Приемы устного счета

Секция математики

Доклад

Приёмы устного счета

Автор: Анфилова Алина

МБОУ ВСШ № 27, 10 класс,

г.Новосибирск,

Новосибирская область

Научный руководитель:

Кремис Оксана Анатольевна,

учитель математики

Контактный телефон руководителя:

89137070901

г. Новосибирск, 2023

Содержание:

Введение.

ГЛАВА I.

Теоретическая часть.

ГЛАВА II.

Старинные способы устного счёта.

ГЛАВА III.

Современные способы устного счёта.

ГЛАВА IV.

Практическая часть.

Заключение

Список литературы

Введение

Приёмы устного счета

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам предстоит сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.

Актуальность данного исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят микрокалькуляторы, и многие из них просто не умеет считать устно. Это снижает качество знаний по очень важному предмету, снижает интерес к изучению математики. Допустить этого нельзя! Ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное.

Поэтому мы хотим помочь учащимся нашей школы научиться считать быстро и правильно и показать им, что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным, увлекательным занятием.

Цель проекта: Изучить методы и приемы устного счета и показать необходимость их эффективного использования.

Гипотеза исследования:

При существующих методиках и приёмах устного счёта, далеко не каждый человек осведомлён об их существовании и умеет ими пользоваться. Тем не менее такие методы достаточно просты и могут принести пользу не только для общего развития человека или успехов в обучении, но и в повседневной жизни.

Объект   исследования: различные алгоритмы счета

Предмет исследования: процесс вычислений.

Субъект исследования: учащиеся 8-11 классов.

Метод исследования: сбор и анализ информации, изучение методов устного счёта, анкетирование, знакомство учащихся с этими приёмами.

Задачи проекта для достижения цели:

Изучить историю возникновения вычислений

Рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас,

Освоить правила быстрого счета и научить пользоваться ими учащихся нашей школы.

Создать памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.

ГЛАВА I.

Теоретическая часть.

Я изучила историю возникновения вычислений. У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать скот, возделывать поля; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись.

Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги.

Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами.

Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять.

Эти черточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы, как у пришельцев и отличить одну голову – цифру от другой было очень сложно.

Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета.

У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурке.

Было очень неудобно хранить глиняные таблички, веревки с узелками и рулоны папируса.

И это продолжалось до тех пор, пока древние индийцы не изобрели для каждой цифры свой знак.

От пальцевого счета пошли пятеричная система счисления (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног).

В древние времена не существовало единой для всех стран системы счета. Некоторые системы исчисления брали за основу 12, другие – 60, третьи – 20, 2, 5, 8.

Десятичную систему счисления ввели римляне. Римские цифры до сих пор используют в часах и для оглавления книг, но такая система цифр тоже была слишком сложной для счета.

Предки русского народа – славяне - для обозначения чисел употребляли буквы.

Этот способ обозначения цифр называется цифирью.

ГЛАВА II.

Старинные способы устного счёта.

Я познакомилась с четырнадцатью способами устного счёта, среди которых есть известные современные способы, а также я рассмотрела старинные способы быстрого счёта. Приведу примеры некоторых из них:

Русский крестьянский способ умножения.

Пример:

умножим 48 на 16,

запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

деление заканчивается, когда слева появится единица;

вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;

далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

Умножение чисел методом решетки:

Найдем произведение чисел 216 и 32.

Горизонтально запишем числа 216, вертикально 32.

Чертим решетку, проводим диагонали.

На пересечениях находим произведения чисел.

Складываем числа по диагоналям.

Получили результат: 6912

ГЛАВА III.

Современные способы устного счёта.

Я с большим интересом познакомилась с методами Якова Трахтенберга.

Яков Трахтенберг-еврейско-русский математик, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Система Трахтенберга позволяет умножать большие числа на небольшие.

Рассмотрим умножение чисел на 11 по методу Трахтенберга:

Правило умножения на 11: нужно поочередно прибавлять к цифрам её соседа.

43 х11= (0+4), ( 4+3), ( 3+0) =473

68 х11 = (0+6), (6+8), (8+0) = (6),(14),(8)= (6+1), (4), (8) = 748

325х11=(0+3), (3+2), (2+5), (5+0) = 3575

Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа».

Пример: 63247 · 12

Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась.

63247 · 12 дважды 7 будет = 14, переносим

4

63247 · 12 дважды 4 и +7+1=16, переносим 1

64

63247 · 12 дважды 2 и +4+1 = 9

964

Следующие шаги аналогичны.

Окончательный ответ:

63247 · 12 = 758964

Я изучила много способов быстрого сложения, вычитания, умножения и деления чисел. Сейчас я остановлюсь на некоторых из них.

Сложение с использованием свойств действий с числами:

Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:

12+63+28=(12+28)+63=40+63=103.

Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:

549+94= (500+100)+(49-6)=600+43=643.

Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:

504+497=(500+500)+(4–3)=1000+1=1001.

Поразрядное вычитание:

Если число единиц каждого разряда уменьшаемого больше, то вычитаем поразрядно и результаты складываем.

Пример1:

574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.

Если меньше, то занимаем у высшего разряда.

Пример 2:

647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

Применение свойств вычитания:

Если из числа вычесть сумму чисел, можно сначала вычесть из этого числа одно слагаемое, а затем, из полученной разности второе слагаемое:

934 – (123 + 634)= (934 – 634) – 123 = 300 – 123 = 177

Если из суммы чисел вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого и затем к полученной разности прибавить второе слагаемое:

(567 + 148) – 367 = (567 - 367) +148 = 200 +148 = 348

Умножение чисел от 10 до 20:

Чтобы найти произведение чисел от 10 до 20 необходимо:

к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1. 16∙18 = (16+8) ∙ 10 + 6 ∙ 8 = 288,

Пример 2. 17 ∙ 19 = (17+9) ∙ 10 + 7 ∙ 9 = 323.

Умножение на 11:

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример:

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125:

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:

32 · 125 = 32 : 8 · 1000 = 4000.

Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:

24 · 12,5 = 24 : 8 · 100 = 300.

Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:

64 · 1,25 = 64 : 8 ·10 = 80.

Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.

16,8 · 0,125=16,8 : 8 = 2,1.

Умножение на 1,5; 2,5; 3,5… :

Чтобы умножить число на 1,5, надо к данному числу прибавить его половину:

16·1,5 = 16+8= 10+14=24

Чтобы умножить число на 2,5, надо умножить его на два и прибавить половину числа:

16·2,5 = 16·2 + 8 = 32+8= 40

Чтобы умножить число на 3,5, надо умножить его на 3 и прибавить половину числа:

16·3,5 = 16·3+8=48+8 = 40+16=56

Деление на 5, на 50, на 25:

При делении на 5, на 50, на 25 воспользуемся следующими выражениями:

a : 5 = a ∙ 2 : 10

a : 50 = a ∙ 2 : 100

a : 25 = a ∙ 4 : 100

135 : 5 = 135 ∙ 2 : 10 = 270 : 10 = 27

3750 : 50 = 3750 ∙ 2 : 100 = 7500 : 100 =75

6400:25 = 6400 ∙ 4 : 100 = 25600 : 100 = 256

Деление на 0,5; 0,25; 0,125:

Чтобы разделить число на 0,5, нужно это число умножить на 2:

32 : 0,5 = 32 · 2 = 60 + 4 = 64

Чтобы разделить число на 0,25, нужно это число умножить на 4:

32 : 0,25 = 32 · 4 = 120 + 8 = 128

Чтобы разделить число на 0,125, нужно это число умножить на 8:
32 : 0,125 = 32 · 8 = 240 + 16 = 256

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5:

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25

Примеры:

35² = 3·(3+1) и приписать 25, получим 35²= 1225

75² = 7·8 и приписать 25 , 75² = 5625

85² = 8·9, приписать 25 = 7225

Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5:

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Примеры:

56² = (25+6), приписать 6² =36, 56² = 3136

58² = (25+8), приписать 8² = 64, 58² = 3364

53²= (25+3), приписать 3² = 09, 53² = 2809

Работая над проектом, я узнала имена людей, которые могли считать очень быстро, обладали огромными способностями.

Например:

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математики.

Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивлял своего отца.

Однажды в школе, Гауссу в то время было 10 лет, учитель предложил классу перечислить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса был готов ответ :

1+2+3+…..+97+98+99+100=101·50=5050.

Как он складывал числа от 1 до 100?

Группируем: (1+100)+(2+99)+….=50 пар по 101,

а сумма S=101·50 = 5050.

ГЛАВА IV.

Практическая часть.

С целью изучения особенностей использования приемов быстрого счета в данном проекте был проведен опрос среди учащихся 8-11 классов. Количество опрошенных составило 126 человека. Опрос проводился в устной форме по заранее подготовленным вопросам.

В исследовании участвовали респонденты разных возрастных категорий, что позволило сделать сравнительный анализ полученных результатов. Анкетируемым были представлены следующие вопросы (с вариантами ответов «да» и «нет»).

Вы часто используете калькулятор при счёте?

Как вы думаете, развивает ли умение считать такие функции как : память, внимание, способность сосредоточиться?

Умеете ли быстро и правильно считать?

Знаете ли вы какие-нибудь приёмы устного счёта?

Хотели бы вы узнать другие способы устного счёта?

Большая часть опрошенных в возрасте 16-19 лет чаще всего пользуются калькулятором. 85% опрошенных согласны с тем, что устный счёт развивает такие функции, как память, внимание, способность сосредоточиться. Половина респондентов умеют быстро и правильно считать. Можно сделать вывод о том, что в той или иной степени люди знают приемы устного счета. Хотелось бы отметить, что при уточнении каких именно – назывались самые элементарные (например, умножение на числа, кратные 10). Приёмы устного счета могут быть интересными для более чем половины опрошенных.

Таким образом, проведённый опрос свидетельствует об актуальности вопросов устного счета.

Для школьников – в силу более частого обращения к устному, быстрому счету - это более необходимо, но, тем не менее, и для более старшего поколения приемы быстрого счета имеют определенное значение.

Идеи быстрого счета не новы, но бывают недооценены благодаря развитию современных технологий. Незаметно для себя многие утрачивают навыки быстрого и точного счета и порой, с большим опозданием понимаем, что это наше слабое место.

Так как большая часть учащихся нашей школы хотели бы узнать приёмы устного счёта, я решила провести классные часы в 8ом и 10ых классах. Ребята очень заинтересовались представленными мною приёмами. Теперь учащиеся будут использовать их при выполнение домашней работы и на уроках в школе.

Таким образом, я вижу, что моя первоначальная гипотеза о том, что такие методы достаточно просты и могут принести пользу не только для общего развития человека или успехов в обучении, но и в повседневной жизни, подтверждается.

Заключение

Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Я рассмотрела лишь немногие способы быстрого счета.

Все рассмотренные мною методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления

Устный счет – гимнастика ума!

Вычислительная техника с каждым днем становится все более совершенной, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а я узнала некоторые приемы устного счета, которые помогут мне в жизни.

Мне было интересно работать над проектом.

Результаты работы над проектом:

Я изучила историю возникновения вычислений.

Рассмотрела правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас.

Освоила правила быстрого счета и познакомила с ними учащихся нашей школы.

Создала памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.

Несколько простых правил, а главное – постоянная тренировка в устном счете, помогут научиться хорошо, считать. Бывают люди, которые быстро множат и делят в уме четырех и пятизначные числа. Достичь такого искусства трудно, надо помнить много правил, очень долго и утомительно тренироваться.

Список литературы

1. Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. М.: АСТ ПРЕСС, 1999. – 368 с.

2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.

4. «Первое сентября» Математика №3(15), 2007.

5. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68

6. Устный счет/Сост. П.М.Камаев. – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 3(15).

7. http://portfolio.1september.ru/subject.php