Танграм. Классификация задач.

ТЕМА РАБОТЫ:

Танграм. Классификация задач.

Выполнила:

Малко Елизавета Анатольевна,

ученица 5а класса МБОУ

«Кулундинская средняя

общеобразовательная школа №1»

Научный руководитель:

Носовец Наталья Александровна,

учитель

математики

2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Приступая к изучению геометрического материала, каждый ученик сталкивается с огромными трудностями: нам приходится решать задачи на распознавание и построение фигур, разбиение их на части, преобразование в новые фигуры. И всё это при отсутствии геометрического опыта. Где взять этот опыт, как получить необходимые навыки? Здесь большую помощь оказывают геометрические игры-головоломки, и мы, играя, познаём азы геометрии. Меня очень заинтересовала головоломка Танграм, с которой мы познакомились на занятиях кружка «Занимательная математика», захотелось, как можно больше узнать о нёй. Я изучила литературу, а потом исследовала возможности этой игры, волшебные превращения этого квадрата. Мне стало интересно, какие закономерности и особенности есть в этой игре и как это можно использовать на уроках математики.

Гипотеза исследования: я предположила, что эта старинная головоломка поможет мне при изучении математики.

Методы исследования:

Теоретические: изучение материалов по теме исследование; анализ и обобщение собранной информации; моделирование; конструирование; классификация. Эмпирические: наблюдение и сравнение.

Цель моей исследовательской работы: исследовать возможности игры- головоломки танграм и изучить ее применение.

Объект исследования: танграм.

Мною были поставлены задачи:

Собрать всевозможную информацию об игре-головоломке танграм.

Изготовить танграм.

Исследовать опытным путем этот квадрат.

1. ТАНГРАМ

1 .1. Описание игры-головоломки

Танграм – старинная китайская игра-головоломка, основанная на принципе разрезания – складывания квадрата. Квадрат разделяется таким образом, как это показано на рисунке 1.

Как мы видим, в состав танграма входят семь геометрических фигур, называемых "семь танов". Два больших треугольника (1, 2), один средний (3) и два маленьких (4, 5), квадрат (6) и параллелограмм (7). Углы в этих фигурах кратны 45 градусам.

Суть игры заключается в конструировании из деталей игры разнообразных предметных силуэтов. Для этого необходимо использовать все семь "танов", причём параллелограмм можно поворачивать любой стороной вверх (это единственный несимметричный тан), но нельзя накладывать один "тан" на другой даже кончиком. Изображение силуэта схематично, но его образ угадывается по характерным признакам предмета и по его пропорциям. Это могут быть силуэты людей, животных, предметов домашнего обихода, игрушек, цифр, букв и др.

Игра знакомит с азами геометрии, понятиями части и целого, величины и формы; развивает фантазию, образное мышление, внимание, а также эмоционально-волевые качества. Ведь для того, чтобы сложить определенную фигурку, нужно обладать настойчивостью, аккуратностью и терпением.

1.2. Исследование свойств "танов"

Научный подход к решению задач игры-головоломки требует знания геометрических свойств фигур-"танов".

b

Исследуем свойства больших треугольников. Таких треугольников два (1, 2 на рис. 1). Они прямоугольные, равнобедренные. Причём площадь большого треугольника в 4 раза больше площади маленького треугольника (это видно при наложении маленьких треугольников на большой, см. рис. 2). А его периметр в 2 раза больше маленького треугольника.

Докажем это. Пусть меньшая сторона (катет) равна "а", а большая (гипотенуза) равна "b". Тогда Рм = 2а + b; Pб = 4а + 2b = 2(2а + b). Также площадь большого треугольника в 2 раза больше площади среднего треугольника (видно из наложения), а его периметр приблизительно в 1,4 (V2) больше периметра среднего треугольника.

Средний треугольник (3 на рис. 1) прямоугольный, равнобедренный. Площадь среднего треугольника в 2 раза меньше площади большого треугольника, а его периметр приблизительно в 1,4 меньше периметра большого треугольника. Площадь среднего треугольника в 2 раза больше площади маленького треугольника (см. рис. 3).

Маленьких треугольников два (4,5 на рис.1). Они прямоугольные, равнобедренные (см. рис. 4). Площадь маленького треугольника меньше площади среднего треугольника в 2 раза (Sм = Sср : 2). Площадь маленького треугольника в 4 раза меньше площади большого треугольника, а его периметр в 2 раза меньше периметра большого треугольника (Pм = Pб : 2). Площадь двух маленьких треугольников равна площади квадрата (Sм = Sкв : 2). Также их площадь равна площади параллелограмма (Sм = Sп : 2). Это легко доказывается накладыванием фигур друг на друга.

Площадь квадрата (6 на рис. 1) в 2 раза больше площади маленького треугольника (Sкв = Sм x 2). Площадь квадрата равна площади параллелограмма и площади среднего

треугольника (см. рис. 5)

Площадь параллелограмма (7 на рис. 1) в 2 раза больше площади маленького треугольника (Sп = Sм x 2). Его площадь равна площади квадрата и площади среднего треугольника (см. рис. 6).

1.3. Историография вопроса

Танграм — одна из множества вариаций игр, в основу которых положено решение логических геометрических задач на разрезание. Хотя танграм часто считают изобретением глубокой древности, первое печатное упоминание о нём встречается в китайской книге, изданной в 1813 году и написанной, очевидно, в правление императора Цзяцина.

Появление танграма на западе относят не ранее чем к началу 19 столетия, когда эти головоломки попали в Америку на китайских и американских судах. Старейший такой экземпляр, подаренный сыну американского судовладельца в 1802 году, сделан из слоновой кости и хранится в шёлковом футляре.

Откуда же было взято само название танграм? По мнению Мюррея, оно было придумано в середине XIX столетия одним американцем, который взял корень "тань", что обозначает на кантонском диалекте "китайский", и "грам" (с греч. "буква").

Слово «танграм» впервые было использовано в 1848 году Томасом Хиллом, в дальнейшем президентом Гарвардского университета, в его брошюре «Головоломки для обучения геометрии». Местом где была изобретена игра, несомненно является Китай. Дата создания может быть определенна приблизительно XVIII век. Первой известной древней книгой по танграму является “Собрание фигур из семи частей” (Китай 1803 г.). Издана она была на рисовой бумаге. Книги, изданные в Европе, были лишь отчасти оригинальны, а в своей основе имели китайские источники.

Существует целый ряд версий и гипотез возникновения игры “Танграм”.

Первая легенда. Это было очень давно. У немолодого императора Китая родился долгожданный сын и наследник. Шли годы. Мальчик рос здоровым и сообразительным не по годам. Одно беспокоило старого императора: его сын, будущий властелин огромной страны, не хотел учиться. Мальчику доставляло большое удовольствие целый день забавляться игрушками. Император призвал к себе трех мудрецов, один из которых  был известен как математик, другой прославился как художник, а третий был знаменитым философом, и повелел им придумать игру, забавляясь которой, его сын постиг бы начала математики, научился смотреть на окружающий мир пристальными глазами художника, стал бы терпеливым, как истинный философ, и понял бы, что  зачастую сложные вещи состоят из простых вещей. Три мудреца придумали «Ши – Чао – Тю» - квадрат, разрезанный на семь частей.

По другой легенде, более 4 тысяч лет назад у одного человека выпала из рук фарфоровая плитка и разбилась на семь частей. Расстроенный, он в спешке старался ее сложить, но каждый раз получал новые интересные изображения. Это занятие оказалось настолько увлекательным, что впоследствии квадрат, составленный из семи геометрических фигур, назвали Доской Мудрости.

Различие в комбинации исходных базовых элементов порождает целый класс головоломок, как в случае плоских фигур, так и объемных. Великие прадеды страсть как любили поупражнять мозг головоломками. Корни их премудрости ведут к древнейшим очагам мировой культуры. Это Междуречье и Египет, Древняя Греция и Рим, Африка и Индия, цивилизации майя и инков и – главное – непредсказуемый Восток. Древнейшей китайской головоломкой считают танграм. Покорив логические умы, танграм породил массу мифов о своем происхождении, один из которых связан с «Восьмой книгой Тана» мастера головоломок американца Сэмюеля Лойда.

Во многих книгах и энциклопедиях упоминается, что танграму более 4000 лет. Хотя это не так. Миф о древности танграма создал американец Сэм Лойд, автор занимательных задач-головоломок. В 1903 году, находясь на вершине славы, он выпустил небольшую книжечку, ставшую ныне библиографической редкостью, и назвал её "Восьмая книга тана". Кроме множества задач Лойд придумал красивую легенду о происхождении танграма. "В записках покойного профессора Челленора, попавшихся в мои руки, – утверждал Лойд, – имеются сведения о том, что семь книг о танграмах, каждая из которых насчитывает ровно тысячу фигур, были составлены в Китае более 4000 лет назад. Эти книги ныне стали столь большой редкостью, что за те 40 лет, которые профессор Челленор провёл в Китае, ему лишь раз удалось видеть первое издание первого и седьмого томов и несколько разрозненных фрагментов второго тома ". Название "семь танов" происходит, по версии Лойда, от имени Тан, принадлежавшего древнему китайскому мудрецу.

Разумеется, что это всё вымысел. Когда Генри Дьюдени, английский "аналог" Сэма Лойда, в 1908 году написал статью о танграмах, он, ничего не подозревая, повторил ошибку Лойда. Его статья привлекла внимание знаменитого лексикографа Джеймса Мюррея. И тот обратился за помощью к своему сыну, обучавшемуся в китайском университете, с просьбой разузнать что-нибудь о Тане. Выяснилось, что китайские профессора ничего не знают о Тане и никогда не слышали слово "танграм". На самом деле в Китае эта игра известна под именем "чи чиа тю" – "семь хитроумных фигур", или "хитроумная головоломка из семи частей".

1.4. Танграм и современность

Танграм, возможно, ведёт своё происхождение от яньцзиту (燕几圖) — вида мебели, появившегося во времена империии Сун. Как мебель яньцзиту претерпела некоторые изменения за время правления династии Мин, а в дальнейшем превратилась в набор деревянных фигурок для игры.

Головоломка придумана давно, но мода на нее не проходит до сих пор. Самые современные дизайнеры используют идею складывания элементов танграма в своих модных коллекциях.

Танграм во всех его проявлениях можно встретить начиная от дизайна одежды, заканчивая архитектурой и ландшафтным дизайном. Самое удачное применение танграма, пожалуй, в качестве мебели. Есть и столы танграмы и трансформируемая мягкая мебель и знаменитые настенные полки фирмы Lago.

Вся мебель построенная по принципу танграма очень удобна и функциональна. Каждый раз она может видоизменятся в зависимости от настроения и желания хозяина. Интересный вариант трансформируемых диванов дизайнера Julien Bernard. Эта модель была представленна на выставке в Милане в 2009 году.

Самая известная коллекция мебели в стиле танграм у дизайнеров по интерьерам - конечно, Lago. Сколько всевозможных вариантов и комбинаций можно составить из этих симпатичных полочек. Сами производители выпустили вместе с инструкцией по сборке несколько страниц с идеями для библиотеки, гостиной, спальни и детской.

2. Классификация задач

Встречается множество различных задач, связанных с танграмом. Предлагаю рассмотреть следующую классификацию задач:

З адача 2.1. Нахождение способа изобразить силуэты людей, животных, предметов, цифр, используя все детали танграма (то есть креативные задачи). В качестве иллюстрации можно привести рисунок "цифра 8"

З Рис. 8 а, б, в

Рис. 8 г, д, е

адача 2.2. Поиск способа воспроизвести заданные силуэты (рис. 8 а, б, в; решение задач – рис. 8 г, д, е).

Задача 2.3. Поиск нескольких способов построения данной фигуры (это становится возможным благодаря замене фигур на равносоставленные). Для примера приведены схемы выкладывания треугольника двумя способами (рис. 9 а, б).

Рис. 9 а Рис. 9 б

Рис. 10 а Рис. 10 

Задача 2.4. Составление более сложного двойного или тройного танграма (для этого используются два или три комплекта из семи "танов"). В качестве

иллюстрации можно предложить рисунок "Игра на бильярде",

п
риведённый в книге Я.И. Перельмана "Весёлые задачи" (рис. 10 а, б).

Рис. 10 а Рис. 10 б

Задача 2.5. Решение задач комбинаторной геометрии, возникающих в связи с составлением геометрических фигур из танграма. Например, какие выпуклые многоугольники можно составить из семи танов, в том числе несколькими способами. По утверждению М. Гарднера, существует всего тринадцать "выпуклых танграмов – многоугольников, у которых все внутренние углы меньше 180 градусов ". Эти фигуры приведены в Приложении 1.

Задача 2.6. Нахождение "невозможной" фигуры среди нескольких предложенных. Как видно из рисунка 11, а, б, в, в фигуре "в" не остаётся места для среднего по величине треугольника.

Рис. 11 а Рис. 11 б Рис. 11 в

Задача 7. Как разновидность предыдущего типа задач – решение парадокса в танграмах из семи частей (пример – откуда взялась нога у человечка: парадокс, обнаруженный Г. Дьюдени, см. рис. 12 а, б, в, г. Как видно из схемы, первая фигура чуть толще второй; площадь "ноги" в точности равна площади избыточной полоски на животе, обозначенной отрезком АВ).

1

Данная классификация позволяет указать цель, время и место использования названных задач. Задачи 1 и 2 традиционны, взаимно обратны. Задача 3 направлена на формирование инвариантности мышления. Задача 4 предполагает наличие определённого опыта игры. Задачи 5 и 6 - возможность использовать данную игру на уроках геометрии в теме "Многоугольники. Площадь многоугольников". Задача 7 - один из способов активизировать мышление.

Закончить о танграмах можно словами М. Гарднера: "Очарование танграма состоит в простоте материала и в кажущейся его непригодности для создания фигурок, обладающих эстетической привлекательностью ".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе изучения литературы о геометрической головоломке я с интересом познакомилась с историей её возникновения. Исследуя особенности головоломки, я более подробно узнала о свойствах составляющих её геометрических фигур - треугольника, квадрата, параллелограмма, уже известных из курса начальной школы. Это, например, понятие кратности величин углов, подобия геометрических фигур, понятие выпуклости многоугольников, равенства площадей различных равносоставленных фигур. Также я познакомилась с понятием комбинаторики в геометрии. Я заметила, что составление и решение геометрических задач-головоломок значительно развивает воображение, внимание, пространственное мышление, креативное мышление.

В процессе работы над темой мной были изучены и освоены методы исследования:

1) способ доказательства равновеликости фигур методом наложения;

2) алгебраические примеры сравнения выражения;

3) навыки выдвижения гипотез и их доказательства или опровержения.

Данная исследовательская работа имеет прикладное значение. Результаты классификации и систематизации задач позволяют более эффективно использовать иллюстративный материал на уроках математики для развития внимания, мышления, эмоционально-волевых качеств учеников 5-8 классов. Также в качестве результатов исследования можно рассматривать изготовление демонстрационных моделей игры-головоломки.

В начале своей работы я предположила, что эта старинная головоломка поможет мне в учебе. Моя гипотеза подтвердилась, так как действительно с помощью «Танграма» я изучила полезные геометрические сведения.

А также результатом моей работы стала презентация – тренажер для сборки фигур из двух танграмов, которую можно использовать на дополнительных занятиях по математике.

Также дома у нас появилась интересная настольная игра. Эта элегантная старинная головоломка, удивляющая простотой деталей и многообразием фигур, которые можно из них составить, по-прежнему завораживает ценителей, каким бы ни был их возраст.

Мне кажется, что игры развивают детей, учат находить правильное решение, находить выход из трудной игровой ситуации. Игры не только занимают досуг, но и обучают.

Игры - головоломки – это хорошая разрядка от трудных ежедневных проблем, и они просто интересны!

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Оникс, 1994. - 512 с.

Гарднер М. Путешествие во времени. Пер. с англ. Ю. А. Данилов. - М.: Мир, 1990. - 338 с.

Камаев П. Танграм //Математика. 2004. - №38. С. 8-9.

Перельман Я.И. Веселые задачи. Сост. Данилов Ю. А. - М.: АСТ -Астрель - Транзиткнига, 2003. - 288 с.

Савин А.П. Математические миниатюры. - М.: Детская литература, 1991. - 130 с.

Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. - М.: 1995.

Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1985. - 354 с.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E0%ED%E3%F0%E0%EC

http://festival.1september.ru/articles/626772/

http://www.school61.ru/Science/2011/tangram/tangram1.htm

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение I