ДВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Две последовательности треугольника Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей математики и информатики» Кировского района г. Саратова Выполнила: ученица 9-1 класса Чиняева Анастасия Александровна Руководитель: учитель математики Злобина Элла Вячеславовна

Содержание Введение Глава I Что такое арифметико-геометрическая прогрессия Выведение формулы n-го члена прогрессии Доказываем наличие арифметико-геометрической прогрессии на предложенном наборе чисел Глава II Рассмотрение первой последовательности треугольников Рассмотрение второй последовательности треугольников Соединяем две последовательности в одну Выведение формулы для нахождения углов Подобие, отношение площадей, радиусов и периметров Заключение Список информационных ресурсов

Актуальность исследования обусловлена тем, что в настоящее время эта проблема стала значима для науки и практики. Этим вопросом занимаются многие теоретики и исследователи. Изучению прогрессии посвящены статьи в периодических изданиях. Объект исследования: арифметико-геометрическая прогрессия. Актуальность исследования обусловлена тем, что в настоящее время эта проблема стала значима для науки и практики. Этим вопросом занимаются многие теоретики и исследователи. Изучению прогрессии посвящены статьи в периодических изданиях. Объект исследования: арифметико-геометрическая прогрессия. Предмет исследования: практическое применение арифметико-геометрической прогрессии. Целью исследования является выведение формул и их применение, а также рассмотрение последовательностей треугольников. Задачи: Собрать и структурировать теорию по теме, решить задачу, доказать предложенные факты. Изучить и научиться пользоваться кроссплатформенной математической программой GeoGebra.

Введение Существовала бы математика если не было бы людей? С древних времен ученые спорят, математика была придумана человечеством или им открыта. Математика - это искусственный язык, чтобы описать окружающий мир, или это родной язык самой вселенной, на котором она разговаривает с нами, причем не важно исследуем ли мы ее или нет. Действительно ли встречаются числа, последовательности и уравнения вне человеческого интеллекта? Или это попытка понять и описать реальность, а сумма углов треугольника равна 1800— это лишь соглашение. Сами придумали «треугольник», сами придумали «градусы». Сторонники идеи открытия и сторонники другой идеи яростно аргументируют свою точку зрения. В ход идут числа Фибоначчи, Золотое сечение, пчелиные соты и т.д. А может мы видим лишь то, на что смотрим. Мы выбираем те явления, которые можно объяснить имеющимися в нашем распоряжении средствами.

Глава I: Арифметико-геометрическая прогрессия Рассмотрим некий набор чисел, его члены зафиксированы своим порядковым номером, т.е. этот набор - последовательность чисел. Последовательность чисел 2; явно созданная искусственно. Данная последовательность относится к семейству особенных прогрессий, она обладает свойством арифметической и геометрической прогрессии одновременно.  

Рекуррентную последовательность , первый член которой выбирается произвольно, а каждый следующий получается из предыдущего по формуле Рекуррентную последовательность , первый член которой выбирается произвольно, а каждый следующий получается из предыдущего по формуле , где d и q – две константы , а n ∈N называют арифметико-геометрической прогрессией. Такое определение логично. Если взять q = 1, получим арифметическую прогрессию: , где n ∈N, а если при d = 0, получим геометрическую прогрессию: , где n ∈N. Как и раньше, буквой d будем обозначать разность прогрессии, а q – знаменатель. Прогрессию однозначно определяют три параметра: c1, d и q.  

Найдем формулу для n-го члена арифметико-геометрической прогрессии Для этого к обеим частям равенства прибавим : Таким образом, (*) Для наглядности, обозначим выражение в скобках . Тогда формула (*) примет вид: , где n . Следовательно, последовательность является геометрической прогрессией (**)  

Вернемся к предложенному к рассмотрению набору чисел 2; ; d= 1 , следовательно является арифметико-геометрическая прогрессией. Формула для знаменателя: . Формула для разности: .  

Глава II: Треугольники построенные по заданной закономерности Первая последовательность треугольников Рассмотрим две последовательности треугольников, построенных в одной описанной окружности произвольного треугольника ABC. Возьмем произвольный треугольник ABC. Построим первую последовательность треугольников A1B1C1, A2B2C2, …. Вершины треугольника A1, B1, C1 – точки касания вписанной окружности в треугольнике ABC, A2, B2, C2 – точка касания вписанной окружности в треугольнике A1B1C1 и так далее.

Вторая последовательность треугольников Другая последовательность треугольников определяется следующим образом: через A1B1C1 обозначим треугольник, вершинами которого являются точки пересечения продолжений биссектрис треугольника ABC с описанной окружностью. Аналогично для треугольника A1B1C1 определим треугольник A2B2C2 и т.д. Таким образом получим последовательность треугольников ABC, A1B1C1, A2B2C2, …

Соединение двух последовательностей Для начала: имеем равные углы благодаря биссектрисам ∠CAA2= ∠A2AB, ∠CBB2= ∠B2BA, ∠BCC2= ∠C2CA. Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на одинаковые дуги: ∠CAA2= ∠A2AB=∠A2B2B=∠A2C2C; ∠CBB2= ∠B2BA=∠B2A2A=∠B2C2C; ∠BCC2= ∠C2CA=∠C2A2A=∠C2B2B.

Выведение формулы для нахождения углов Легко выразить углы треугольника A1B1C1 через углы исходного треугольника. Выразим углы треугольника A1B1C1 через углы исходного треугольника. Например, . Аналогично и вообще . Иными словами, последовательность углов A, A1, A2, …, An, …, образует арифметико-геометрическую прогрессию. По формуле (**) получаем следующее выражение: .  

Подобие Из исследований заметим, что углы треугольника A1B1C1 равны соответствующим углам треугольника A2B2C2. Значит, последовательности 1 и 2 – последовательности подобных треугольников. Тогда можем говорить про отношения соответственно полупериметр, площадь, радиусы описанной и вписанной окружностей для треугольника .  

Заключение С древних времен ученые спорят, математика была придумана человечеством или им открыта. Учитывая, что проблема существует уже 2 300 лет, вряд ли эта загадка разрешится в ближайшее время. Но правда остается в том, что математике просто все равно, верим ли мы, что она была изобретена, открыта или что мы сыграли роль в ее существовании. Независимо от наших убеждений, она будет выполнять свою функцию. “Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется”, - говорил Иоганн Вольфганг Гёте