Золотое сечение вокруг нас

Министерство образования и науки РД

МКУ ИМЦ Кизлярского района

Научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

Симпозиум: Математика и информационные технологии

Секция: Прикладная математика

Золотое сечение вокруг нас

Алиева Диана Айдемировна

учитель математики

Краснооктябрьской СОШ

Кизлярский район, 2021г

Аннотация.

«Тот, кто придерживается золотой середины, избежит и нищеты лачуг, и зависти дворцов». Все живое и красивое подчиняется божественному закону, имя которому – «золотое сечение».

Автор данного проекта ставит цель подробно изучить проявления «золотого сечения» в живой природе. Проведена большая практическая и исследовательская работа по изучению «золотого сечения». В работе рассматривается, какую роль оно сыграло в различных сферах жизни общества, от Пифагора до наших дней. Математика, архитектура, живопись, анатомия, ботаника – в основе всего этого лежит удивительный закон «золотого сечения».

В результате работы установлено существование общей формулы красоты и гармонии, объединяющей понятия прекрасного самых различных объектов. Проведена большая работа по выявлению «золотого сечения» в живой природе, проделан анализ различных объектов живой природы, выведены общие закономерности.

В процессе работы над проектом проведены исследования среди обучающихся разных возрастов, с целью выявления «золотого сечения» в организации человека (измерение кистей рук и т.д.). Собран наглядный материал, являющийся проявлением «золотого сечения» в живой природе: комнатные растения.

Мы считаем тему, раскрытую в нашей работе, актуальной, поскольку красота и гармония стали важнейшими категориями познания, возможно и его целью, т.к. в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине. Зная правило «золотого сечения» художник, скульптор, строитель может обеспечить многообразие композиционных форм в своих работах, искусствовед - исследовать пропорциональную структуру любого художественного произведения.

Цель работы: Исследовать принцип «золотого сечения» в окружающем мире. 
Задачи: 
1. Исследовать применение принципа «золотого сечения» в архитектуре, живописи.
2. Исследовать принцип «золотого сечения» в живой природе:
а) в строении тела человека 
б) в растениях

3. Обобщить результаты исследования и применить их при изучении темы «Пропорция»
4.Использовать результаты исследования для формирования научного мировоззрения, основанного на принципах гармонии и золотого сечения.

Объект исследования: Церковь Георгия Победоносца, памятник первой учительнице в Кизляре, учащиеся, растения: золотой ус, традесканция, алоэ. 

Предмет исследования: отражение «золотого сечения» в окружающем мире

Содержание

Введение ……………………………………………………………………………………….5

Глава 1. История «Золотого сечения» ………………………………………………...…..8

1.1 История «Золотого сечения»…………………………………..............................8

1.2Что такое «Золотое сечение» или «Золотая пропорция» …………………….9

Глава 2. «Золотое сечение» вокруг нас ……………………………………………………10

2.1 Исследования в области архитектуры. …………………………………….…10

2.2 Исследования в области живописи……………………………………………..11

2.3 Исследования скульптур разных исторических эпох………………………..12

2.4 Фотография и «Золотое сечение»……………………………………………….13

Глава 3. Практическая часть……………………………………………………………..…15

3.1 Исследование «золотого сечения» в строении человеческого тела……………………………………………………………………………………….……..15

3.2 Исследование лицевой части головы……………………………….………….15

3.3 «Золотое сечение» в растениях………………………………………………….15

Заключение ……………………………………………………………………………………17

Список литературы……………………………………………………………………………18

Приложение…………………………………………………….………………………………19

Введение

«Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень».

Иоганн Кеплер

Изучая в школе математику, мы часто слышим, что без знания этой науки никак не обойтись в современной жизни. Взгляните на странички наших учебников!

Где они, эти пропорции, корни, пирамиды, синусы в окружающей нас действительности?

Где же они прячутся – эти числа и математические закономерности во всём, что нас привлекает? А что же нас привлекает в жизни? Всё красивое и гармоничное! Но тогда как же это связано между собой - красота, гармония и … математика?

Я обратилась к современному источнику информации – к Интернету. И обнаружила, что за высшее проявление совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе «отвечает» принцип «золотого сечения».

Есть вещи, которые нельзя объяснить, вот вы подходите к скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете – посередине? Или, может быть, с самого края? Приложение1

Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная …Садясь на скамейку вы произвели «золотое сечение». А что же это такое? Давайте разберемся!

Перед тем как начать работу по теме « Золотое сечение», я провела опрос среди учеников и преподавателей нашей школы. Нужно было ответить на вопрос «Знаете ли вы, что такое « золотая пропорция» или «золотое сечение»? Результаты опроса изображены на диаграмме. Приложение 2

Из 40 опрошенных учеников (8-9 классы), 15% слышали о золотом сечении на уроках математики в 6 классе, остальные не имеют представления, что это такое. 20% преподавателей знают что такое « Золотая пропорция» или « Золотое сечение». А ведь действительно, этот термин употребляется в самом обыкновенном учебнике математики за 6 класс!!!

Когда я стала знакомиться более подробно с дополнительной литературой по этому вопросу, то прочитала, что «Золотое сечение» присутствует всюду: в природе, в технике, в архитектуре, в живописи, в пропорциях человеческого тела и так далее.

Меня это  заинтересовало и очень захотелось проверить: так ли это в действительности.

Отсюда возникла тема моей исследовательской работы «Золотое сечение вокруг нас».

Целью исследования стал поиск закономерностей «золотого сечения» в различных областях: архитектуре, живописи, скульптуре и в моем окружении.

В ходе исследования сформировались задачи:

1. Изучить научно-популярную литературу по данной теме;

2. Исследовать известные картины, скульптуры и архитектурные сооружения;

3. Выявить и изучить проявления «золотого сечения» и ее производных в моем окружении и привести свои примеры исследований.

Актуальность исследования «золотого сечения» или «золотой пропорции» как универсальной мировой константы я вижу в том, чтобы убедиться в достоверности высказывания Иоганна Кеплера о «двух сокровищах» и развить это представление дальше, за пределы геометрии. Если «золотая пропорция» универсальная мировая константа, то она встречается в окружающем нас мире.

Гипотеза:  Золотое сечение является отображением окружающегося мира.

Данная работа представляет собой теоретическое и практическое исследования, где в качестве объекта рассматривается всестороннее применение «золотого сечения», и доказывается его универсальность. Теоретическая значимость работы заключается в том, что в процессе работы была изучена научно-популярная литература по данной теме, выяснено, что во многих гениальных творениях можно найти элементы золотого сечения. Практическая значимость работы заключается в применении «золотой пропорции» на уроках математики, биологии, физики, искусства.

Не только я увидела большое применение «золотого сечения», но им уже давно пользуются известные архитекторы, писатели, художники, фотографы и многие другие. Недаром учрежденная премия "Золотое сечение" - самая престижная премия в области архитектуры и строительства.

Своей исследовательской работой я хочу заинтересовать, как можно больше учащихся различными исследованиями. Как же интересно находить в окружающем нас мире красоту и гармонию, подчиняющуюся различным законам и закономерностям, о которых мы даже и не подозреваем.

Методы исследования обеспечиваются обоснованностью исходных теоретических и практических данных с опорой на результаты наблюдения, измерения и доказательства практических экспериментов, проведенных мною

Глава1 История Золотого Сечения

1.1 История Золотого Сечения.

Золотое Сечение. Единственное и неповторимое. Идеал Гармонии в Природе и Искусстве. Сколько о нем написано. И сколько еще напишут. Его история теряется в глубине тысячелетий. Его проявления мы видим во всем, что нас окружает. Его история уже стала почти классической.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор. В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в “Началах” Евклида. Во 2-й книге “Начал” дается геометрическое построение золотого деления.

После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в.н.э.) и др.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению у Леонардо да Винчи, он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. Леонардо да Винчи производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Золотое Сечение известно со времен Древнего Египта, как канон Красоты и Гармонии. Эти знания бережно передавались в веках, и они дошли до наших дней. Теперь мы несем эти знания следующим поколения. Несем, но что-то смущает в этой истории о «золотом сечении». А смущает почти полное отсутствие упоминаний о «золотом сечении» там, где, казалось бы, с него всё должно начинаться и им заканчиваться. В учебниках по эстетике, искусствоведению, а также архитектуре, в пособиях по рисованию, скульптуре, живописи, да и в теории музыки. Прошедший века Идеал Красоты и Гармонии, оказывается, или неизвестен, или не нужен тем, кто эту красоту и гармонию создает.

1.2 Что такое «Золотое сечение» или «Золотая пропорция» 1

Как известно, «золотая» пропорция создаёт зрительное ощущение гармонии и равновесия. Но помимо эстетических воздействий она обладает ещё интересными математическими свойствами. Существует бесконечное множество разбиений отрезка на две части. И лишь единственный способ разбиения такой, что отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к его меньшей части, т.е. с : b = b : а Приложение 3

Геометрическое изображение золотой пропорции. Это отношение и называют «золотым сечением», или «золотой» пропорцией. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Коэффициент «золотого сечения» обозначается буквой Ф=1,618034… Ф - прописная форма греческой буквы "фи". Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.), в творениях которого «золотая пропорция» встречается многократно. Зная правило «Золотого сечения» художник, скульптор, строитель может обеспечить многообразие композиционных форм в своих работах, искусствовед – исследовать пропорциональную структуру любого художественного произведения.

1Васютинский Н.А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990.

Глава 2. «Золотое сечение» вокруг нас

2.1 Исследования в области архитектуры.2

Выяснив коэффициент «золотого сечения» начинаем наше исследование. Итак, первое наше исследование начнем в архитектуре. Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону.

Как указывает исследователь Г. И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка за Парфеноном относятся как отрезки золотого сечения. Размеры Парфенона хорошо изучены. Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089 см), а размер высоты несколько варьирует у различных авторов. Так, по данным Н. Бруно, высота Парфенона 61,8 , высота трех ступеней основания и колонны – 38,2 , высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции:

100: 61,8 = 61,8: 38,2 = 38,2 :23,6 1,6 = Ф. КВ: АВ = АВ: ВС = СВ: АС = Ф.

Приложение 4

Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию.

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари) Приложение 5

В качестве примера «золотого сечения» в России можно полюбоваться фасадом знаменитого Большого театра в Москве и архитектурным шедевром Москвы – домом Пашкова (1786 г.), который является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры Василия Ивановича Баженова. Храм Василия Блаженного. Приложение 6

В этом членении с помощью «золотой пропорции» и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.

Мною в качестве исследования, для расчетов «золотого сечения», была выбрана церковь

_______________________________________________________________________ 2Шевелѐв И.Ш. Принцип пропорции в архитектуре. — М.: Стройиздат, 1986.

Георгия Победоносца в Кизляре. В данном сооружении так же было найдено значение «золотого сечения». Приложение 7

ВС: АВ=ВС:ЕС

1000:600=1,66

1000: 641=1,56≈1,6

2.2 Исследования в области живописи3.

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Сам термин “золотое сечение” в живопись ввел Леонардо да Винчи. Приложение 8

Он говорил о пропорции человеческого тела: “Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней”. Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом.

Изучая работы Леонардо да Винчи, я решила самостоятельно рассмотреть и вычислить «золотое сечение» на примере великой картины Леонардо, портрете Моны Лизы (так называемой “Джоконды”, около 1503, Лувр) образ богатой горожанки. Внутреннюю значительность композиции придает космически-величавый и в то же время тревожно-отчужденный пейзаж, тающий в холодной дымке. Удивительная изменчивость лица молодой женщины. В нём проступает то холодная ирония, то кокетливое лукавство, то печаль, то душевная ясность, то серьезная сосредоточенность, то доверчивая открытость. Приложение 9

Измерения и наблюдения показали, что в самой православной картине во всей истории живописи, написанной почти пять столетий назад, тоже соблюдено «золотое сечение».

______________________________________________________________________________

3Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи – К: Высшая школа, 1989 32 с.

2.3. Исследования скульптур разных исторических эпох4.

Тесно переплетается при исследованиях живопись и скульптура. Скульптурные сооружения и памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей их подвиги и деяния. Отношение частей человеческого тела также связывалось с формулой “золотого сечения”.

Пропорции “золотого сечения” создают впечатления гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы также утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения” Приложение 10

Я решила проверить присутствие «золотого сечения» в скульптурах более позднего периода: «Мыслитель» Родена. И по фотографии скульптуры. Разделила скульптуру на части и произвела необходимые измерения и вычисления: Приложение 11

Я разделила скульптуру на три отрезка: АВ=1,9; ВС=3; СД=4,7 и проверила равенство различных отношений на выполнение золотого сечения, где АВ – расстояние от подбородка до макушки, ВС – расстояние от подбородка до согнутого колена, ДC – расстояние от колена до носков.

4,7:3= 1,56≈1,6

3:1,9= 1,57≈1,6

Затем я решила исследовать памятник первой учительнице в г. Кизляре, результаты меня удивили: высота- 465см, 465:280=1.66 Приложение 12

Продолжив поиски золотого сечения в памятниках города Кизляра, я получила следующие значения:

- памятник вождю мирового пролетариата, Владимиру Ильичу Ленину; Приложение 13

180:110=1,63≈1,6

______________________________________________________________________________4Коробко В.И., Примак Г.Н. Человек и золотая пропорция. - Ставрополь, Кавказская библиотека, 1991. 174 c.

- памятник Алекса́ндру Серге́евичу Пу́шкину; Приложение 14

103:64=1,60≈1.6

- памятник Василию Яковлевичу Левашову; Приложение 15

100:67=1,61≈1,6

-памятник Гамзатову Расулу Гамзатовичу; Приложение 16

160:103=1,55≈1,6

Полученные мною результаты, говорят о том, что в исследовании скульптур города Кизляра также можно наблюдать золотое сечение.

2.4. Фотография и «Золотое сечение»

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Приложение 17

Данное открытие у художников того времени также получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Задаем вопрос: «Почему надо помещать объект в линию или точку золотого сечения?» Из психологии восприятия известно, что элемент сцены (камень, цветок, освещённое солнцем пятно на склоне горы), помещённые в точки золотого сечения, привлекают на себя внимание зрителя. Этим, безусловно, надо пользоваться для подчёркивания интересных, несущих смысловую нагрузку элементов сцены, или, наоборот, не помещать туда бессмысленные, несоответствующие художественному замыслу элементы.

Меня заинтересовала эта закономерность и я решила исследовать свою фотографию. Результаты меня удивили Приложение 18

Исследуя свою фотографию, приходим к выводу, что и здесь сработало правило золотого сечения - основа гармоничной и легко воспринимаемой композиции. Формально, правило золотого сечения заключается в расположении линий и объектов не посередине кадра, а немного сбоку - так, чтобы соотношение расстояний от, например, линии до ближней и до дальней границ кадра равнялось соотношению расстояния от линии до дальней границы к размеру всего кадра.

Глава 3. Практическая часть

3.1 Исследование «золотого сечения» в строении человеческого тела.

Изучив теорию о «золотом сечении», я решила проверить, как проявляются закономерности «золотого сечения» в пропорциях тела современного человека, т.е. на учениках разных возрастов. Для этого я выделила 4 человека - 2 мальчика и 2 девочки. Мы выполнили измерения длины тела до талии и ниже талии, вычислили отношения этих длин. Приложение 19

Результаты отношений по каждой возрастной группе я отразила в таблице 1. Приложение 20

В данной таблице хорошо просматривается то, что наиболее близки к золотому сечению пропорции мальчиков.

3.2 Исследование лицевой части головы.

Приложение 21

Исследование лица:

1. Абдулаева Р. (11лет)

3,8 : 2,4 =1,58≈1,6  6,2 : 3,8 =1,63≈1,6

20 : 13 =1,53  13 : 7 =1,85

2. Арабиев И.(16 лет) 4 : 2,5 =1,6  6,5 : 4 =1,63≈1,6

22 : 13,6 =1,62≈1,6  13,6 : 8,4 =1,62≈1,6

3 . Раджабова П. (36лет) 

4,3 : 2,7 =1,6  7 : 4,3 =1,62≈1,6

22,5 : 14 =1,61≈1,6  14 : 8,5 =1,65≈1,7

3.3. Исследование кисти руки.

Приложение 22

После всех вычислений я пришла к выводу, что «золотое сечение» присутствует в частях человеческого тела. Но чем старше человек, тем пропорция более приближена к «золотому сечению», т.к. дети растут, организм их формируется, поэтому размеры тела изменяются. 

3.4 «Золотое сечение» в растениях

В биологических исследованиях 1970-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений, и кончая организмом человека, всюду выявляется «золотая пропорция», характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. «Золотое сечение» признано универсальным законом всех живых систем. Приложение 23

Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений: золотой ус, традесканция и алоэ, я выяснила, что между каждыми двумя из листьев третий расположен в определенном месте. 

2,5+1.5=4 4:2.5=1.6   8:5=1,6
2.5:1,5=1,67  5:3=1,67

Расчеты показали, что средний лист, располагается в месте «золотого сечения». 

Заключение

В результате исследовательской работы я познакомилась с историей золотого сечения, применением золотого сечения в архитектуре, живописи, искусстве. В данной работе были рассмотрены и исследованы свойства «золотого сечения» в живой и неживой природе.

С давних пор так повелось: все самое лучшее, ценное и желанное люди называли золотым. В трудах Пифагора, Платона, Аристотеля, Евклида часто упоминается о загадочном «Золотом сечении». Именно оно управляет всей нашей жизнью. Тайный смысл этого термина скрыт в глубинах философии, математики, физики, музыки, поэзии. Известно лишь, что он трактуется как гармония — стройное сочетание, взаимное соответствие предметов, явлений и частей, соединяющих их в единое целое. Законам «Золотого сечения», то есть абсолютной гармонии, подчиняются не только плоды человеческой деятельности, но и сам человек — его внутренние органы и системы, его душа, его мысли. С рождения человеку предписано находиться в гармонии с собой и с внешним миром.

Анализируя все вышеизложенное можно еще раз подивиться грандиозности процесса познания мира, открытием все новых его закономерностей и сделать вывод: принцип «золотого сечения» – высшее проявление совершенства единого целого и его частей в искусстве, науке и природе. 

Проведенные исследования привели нас к выводу, что выдвинутая мной гипотеза о том, что человек постоянно сталкивается с предметами, содержащими в основе «золотое сечение» верна. В дальнейшем я продолжу исследование применения «золотого сечения» в музыке и литературе, в живой и неживой природе.

В конце своей работы хочу сказать, что окружающий нас мир - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".

Список литературы

1. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990.

2. Волошинов А.В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 2000.

3. Коробко В.И., Примак Г.Н. Человек и золотая пропорция. - Ставрополь, Кавказская библиотека, 1991. 174 c.

4. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи – К: Высшая школа, 1989, 32 с.

5. Шевелѐв И.Ш. Принцип пропорции в архитектуре. — М.: Стройиздат, 1986.

6. Вергазова О.Б. Золотая пропорция: от древнерусских саженей до современного дизайна // Математика в школе. М.: «Школа-Пресс», – 2007. – №8. – 96 с.

7. Различные интернет сайты (http://www.goldenmuseum.com/index_rus.html, http://www.photoline.ru/tcomp1.htm., http://arbuz.narod.ru/y_zol.htm, http://nt.ru/tp/iz/zs.htm, http://www.pskovedu.ru/?project_id=1928&pagenum=3157)

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Приложение 10

Приложение 11

Приложение 12

Приложение 13

Приложение 14

Приложение 15

Приложение 16

Приложение 17

Приложение 18

Приложение 19

Приложение 20

Таб.1

Приложение 21

Приложение 22

Приложение 23