениях об образовании, так и в его книгах. Его «Грамматика Шекспира» (1870) стала значительным вкладом в английскую филологию. В 1885 году он издал книгу о жизни Фрэнсиса Бэкона. Его теологические письма включают три анонимно изданных религиозных романа — «Филохристус» (1878), «Онисим» (англ. Onesimus) (1882) и «Ситанус» (1906).

Наибольшее значение в наследии Эбботта имеют изданный также анонимно теологический трактат «Ядро и шелуха» (англ. The Kernel and the Husk; 1886), книга «Англиканская карьера Кардинала Ньюмана» (1892), а также статья «Псалмы» в девятом издании «Британской энциклопедии», вызвавшая большой резонанс среди британских богословов.

«Флатландия» пожалуй самый обсуждаемый и неоднозначный роман Эдвина Эббота. («Flatland: A Romance of Many Dimensions», 1884)

Флатландия – страна двух измерений, подобная книжной странице или классной доске. Её обитатели имеют вид геометрических фигур. Это Треугольник, Квадраты, Многоугольники со светящимися краями. Они обладают длиной и шириной, могут свободно перемещаться во всех направлениях вдоль поверхности, но не имеют толщины и лишены возможности даже мысленно представить себе, что такое «верх» и «низ», т.е. направления, перпендикулярные плоскости страницы. В этом мире не может существовать ничего, что у нас принято называть объемным.

Любой человек может попробовать себя в роли этого ученого и попытаться постичь разумом концепцию «новых» измерений с помощью романа Эдвина Эбботта «Флатландия».



1.2. Страна «Флатландия»


В недостижимо далеком краю, который называется Флатландией, жил себе поживал один ничем не выдающийся Квадрат.

5

Как его звали на самом деле никто не знает, но то что он был именно Квадратом, а не треугольником,пятиугольником или окружностью, известно с полной достоверностью.Жил он в пятиугольном доме со своей супругой и слугами, принимал гостей, иногда сын пятиугольник привозили к нему погостить внука шестиугольника — большого умницу. Жена его, как и все жены флатландских мужчин была довольно глупа, но, потому как других жен у них не водилось, Квадрат вполне был доволен и этой. Так и шла его жизнь по заранее расписанному на многие годы вперед сценарию, спокойно и равномерно, как и подобает течь жизни почтенного джентельмена. Но случилось однажды так, что приснился Квадрату сон, сон странный и удивительный, непонятно чем вызванный и неизвестно что предвещающий. Хотя с предвещанием Квадрат быстро разобрался, чему впоследствии был совершенно не рад, так как та удивительная и невероятная встреча, какую ему предстояло пережить раз и навсегда изменила всю его жизнь. И не сказать, чтоб эти изменения были такими уж положительными.

Вышедший в 1884-ом году роман Эбботта можно причислить к редчайшему жанру геометрической фантастики. На примере путешествий Квадрата во сне и наяву по мирам с различным количеством измерений, автор постарался максимально доступно объяснить читателю, как может измениться мировоззрение мыслящего существа в зависимости от того, сколько измерений имеется в пространстве, которое его окружает: «Все мы склонны к одним и тем же ошибкам, все в равной мере являемся рабами предрассудков своей размерности». Так же он приложил массу усилий, чтобы читатель смог сам представить себе обитателей этих странных мест, живущих по необычным законам и обычаям. Более всего внимания он уделил описанию порядков, царящих в двухмерной среде Флатландии, которая является родиной главного героя. Фактически вся первая половина романа является пространными разъяснениями нравов и обычаев флатландцев, которые позволяют, при известной живости ума, представить себе жизнь в мире, ограниченном лишь двумя измерениями. Но, наряду с описанием двухмерного быта, автор, посредством всё того же Квадрата, знакомит читателя с ещё более экзотическими местами: Лайнландией и Поинтландией, то есть одномерным пространством и точкой, не имеющей измерений вообще. Естественно, что мировоззрение обитателей этих миров кардинально отличается от флатландского. Но самым шокирующим опытом для Квадрата служит его встреча со Сферой — пришельцем из Трехмерии, который перемещает главного героя в привычное читателю трехмерное пространство, дабы тот, усвоив великую мудрость трехмерности смог в дальнейшем проповедовать её у себя дома. Такая возможность выпадает пришельцам всего лишь раз в тысячу лет, так что Квадрат должен быть черезвычайно горд тем, что именно он удостоился этой чести.

6

Выводы Квадрата о том, что следуя логике пришельца, можно попытаться отыскать четырех-, пяти- и даже шестимерные миры Сфера с негодованием отметает, выказывая тем такую же ограниченность разума, в которой она сама не так давно обвиняла Квадрата.

Как литературное произведение текст выглядит весьма слабым и единственным его художественным достоинством является то, что описание нравов и обычаев флатландцев является сатирой на викторианское общество, особенно высмеивающий его социальную иерархию. Хотя достается и женщинам: «Женщины... полностью лишены способности рассуждать, не обладают ни ясностью мышления, ни здравостью суждений, ни способностью обдумать заранее свои поступки, ни даже, наверное, памятью», «Женщин, поскольку они лишены рассудка, но с избытком наделены эмоциями, не следует причислять к мыслящим существам и давать им образование». Во Флатландии самыми низшим классом являются треугольники, чьи умственные способности зависят от величины угла при вершине равнобедренного треугольника (чем больше угол, тем умнее). Так вот, женщины здесь бывают только отрезками, то есть у них вообще нет никаких углов, что как бы намекает на величину женского интеллекта. Более художественных плюсов в тексте не наблюдается, что, вкупе с несколько мозголомными рассуждениями о природе разномерных миров, делает его весьма тяжелым для восприятия. Но это ничуть не умаляет его заслуг в качестве наглядной иллюстрации теории измерений.


2. Разные миры в картинах Морица Эшера

2.1. Биография Морица Корнилиса Эшера



Не заблудиться на дорогах, соединяющих разные миры, нам помогут замечательные гравюры голландского художника М.К. Эшера. Отражая современный стиль мышления, они соединяют в себе парадоксальность со строгими законами геометрии. Подобно «Флатландии», мир эшеровских гравюр неожиданным образом объединяет разные стороны жизни, смешное и серьезное, ум и сердце.

А теперь посмотрим внимательно на гравюру голландского художника М.К. Эшера «Круговращение» и «сбежим» вместе с карликом в двумерный мир.

Т 7

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования. 8

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами». Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.

.

2.2. Мозаики

Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» — это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик — регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) — а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения». Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:

В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически… Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др.

9

Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шести-направленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.





Регулярное разбиение плоскости птицами

Рептилии

Цикл


Эволюция 1

В гравюре «Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В «Эволюции 1″ можно проследить развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.



2.3. Многогранники



Правильные геометрические тела — многогранники — имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. 10

Они еще называются телами Платона. Это — тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Порядок и хаос

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции — это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Звезды

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра «Звезды», на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

2.4. Логика пространства 11

Куб с полосками

Под «логикой» пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.

Cверху и cнизу

Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства — игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии «Куб с полосками» выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.

Еще один из аспектов логики пространства — перспектива. На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства.  Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций.

Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине «Cверху и cнизу» художник разместил сразу пять точек исчезновения — по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.

12

2.5. Самовоспроизведение и информация

В заключение мы рассмотрим аспекты творчества Эшера, относящиеся к теории информации и искусственному интеллекту. Эта область творчества художника широко освещена во многих статьях и книгах. Наиболее полное исследование этого вопроса освещено в книге Дугласа Хофстадтера (Douglas R. Hofstadter) «Гёдель, Эшер, Бах: Бесконечная золотая нить» (Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid), выпущенной в 1980 году и награжденной пулитцеровской премией.

Рыбы и чешуйки

Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии «Рисующие руки» и «Рыбы и чешуйки» используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы.

Рисующие руки

В работе «Рыбы и чешуйки» концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием. В этом смысле данная работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека. Конечно, мы не состоим из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе информацию обо всем теле в виде ДНК.

Три сферы II

Углубляясь в изучение самовоспроизведения, можно его обнаружить в отражении и пересечении отражений реального мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. Мы рассмотрим лишь один пример — литографию «Три сферы»,на которой присутствуют три шаровидных тела, сделанных из разных материалов с различной отражающей способностью. 13

Эти сферы отражают друг друга и художника, и комнату, в которой он работает, и лист бумаги, на котором он рисует сферы. Хофстадтер в своей книге написал «… каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится к во всех других частицах мира…».



















































14



. Заключение



Мы рассмотрели лишь небольшую часть работ из сотен набросков и литографий и гравюр, оставшихся после смерти Эшера в 1972 году. Еще многое будет сказано и уже сказано о значении и важности его работ. С каждым годом появляется все больше и больше книг, где освещается творчество художника, анализируются различные аспекты его творчества. Надеемся, что мы заинтересовали вас творчеством Эшера.

Использование Эшером различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая его картины, можно обнаружить и другие, не упомянутые в данной работе, геометрические тела или визуальную интерпретацию математических законов.

А насчет «Флатландии» мы можем сказать, что она является лучшим введением в способ восприятия измерений, которое может быть найдено.

Книга весьма полезна для тех, кто пытается понять, что же представляют из себя другие измерения и каким может быть гиперпространство. Она действительно весьма доходчиво объясняет многие феномены двухмерной и трехмерной вселенной.

























15

Список использованной литературы





    Московский музей современного искусства, ул. Петровка 25

     Марчукова С.М. «Флатландия и трехмерный мир», 2006г.

    Эдвин Э. Эбботт «Флатландия», 1884 г.















































16

Опубликовано


Комментарии (0)

Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.