Горшкова Наталья Леонидовна

Итоговый проект по математике за курс основой школы по теме "Фракталы"

Участник конкурса детского творчества ‒ Всероссийский конкурс для учащихся 5-11 классов на лучшую проектно-исследовательскую работу «Грани науки»

Материал опубликован 26 October 2020 в группе

УРОК.РФ: группа для участников конкурсов

47040

221899

Автор публикации: И. Володина, ученица 11А класса

видеоМуниципальное автономное образовательное учреждение Туртасская средняя общеобразовательная школа

Фракталы

Автор: Володина Инна Вячеславовна

МАОУ «Туртасская СОШ»

9Б класс

Руководитель: Горшкова Наталья Леонидовна,

учитель математики

МАОУ «Туртасская СОШ»

п. Туртас

2019г.

Содержание

Введение……………………………………………………………………….....2

Что такое фрактал……………………………………………………..……..3

История возникновения фракталов…………………………………………….4

Геометрические фракталы……………………………………………………6

Алгебраические фракталы………………………………………………………8

Стохастические фракталы…………………………………………………...10

Фракталы в живой и неживой природе …………………………………11

Фракталы в математике и изобретениях человека …………………………13

Методика Драконовы ключи…………………………………………..……16

Мое применение фракталов (физминутка)..……….……………………....18

Заключение. Выводы……………………………………..……………………………….….20

Приложение………………………………………………………………….21

Список используемой литературы и сайтов Интернета………….............22

Введение

Цель работы:

Изучить мир фракталов, их разновидности

Задачи:

Изучить историю появления фракталов

Рассмотреть различные виды фракталов

Рассмотреть природные явления, в которых проявляются фракталы

Рассмотреть применение фракталов на практике

Изучить методику «Драконовы ключи»

Придумать свой способ применения фракталов

Что такое фрактал

Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке.

Фрактал — термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Но само слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

обладает сложной структурой при любом увеличении;

является (приближенно) самоподобной;

обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью1

может быть построена рекурсивными процедурами2.

История возникновения фракталов

Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot). Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный».

Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (GastonMauriceJulia).

Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной3 циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график.

Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

Геометрические фракталы

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. Геометрические фракталы – фракталы, строящиеся с помощью некоторой ломаной, называемой генератором.

Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов.

Геометрические фракталы хороши тем, что, с одной стороны, являются предметом достаточного серьезного научного изучения, а с другой стороны, их можно «увидеть» — даже человек, далекий от математики, найдет в них что-то для себя. Такое сочетание редко в современной математике, где все объекты задаются с помощью непонятных слов и символов. Оказывается, многие геометрические фракталы можно нарисовать буквально на листочке бумаги в клетку. Сразу оговорюсь, что все получаемые изображения являются лишь конечными приближениями бесконечных по своей сути фракталов. Но всегда можно нарисовать такое приближение, что глаз не будет различать совсем мелкие детали и наше воображение сможет создать верную картину фрактала. Например, имея достаточно большой лист миллиметровой бумаги и запас свободного времени, можно вручную нарисовать такое точное приближение к ковру Серпинского, что с расстояния в несколько метров невооруженный глаз будет воспринимать его как настоящий фрактал. Компьютер позволит сэкономить время и бумагу и при этом еще увеличить точность рисования.

Ещё одним типичным примером геометрического фрактала является кривая Коха. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Если в качестве основы взять равносторонний треугольник, то получим треугольник Серпинского4. Равносторонний треугольник делится прямыми, параллельными его сторонам, на 4 равных равносторонних

треугольника. Из треугольника удаляется центральный треугольник. Получается множество, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество, состоящее из 9 равносторонних треугольников «второго ранга» и так далее.

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Алгебраические фракталы- фракталы, которые строят на основе алгебраических формул, иногда весьма простых.

Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело, разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Существует много методов получения алгебраических фракталов. Классическим примером алгебраического фрактала является множество Мандельброта. Алгоритм его построение весьма прост. В его основе лежит простое многократное выражение:

Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,

где Zi и C — комплексные переменные. Многократный расчет функции выполняют для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области до тех пор, пока не будет выполнено определенное условие:

Z[i] стремится к бeсконечности;

Стремится к нулю.

Приняв несколько фиксированных значений, не выходит за их пределы.

Хаотичное поведение.

Множеству Мандельброта принадлежат только те точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (эти точки окрашиваются в черный цвет).

Не менее популярным является метод построение фракталов, основанный на комплексной динамике. В результате образуются биоморфы, фракталы напоминающие живые организмы.

Множество Мандельброта

Стохастические фракталы

Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Известным представителем стохастических фракталов является плазма. Для её построения возьмём прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваем их в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Прямоугольник разбиваем на 4 равных, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее процесс повторяется. Чем больше случайное число — тем более «рваным» будет рисунок.

Если мы теперь скажем, что цвет точки — это высота над уровнем моря, то вместо плазмы получим горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму, строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и т. д.
Рандомизированный5 фрактал строится по обычному алгоритму, за исключением того, что при вычислении на каждой итерации добавляются случайные величины.

Стоахатический фрактал(плазма)

Фракталы в живой и неживой природе.

Почти все природные образования: кроны деревьев, облака, горы, береговые линии имеют фрактальную структуру.

Что это значит?

Если посмотреть на фрактальный объект в целом, затем на его часть в увеличенном масштабе, потом на часть этой части , то нетрудно увидеть, что они выглядят одинаково.

Одним из типичнейших представителем фрактального подводного мира является коралл. В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков. В строении морской раковины так же хорошо видна структура фрактала. Осьминог – морское придонное животное из отряда головоногих. Фрактальное строение имеют его тела и присоски на всех восьми щупальцах этого животного.

На первый взгляд человек не обладает выраженной фрактальной внешностью. Но стоит заглянуть внутрь – всё встаёт на свои места. Кровеносная, дыхательная, нервная система, сетчатка глаза - вот только самый беглый список биологических фракталов, которые присутствуют в каждом человеке. Рождается ребенок, растет, и этот процесс сопровождается принципом «самоподобия», фрактальностью.

Растения, деревья и травы - обладают выраженной фрактальной формой, в отличие, например от животных. Кроме того, что фрактальную структуру имеет лист растения (прожилки), общее строение растений также фрактально. Например, здесь, маленькие листья аналогичны по форме большим, хотя и не являются их точной копией. Ярким примером фрактала в природе является «Романеску», она же «романская брокколи» или «цветная коралловая капуста». Цветная капуста - типичный фрактал. Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты.

Структуру фрактала хорошо просматривается в формах горных хребтов, сталактитов и сталагмитов, ну и конечно в кристаллах.

Возьмём, к примеру, снежинки. Эти кристаллики образуются, когда в облаке водяной пар превращается в лёд. По мере роста кристалликов возникают изящные, ажурные узоры.

Стохастические фракталы можно увидеть в границах географических объектов и береговых линий, форме облаков и разрядах молний.

Фракталы в математике и изобретениях человека.

В последнее время фракталы стали популярным инструментом для анализа состояния биржевых рынков.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И, хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

В данное время фракталы находят широкое применение в медицине. Теория фракталов применятся для анализа электрокардиограмм. Оценка величины и ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний сердца. Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку, а соответственно и более качественную диагностику. Еще одна область активного применения фракталов – гастроэнтерология.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Сегодня в очень многих играх (пожалуй самый яркий пример Minecraft), где присутствуют разного рода природные ландшафты, так или иначе используются фрактальные алгоритмы.

Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа). Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

В кино для создания различных фантастических пейзажей используется фрактальный алгоритм. Фрактальная геометрия позволяет художникам по спецэфффектам без труда создавать такие объекты как облака, дым, пламя, звёздное небо и т.д. Что уж тогда говорить о фрактальной анимации, это действительное потрясающее зрелище.

Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют виджеи. Особенно часто такие видеоинсталляции используются на концертах исполнителей электронной музыки.

Дизайнеры со всего мира начали использовать в своих работах замечательные фрактальные структуры, только недавно описанные видными математиками. Использование фракталов поставило практически все направления современного дизайна на новый уровень.

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают

текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

1) неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…»;

2) неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

Методика Драконовы ключи

Как ни странно, но фрактальная геометрия нашла свое применение даже в современно психологии. В ходе работы над проектом я нашла заинтересовавшую меня методику «Драконовы ключи», созданную художником Сергеем Рокомболем. Чаще всего её используют в арт-терапии.

Данная методика состоит из серии рисунков основанных на фрактальной схеме матрицы.

Первый эффект не заставит себя долго ждать, ребенку будет достаточно раскрасить один рисунок целиком, чтобы фоновая активность коры полушарий головного мозга повысилась.

Второй значительный эффект – вслед за свободой, которую получает ребенок в выборе цветов, способов и последовательностей закрашивания у него появляются собственные творческие стремления.

Конструкция рисунков, заданная фрактальность их деталей разовьют мелкую моторику руки – это третий эффект. Благодаря столь особенному устройству иннервации кистей рук этот эффект проявляется в дальнейшем как большая упорядоченность мыслительного аппарата ребенка.

Четвертый эффект – повышение способности к концентрации. Развитие функций внимания одно из самых значительных последствий от взаимодействия с рисунками альбома «Драконовы Ключи».

В процессе работы с рисунками альбома «Драконовы Ключи» организуется сознание, устанавливается гармоническое соотношение между правым и левым полушариями мозга, растет чувство ритма, сосредоточенность; укрепляется зрительная и моторная память, ассоциативное и образное мышление.

Использовать эту методику можно с разными целями. В первую очередь это диагностика и коррекция интеллектуальной и эмоциональной сфер, а также развитие и коррекция коммуникативных навыков. Ее можно использовать как в индивидуальной работе, так и в работе с группами, хорошо зарекомендовала она себя в работе с семьями для коррекции родительско-детских отношений.

Я выяснила, что психологи нашей школы используют похожую методику – мандалы. И фракталы и мандалы означают сложную геометрическую фигуру. До известной степени верно, что и те и другие являются одним и тем же. Только фракталы придумали математики, а мандалы - восточные (гл. обр. буддистские и индуистские) монахи. Как пояснил наш школьный психолог, мандалы -это раскраски для снятия стресса. Во время работы с мандалами, ребята медитируют и осмысливают свои цели. Это помогает настроиться на работу.

Мое применение фракталов (физминутка)

Известно, цветовое воздействие на человека вызывает в организме определенные физиологические реакции. Используя определенный цвет геометрических фигур, можно строить фракталы омоложения, здоровья. Это картины, которые способствуют снятию усталости, повышающие настроение, активность, пробуждающие жажду познания нового.

В интернете я нашла сайт, в котором можно с помощью 2D- генератора самостоятельно создавать фракталы, задавая свои параметры. Таким образом, я создала слайд-шоу со своими фракталами. Надеюсь, созданные мною фракталы будут использованы учителями нашей школы на уроках в качестве физминутки для глаз с целью релаксации. Приглашаю вас полюбоваться созданными мною фракталами .

Заключение, выводы.

Изучая фракталы и их разновидности, анализируя проявления фракталов в окружающей нас действительности, а также в научных открытиях, связанных с существованием фракталов, я обнаружила удивительно тесную связь математики и окружающего нас мира.

Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Фракталы неисчерпаемы, как неисчерпаемы их приложения в науке, технике и искусстве. Но не следует забывать о том, что и фракталы — не более чем упрощенная модель реальности, которая не может претендовать на роль универсального ключа к описанию природы.

Я думаю, что приобретенные знания и навыки при изучении данной темы помогут мне при изучении и других школьных предметов. Я надеюсь продолжить изучение фрактальной геометрии и осуществить свою задумку создания фракталов уже в 3D-генераторе, а, возможно, сниму фрактальный фильм, как профессор Московского института электроники и математики имени А. Н. Тихонова, лауреат VII Международного 3D-стерео кинофестиваля 2016, автор сценария, разработчик мультифракталов, режиссер, оператор фрактального фильма « Второй полет над Серой планетой», Надежа Трубочкина. Почему бы и нет? Плох тот солдат, что не мечтает стать генералом!

Приложение

1.Фрактальная размерность —коэффициент, описывающий фрактальные

структуры или множества на основе количественной оценки иx сложности, как коэффициент изменения в детали с изменением масштаба.

2. Реку́рсия — определение, описание, изображение какого-либо объекта или процесса внутри самого этого объекта или процесса, то есть ситуация, когда объект является частью самого себя. Термин «рекурсия» используется в различных специальных областях знаний — от лингвистики до логики, но наиболее широкое применение находит в математике и информатике.

3. Итерация в математике — повторное применение какой-либо математической операции

4. Ва́цлав Франци́ск Серпи́нский— польский математик, известен трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум-гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор 724 статей и 50 книг.