Исследовательская работа на тему «Треугольники. Вписанная окружность»

Тема: Треугольник. Вписанная окружность.

«Окружность – душа геометрии.
Познайте окружность, и вы не только познаете душу

геометрии, но и возвысите душу свою»
(Клавдий Птолемей)

«Треугольник является первой фигурой,

которую нельзя разложить на более простые

фигуры…и поэтому считается фундаментом

любой вещи, имеющей границы и форму»

(Джордано Бруно)

Цель:

Расширить и углубить знания по теме «Вписанная окружность в треугольниках»

Задачи:

Систематизировать знания по этой теме

Выделить основные свойства, применяемые при решении задач

Привести блок полезных фактов по применению свойств описанного треугольника

Подготовиться к решению задач повышенной сложности в ОГЭ и ЕГЭ

Проверить умение учащихся решать задачи

Основные теоретические сведения

Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей строго внутри треугольника. Точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон треугольника и является центром вписанной окружности.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков: AK = AM; BМ = BL; СL = =CК

Вывод. Если окружность вписана в треугольник, то она касается всех его углов, поэтому на основе свойств окружности, вписанной в угол, получаем:

Свойства окружности, вписанной в треугольник

Центр окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны к сторонам треугольника.

Равны расстояния от вершины угла до точек касания.

Замечание

Важно помнить, что в общем случае точка пересечения стороны с биссектрисой треугольника (D) и точка касания стороны с вписанной окружностью (E) не совпадают. Их совпадение возможно только на основании равнобедренного треугольника. Эти точки полностью совпадают у равностороннего треугольника.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Еще одно интересное соотношение для радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, легко получить, применяя подобие. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Центр окружности лежит на биссектрисе ВК, являющейся также высотой и медианой треугольника. Прямоугольные треугольники ВОЕ и АВК подобны по первому признаку подобия треугольников (∠В–общий, ∠ВЕО =∠АКВ= =90°). Следовательно, ЕО : АК= ВЕ : ВК.

Из пропорции получаем r = .

Аналогично получается формула r = .

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

Длина гипотенузы (c) и полупериметр (р) прямоугольного треугольника связаны с радиусом (r) вписанной в него окружности следующей простой формулой: r + c = p

Интересны также еще два частных случая для прямоугольного треугольника

Решение задач

Если в условии задачи говорится об описанной около треугольника окружности, то в большинстве случаев строить её не нужно. И наоборот, когда речь идёт о вписанной в треугольник окружности. Здесь не только нужно строить саму окружность, но и проводить радиусы к точкам касания (перпендикуляры к сторонам), а также соединять центр окружности с вершинами треугольника. При этом образуются равные треугольники.

Задача 1.

Окружность, вписанная в остроугольный треугольник АВС, касается сторон ВА и ВС в точках Е и F.

а) Докажите что центр окружности, вписанной в треугольник BEF, лежит на окружности, вписанной в треугольник АВС.

б) Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если АВ = ВС, BE = 13, EF = 10, SBEF : SABC = 4:9.

Решение:

а) Пусть точка O — центр вписанной окружности ΔABC. Тогда O лежит на биссектрисе угла B.

Биссектриса BO пересекает дугу EF в точке M, а отрезок EF в точке K. BE = BF как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, отсюда ΔBEF — равнобедренный, значит, биссектриса BK является медианой и высотой. ΔMKE = ΔMKF по двум катетам (EK = KF, MK — общая сторона). Из равенства треугольников следует: EM = MF, а так как равные хорды стягивают равные дуги, то ◡ ME = ◡ MF.

Докажем, что M — центр окружности, вписанной в ΔBEF.

∠MEF = 1/2 ◡ MF как вписанный, ∠MEB = 1/2 ◡ ME как угол между касательной BE и хордой ME, а так как ◡ MF = ◡ ME, то ∠MEF = ∠MEB, поэтому EM — биссектриса угла BEF. Биссектрисы BK и EM прямоугольника BFE пересекаются в точке M, следовательно, M — центр вписанной окружности.

б) По доказанному в пункте а) центр вписанной окружности ΔBEF — точка M — лежит на вписанной окружности треугольника ABC, следовательно, искомое расстояние равно радиусу вписанной окружности треугольника ABC. В равнобедренном треугольнике BEF BE = BF = 13, EK = KF = 10 : 2 = 5.

В прямоугольном треугольнике BEK по теореме Пифагора

SBEF = 1/2 ∙ EF ∙ BK = 1/2 ∙ PBEF ∙ r, где r — радиус вписанной окружности;

r = (EF ∙ BK) / PABC = (10 ∙ 12) / (13 + 13 + 10) = 10/3.

По условию AB = BC, значит, AB/BC = BE/BF = 1; AB/BE = BC/BF.

ΔBEF ∼ ΔABC по второму признаку подобия (∠B — общий). Из подобия следует: MK/MO = k как радиусы окружностей, вписанных в подобные треугольники. SBEF / SABC = k2 = 4/9, k = 2/3.

MO = MK/k = (10 ∙ 3) / (3 ∙ 2) = 5.

Ответ: 5.

Задача 2.

Одна из сторон треугольника равна 30 см, а другая делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см, считая от конца неизвестной стороны. Найти радиус вписанной окружности.

Дано: ∆ ABC,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AB=30 см, CM=12 см, BM=14 см.

Найти: r.

Решение:

1) По свойству касательных, отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны:

CF=CM=12 см, BK=BM=14 см, AF=AK=AB-BK=30-14=16 см.

AC=AF+CF=16+12=28 см, BC=BM+CM=14+12=26 см.

2) По формуле Герона,

где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр,

3) Радиус вписанной окружности найдем по формуле

Ответ: 8 см.

«Треугольники. Вписанная окружность»
PPTX / 662.37 Кб