Действия с многочленами и геометрия

МОУ «СОШ №18 имени Андрея Андреевича Мыльникова»

Муниципальная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науке» для обучающихся 5-11 классов общеобразовательных учреждений

Энгельсского муниципального района

Математика вокруг нас

Проектная работа

Тема: Действия с многочленами и геометрия

Автор работы:

Чернова Диана,

Таранова Анна,

7 класс.

Руководитель:

Пастухова Наталья Алексеевна,

Учитель математики.

Энгельс, 2025

Содержание:

Введение ………………………………………………………. 3

Часть 1. Основные операции с многочленами ………………… 4

Часть 2. Применение многочленов при решения геометрических

задач ……………………………………………………………… 5

Часть 3. Геометрические приемы для вывода правил

действия с многочленами ………………………………………… 7

Заключение ………………………………………………………. 9

Список литературы ………………………………………………. 10

Приложение ……………………………………………………….. 11

Введение.

«Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия,

а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах».

София Жермен

В 5- 6 классах, изучая математику, мы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами, решали задачи на вычисление длин сторон треугольника, прямоугольника, на вычисление периметра и площади прямоугольника по формулам. Некоторые из этих задач нам приходилось решать не только арифметически, но и с помощью уравнений.

В 7 классе мы узнали, что математика делится на такие одни из важнейших разделов, как алгебра и геометрия. Геометрия возникла из практических нужд человека, связанных с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве различных сооружений. В результате этой деятельности появились различные правила, и в дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением свойств геометрических фигур. Алгебра тоже возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приемов решения разнообразных задач. Связь между алгеброй и геометрией неразрывна.

Но при изучении многочленов мы задались вопросом: это алгебраическое понятие связано с геометрией или нет. Мы задали два вопроса одноклассникам: используются ли многочлены и их действия при решении геометрических задач, и наоборот, можно ли использовать геометрию при изучении действий с многочленами.

Мы предположили, что действия с многочленами могут быть связаны с геометрическими понятиями, такими как площадь, объем и применяются при решении геометрических задач. А также геометрический аппарат может использоваться при работе с многочленами.

Цель проекта

Исследовать связь между многочленами и их действиями и геометрическими фигурами.

Задачи проекта.

1. Повторить основные операции с многочленами: сложение, вычитание, умножение, формулы сокращенного умножения.

2. Показать применение многочленов при решения геометрических задач.

3. Исследовать геометрические приемы для вывода правил действия с многочленами.

Часть 1. Основные операции с многочленами.

1. Сложение и вычитание многочленов

Пример 1: Составьте сумму и разность многочленов P(x) = 2x² + 3x + 5 и Q(x) = x² - 4x + 1 и преобразуйте их в многочлен стандартного вида.

Сумма многочленов: P(x) + Q(x) = 2x² + 3x + 5 + x² - 4x + 1 = (2x² + x²) + (3x - - 4x) + (5 + 1) = 3x² - x + 6 .

Разность многочленов: P(x) - Q(x) = (2x² + 3x + 5) – (x² - 4x + 1) = (2x² - x²) + + (3x + 4x) + (5 - 1) = x² + 7x + 4.

Пример 2: Умножение многочленов:

P(x) · Q(x) = (2x² + 3x + 5)(x² - 4x + 1) = 2х4 - 8х3 + 2х2 + 3х3 – 12х2 + 3х + 5х2 – 20х + 5 = 2х4 - 5х3 - 5х2 – 17х + 5.

Пример 3. Формулы сокращенного умножения.

Квадрат суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab +b2.

Квадрат разности: (a - b)2 = a2 - 2ab +b2.

Разность квадратов: a2 - b2 = (a - b) (a + b).

Сумма кубов: a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab +b2).

Разность кубов: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab +b2).

Часть 2. Применение многочленов при решения геометрических задач.

Задача 1. (Сложение многочленов).

В треугольнике АВС сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите стороны треугольника, если периметр треугольника АВС равен 90 см2.

Решение:

Пусть сторона АВ равна х см, тогда сторона АС равна 2х см, а сторона ВС равна (2х – 10) см. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Составим уравнение, зная, что периметр треугольника равен 90 см2.

х+ 2х + 2х – 10 = 90

5х = 90 + 10

5х = 100

х = 20.

20 см – сторона АВ,

2 · 20 = 40 (см) – АС, 40 – 10 = 30 (см) – ВС.

Ответ: 20 см, 40 см, 30 см.

Задача 2. (Умножение многочленов).

Длина прямоугольника на 6 см больше его ширины. Если длину уменьшить на 2 см, а ширину уменьшить на 10 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 184 см2. Найдите исходную длину и ширину прямоугольника.

Решение:

Пусть ширина равна х см, тогда длина равна (х + 6) см.
Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно умножить ширину на длину, получится х · (х + 6) см2.
Длину уменьшаем на 2 см, тогда она станет равна (х + 4)см.
Ширину уменьшаем на 10 см, тогда она станет равна (х – 10)см, а площадь - (х + 4) · (х - 10). Составим уравнение, зная, что площадь уменьшится на 184см2.
х · (х + 6) - (х + 4) · (х - 10) = 184
х2 + 6x – x2+ 10x - 4x + 40 = 184
12x = 144
x = 12, это ширина
12 + 6 = 18 (см), это длина
Ответ: 12 см – ширина, 18 см – длина.

Задача 3. (Квадрат суммы).

Если сторону квадрата увеличить на 4см, то его площадь увеличится на 32см2. Найдите сторону исходного квадрата.

Решение:

Пусть х см — длина стороны квадрата. Тогда х2 (см2) — его площадь.

(х + 4) см — длина стороны квадрата после ее увеличения на 4 см.

(х + 4)2 см2 — площадь квадрата с увеличенной стороной.

Составим уравнение, зная, что площадь квадрата увеличится на 32 см2.

(х + 4)2– x2= 32.

х2+ 8x + 16 – x2= 32;

8х + 16 = 32;

8х = 32 - 16;

8х = 16;

х = 16 : 8;

х = 2.

Ответ: 2 см.

Задача 4. (Разность квадратов).

Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 3 см больше другой его стороны. На сколько см2 площадь квадрата больше площади прямоугольника?

Решение:

Пусть х см — длина стороны квадрата. Тогда х2 (см2) — его площадь. Тогда стороны прямоугольника равны (х +3) см и (х – 3) см, а площадь равна (х +3)(х – 3) см2. Составим разность площади квадрата и площади прямоугольника:

х2 - (х +3)(х – 3) = х2 – (х2 – 9) = х2 - х2 + 9 = 9.

Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника на 9см2.

Часть 3. Геометрические приемы для вывода правил действия с многочленами.

В древности справедливость некоторых равенств при положительных значениях переменных математики доказывали геометрически. Так древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) доказывал справедливость некоторых равенств, используя понятие площади прямоугольника и квадрата.

Пример 1.

Равенство a(b + c) = ab + ac, выражающее правило умножения одночлена на многочлен (распределительное свойство умножения относительно сложения), можно доказать через равенство площади прямоугольника со сторонами a и (b + c) сумме площадей прямоугольников со сторонами a и b, a и c.

Пример 2.

Равенство (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd , выражающее правило умножения многочленов, можно доказать через равенство площади прямоугольника со сторонами (a + b) и (c + d) сумме площадей четырех прямоугольников со сторонами: a и c; b и c; a и d; b и d.

Пример 3.

Равенство (a + b)2 = a2 + 2ab +b2, выражающее формулу квадрата суммы, можно доказать через равенство площади квадрата со стороной (a + b) сумме площадей квадратов со сторонами a и b и площадей двух прямоугольников со сторонами a и b.

Пример 4.

Равенство (a - b)2 = a2 - 2ab +b2, выражающее формулу квадрата разности, можно доказать через равенство площади квадрата со стороной (a - b) сумме площадей квадрата со стороной b площадей двух равных прямоугольников со сторонами (a - b) и b.

Пример 5.

Равенство a2 - b2 = (a - b) (a + b), выражающее формулу разности квадратов, можно доказать через равенство площади прямоугольника со сторонами (a - b)и (a + b),( составленного из белого прямоугольника и красного), и площади фигуры, ( составленной из этого же белого и равного красного прямоугольника), равной разности площадей квадратов со сторонами a и b.

При изучении темы «Многочлены» мы на платформе Учи. ру решали обучающие карточки на умножение многочлена на многочлен и применение формул сокращенного умножения геометрически. Примеры этих заданий в Приложении.

Заключение.

Многочлены играют важную роль в математике, особенно в алгебре и геометрии. Действия с многочленами являются мощным инструментом для решения различных геометрических задач. Понимание этих действий и их применения помогает не только в алгебре, но и в более широких областях математики, таких как геометрия. Наш проект показал связь между алгебраическими выражениями и геометрическими понятиями, что делает изучение математики более интересным и практичным.

Мы сделали вывод, что применение геометрического метода дает наглядность и красоту. И в дальнейшем при изучении алгебры и геометрии мы думаем, что встретимся с заданиями, которые можно решать как алгебраическим методом, так и геометрическим.

Список литературы:

Генкин Г.З. Геометрические решения алгебраических задач», ж. «Математика в школе», №7 – 2001;

Куликова Л.В., Литвинова С.А. За страницами учебника, М. – Глобус, 2008,

Алгебра, 7, учебник под редакцией С.А. Теляковского, М. – Просвещение, 2023;

Геометрия, 7-9, учебник, Л.С. Атанасян, М.– Просвещение, 2024;

https://uchi.ru

Приложение .

Пример 1. Применение формулы квадрата суммы.

Пример 2. Применение формулы разности квадратов.

Пример 3. Применение формулы квадрата разности

Пример 4. Применение правила умножения многочлена на многочлен.

Задача 5 (разность квадратов)

Если одну сторону квадрата увеличить на 3 см, а другую сторону уменьшить на 3см. Как изменится площадь квадрата?

Решение:

Пусть х см — длина стороны квадрата. Тогда x2 (см2) — его площадь. После увеличения одной стороны квадрата на 3 см, она станет равна (х +3) см, а другая после уменьшения на 3 см, станет равна (х – 3) см, а площадь полученного прямоугольника станет равна (х +3)(х – 3) см2. Составим разность площади квадрата и площади прямоугольника:

x2 - (х +3)(х – 3) = x2– (x2 – 9) = x2 - x2+ 9 = 9.

Ответ: площадь квадрата уменьшится на 9 см2.

Геометрический способ решения.

Площадь квадрата со стороной х см при уменьшении одной

стороны на 3см, станет равна площади синего прямоугольника,

при увеличении другой стороны на3см к площади синего

прямоугольника добавится площадь желтого прямоугольника.

Площадь квадрата уменьшится на площадь красного квадрата со

с тороной 3см.

Результаты анкетирования (приняли участие 20 человек).

Используются ли многочлены и их действия при решении геометрических задач? – да – 15 чел., 75%.

Можно ли использовать геометрию при изучении действий с многочленами? -да -12 чел., 60%.