#Исследовательская работа «Десять способов решения квадратных уравнений»

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

МБОУ «Гимназия №14»

Секция математика

Десять способов решения квадратных уравнений

Выполнила:

ученица 8 «М» класса

Нагаева Варвара

Руководитель:

Курикалова И. В.

 

Улан-Удэ

2012

Содержание работы:

Введение

Основная часть

2.1. Определение квадратного уравнения и его виды

2.2. Из истории квадратных уравнений

2.3. Различные способы решения квадратных уравнений:

2.3.1. Разложение левой части уравнения на множители

2.3. 2 .Метод выделения полного квадрата

2.3. 3. Решение квадратных уравнений по формуле

2.3.4 Решение уравнений с использованием теоремы Виета

2.3 5. Решение уравнений способом переброски

2.3.6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения

2.3.7. Графическое решение квадратного уравнения

2.3.8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

2.3. 9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

2.3.10. Геометрический способ решения квадратных уравнений

3. Заключение.

 

4 . Список литературы.

1.Введение

Тема «Квадратные уравнения» очень увлекательна и интересна. Знание – сила, а поэтому умение решать данные уравнения различными способами пригодится как для общего развития, так и для применения своих умений на практике, к примеру, на экзамене.

Главный плюс, по моему мнению – свобода выбора, право решать тем способом, какой кажется легче и понятнее, а значит и лучшие успехи и в учебе и в понимании материала. Тему «Решение квадратных уравнений различными способами» нужно включить в школьную программу, хотя бы для классов с углубленным изучением математики, для того чтобы дать возможность ученикам выбирать, а не заучивать непонятные и заумные на первый взгляд громоздкие формулы.

Дисциплины математики, изучаемые в школе, различны, и выбор школьников зачастую склоняется в ту или иную сторону. Лично мне больше нравится алгебра, и к формулам я отношусь намного лучше, чем к теоремам, а значит и решать мне удобнее «с дискриминантом» или графически, нежели с помощью циркуля и линейки, просто повезло, что именно эти способы входят в состав изучаемых в школе.

Из найденного материала о квадратных уравнениях я узнала много интересного и важного, расширила свои знания в этой области и научилась применять их.

Цель: 1. Изучить разные способы решения квадратного уравнения.

2. Рассмотреть практическую значимость темы.

Задачи: 1. Познакомиться с разными способами решения квадратных уравнений.

2. Проанализировать возможность использования этих способов в разных стандартных и нестандартных ситуациях.

3. Проанализировать использование разных способов решения квадратных уравнений моими одноклассниками.

4. Познакомиться с историей появления квадратных уравнений.

 

Методы: анализ и синтез.

 

Мы провели опрос старшеклассников:

Надо ли уметь решать квадратное уравнение?

Часто ли ты решаешь квадратное уравнение?

Используешь ли ты при решении уравнений свойства коэффициентов?

Результаты опроса выглядят так:

Мы провели анализ диагностических тестов ГИА.

В среднем 23% всех заданий требуют умения решать квадратные уравнения.

Поэтому меня и заинтересовала эта тема.

2.1. Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение 1:

Квадратным называют уравнение вида

a + bx + c = 0,

где х- переменная, а, b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Определение 2:

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1.

Полное квадратное уравнение – это уравнение a+ bx + c = 0, у которого коэффициенты b и c отличны от 0.

Определение 3:

Если в квадратном уравнении а + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

 Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) а + с = 0, где с ≠ 0;

2) а+ bх = 0, где b ≠ 0;

3) а = 0.

Определение 4:

Корнем квадратного уравнения a + bx + c = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен a + bx + c обращается в 0.

Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

2.2. Из истории квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах2 + bх = с, а > 0

В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х2 + х = , х2 – х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

х2 + bх = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид

2.3. Различные способы решения квадратных уравнений.

1) Разложение левой части уравнения на множители.

Примеры.

1. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х – 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.

2) Метод выделения полного квадрата

Поясним этот метод на примере.

Пример

Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х – 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х = 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = - 4 , х2 = – 7.

3) Решение квадратных уравнений по формуле

Вывод формулы:

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0,

на 4а и следовательно имеем:

4а2х2 + 4аbс + 4ас = 0.

((2ах)2 + 2ах · b + b2) – b2 + 4ас = 0,

(2ах + b)2 = b2 – 4ас,

2ах + b = ±

2ах = – b ±

Х1,2 =

Примеры

Решим уравнения:

а) 4х2+ 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >два разных корня;

= , = ; = , х1 = , х = , х2 = –1

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

т. е. при b2 – 4ас≥0 уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х2 – 4х + 1 = 0,

а =4, b= - 4, с = 1. D = b2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D = 0, один корень;

х=

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b2 – 4ас= 0, то уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х2 +3х + 4 = 0, а =2, b= 3, с = 4, D = b2 – 4ас= 9 – 4∙2∙4 =9 – 32 = - 13,

D < 0. Уравнение не имеет корней.

Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b2 – 4ас< 0, то уравнение

ах2+ bх + с = 0 не имеет корней.

4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета

(прямой и обратной)

а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + q = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и qможно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член qприведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.

Например,

х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3 <0;

х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

б) Если свободный член qприведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Например,

х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4 > 0;

х2 – 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.

 

б) Теорема Виета для квадратного уравнения

ах2 +вх +с = 0

имеет вид

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

 

Если числа х1 и х2 таковы, что х1+х2 = -р, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения

х2 +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

 

Примеры

1. Решить уравнение

х2 – 9х + 14 =0

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что

 

х1 +х2 = 9

х1х2 = 14

 

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

2. Решить уравнение

х2 +3х – 28 = 0

 

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что

 

х1 + х2 = - 3

х1х2 = - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

5)Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2 х2 + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = и х1 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Примеры

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11y +30 = 0.

Согласно теореме Виета

Ответ: 2,5;3.

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

х2 + х + = 0.

Согласно теореме Виета

По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,

 

Получаем х1 = 1, х2 = , что и требовалось доказать.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – .

Доказательство. По теореме Виета

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

 

т.е. х1 = – 1 и х2 = , что и требовалось доказать.

Примеры

1. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = = .

Ответ: 1; – .

2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то

х1= - 1, х2= -

 

Ответ: - 1; -

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

х1,2 =

можно записать в виде

х1,2 =

Пример

Решим уравнение 3х2 – 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = – 14, c = 16, k = – 7;

D = k2 – ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;

х =

Ответ: 2; .

В. Приведенное уравнение

x2 + px + q = 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

х1,2 =

принимает вид:

х1,2 = или х1,2 = - (3).

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.

Примеры

1. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 = 7±= 7±= 7±8.

Ответ: х1 = 15, х2 = – 1 .

7. Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении

x2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

x2 = – px – q .

Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px – q .

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

 

Пример

1.Решим графически уравнение х2 – 3х – 4 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и х2 = 4. (Рис.2)

 

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного

уравнения

ах2 + bх + с = 0

с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0;) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС, откуда

ОС = .

Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

SK = ,

SF = .

Итак:

построим точки S(; ) (центр окружности) и А (0;1);

проведем окружность с радиусом SA;

абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.а) B (х1 ; 0) и D (х2 ;0), где

х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох (рис.б) в точке B (х1 ; 0 ), где

х1 – корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.

а) AS > SВ, или R > . б) AS = SВ, или R = .

Два решения х1 и х2. Одно решение х1.

в) AS < SВ, или R < .

Нет решения.

Пример

Решим уравнение х2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).

Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

ОВ = , АВ =

Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а ( все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию

,

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

 

 

Примеры

1. Для уравнения

z2 – 9z + 8 = 0.

Номограмма дает корни

z1 = 8, 0 и z2 = 1, 0 (рис. 12).

2. Решим с помощью номограммы

номограммы уравнение

2z2 – 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого

уравнения на 2,получим уравнение

z2 – 4, 5 + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

3. Для уравнения

z2 + 5 z – 6 = 0

номограмма дает положительный

корень z1 = 1,0, а отрицательный

корень находим, вычитая

положительный корень

из – р, т.е. z2 = – р – 1 =

= – 5 – 1 = – 6,0 (рис.13.)

 

4. Для уравнения

z2 – z – 8 = 0

номограмма дает положительный

корень z1 = 4,0, отрицательный

равен z2 = – р – z1 =

= 2 – 4 = – 2,0.

5. Для уравнения

z2 + 4 z + 3 = 0, оба корня которого

отрицательные числа, берем

z1 = – t и находим по номограмме два ,64

положительных корня t1 и t2

уравнения t2 – 4 t + 3 = 0, это

t1 = 1 и t2 = 3, а затем z1 = – t1 = – 1

и z2 = – t2 = – 3. если коэффициенты

p и q выходят за пределы шкалы, то

выполняют подстановку z = kt

и решают с помощью номограммы

уравнение

t2 +

где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства

– 12,6≤.

6. Для уравнения

z2 – 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку

z = 5t, получим уравнение

t 2 – 5t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим

t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5 t1 = 5 • 0,6 = 3,0

и z2 = 5 t2 = 5 • 4,4 = 22,0.

10.Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

● Примеры

Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,

следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре

равных квадрата, сторона каждого из них 2, а площадь 6

 

 

 

 

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников

(4 ∙ 2 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6), т.е.

S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

х = 8 – 2 – 2 = 3

2. А вот, например, как древние греки решали уравнение

у2 + 6у – 16 = 0.

Решение представлено на рис16, где

у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение .Выражения у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = – 8.

 

3. Решить геометрически уравнения у2 – 6у – 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у2 – 6у = 16.

На рис. находим «изображения» выражения у2 – 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.

Значит, если к выражению у2 – 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у – 3. Заменяя выражение у2 – 6у равным ему числом, получаем: (у – 3)2 = 16 +9, т.е. у – 3 = ± или у – 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = – 2. (Рис 17)

Выводы.

При решении квадратного уравнения не надо ограничиваться одним способом

решения уравнения, который изучается в школьном курсе математике, а для каждой ситуации можно использовать свой способ решения.

Особенно популярным способом является свойство коэффициентов квадратного уравнения и теорема Виета. Изучив материалы для подготовки к ГИА, я пришла к выводу: материалы содержат много квадратных уравнений, при решении которых можно использовать свойство суммы коэффициентов квадратного уравнения или теорему Виета. Этот способ позволяет сэкономить время при решении квадратных уравнений, а в некоторых случаях, избежать громоздких вычислений и даже использование калькулятора.

Интересными для меня оказались геометрический способ решения квадратного уравнения. Но недостаток этого способа – потерян второй корень уравнения. При таком способе решения он не рассматривается.

Более подробно изучив тему «решение квадратных уравнений», я углубила знания в истории развития математики и открыла много полезного и нового для себя.

Такая широкая тема позволяет всем желающим находить в книгах, научных журналах, сайтах все новые пути решения уравнений, создавать основу для дальнейших исследований в мире математики, получать необходимые интересующие сведения, применение которых на практике способствует развитию мышления и повышению уровня знаний учеников и студентов. Каждый из способов удобен по-своему, интересен и значим в общей копилке умений каждого.

 

 

Литература:

Мордкович А.Г. Учебник и задачник для углубленного изучения математики.

Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.

И. С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах.- М.: Просвещение, 1987.

А. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1989.

Г.И. Глейзер «История математики в школе»,- М.: Просвещение,1982.