Буклет "Применение производной к исследованию функции"
Автор публикации: М. Дубицкая, ученица 11А класса
Возрастание и убывание функции
Условие возрастания функции
Если f ´(x) > 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
Условие убывания функции
Если f ´(x) < 0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.
Теорема 1.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка c Є (a;b) такая, что f (b) – f(a) = f ´(c)(b-a).
Теорема 2.
Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f ´(x) > 0 для всех x Є (a;b), то функция возрастает на интервале (a;b).
4) f′(x) существует во всех точках области определении.
5) Координатная прямая:
6) Определить знак производной f′(x) на каждом промежутке:
f ´(x)> 0, при (- ∞;2) и (3; +∞)
Получаем:
Функция возрастает, при (−∞,2) (3,+∞), функция убывает, при (2,3).
Точка x=2 - точка максимума, точка x=3 - точка минимума.
Тема:
«Применение производной к исследованию функций»
Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх всего того, и умение.
А.Н. Крылов
Выполнила:
Дубицкая Милена,
Учащаяся 11-А класса
МОУ «Школа №80 г. Донецка»
Учитель:
Лапко Ирина Валентиновна
Экстремумы функции
Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x₀).
Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x₀).
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Теорема. Если x₀ - точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f ´(x₀)=0.
Теорема. Пусть функция дифференцируема на интервале (a;b), x₀ Є (a;b), f ´(x₀)=0. Тогда:
1) если при переходе через стационарную точку x₀ функции f(x) её производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f ´(x)> 0 слева от точки x₀ и f ´(x)< 0 справа от точки x₀ , то x₀ - точка максимума функции f(x).
2) если при переходе через стационарную точку x₀ функции f(x) её производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то x₀ - точка минимума функции f(x).
Наибольшее и наименьшее значение функции
Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет несколько критических точек на этом отрезке.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке нужно:
1) Найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа.
2) Найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу.
3) Из всех найденных значений выбрать наибольше и наименьшее.
Если значения функции f(x) неотрицательны на некотором промежутке ,то эта функция и функция (f(x))ᴺ, где N - натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.
Применение производной к построению графиков функций
При исследовании свойств функции нужно найти:
1) область определения;
2) производную;
3)стационарные точки;
4) промежутки возрастания и убывания;
5) точки экстремума и значения функции в этих точках.
Для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график при x>0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).
Пример:
Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: f(x)=2x³−15x²+36x+1
1) Область определения - все действительные числа;
2) f′(x)=6x²−30x+36;
3) 6x²−30x+36=0
x²−5x+6=0
x=3, x=2