Исследовательская работа «Теория кос»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 9 г. Амурска

Амурского муниципального района Хабаровского края

Математика

 

Исследовательская работа

Теория кос

 

 

 

Авторы:

Макаренко Виктория Александровна,

Чирков Сергей Викторович,

учащиеся 9В класса

МБОУ СОШ №9 г. Амурска

Руководитель:

Пономарева Ирина Анатольевна,

учитель математики,

МБОУ СОШ №9 г. Амурска

 

 

 

г. Амурск

2018

Аннотация

Практически каждый человек умеет заплетать косу из трех прядей волос. Однако не каждый знает, что это ещё и математический объект.

В нашей работе мы исследовали связь между плетением кос и математикой.

В работе определена цель исследования, выдвинута и проверена гипотеза: косы – один из простейших геометрических объектов, легко поддающихся классификации и «алгебраизации».

Что такое коса в математике?

Коса – это формальная модель того, что понимается под словом «сплетение» в обычной жизни (девичья коса, плетёный брелок, классический канат из переплетённых жил и т. д.), т. е. множество нитей, запутанных некоторым определённым образом.

Оглавление

Введение …………………………………………………………………………5-6

Теоретическая часть ……………………………………………………………7-16

Практическая часть …………………………………………………………….17-19

Выводы ……………………………………………………………………………..20

Заключение …………………………………………………………………………21

Список использованных источников информации ……………………………..22

Приложение

Тезисы по тексту работы

Плетение кос – разве это математика?

Косы – один из простейших геометрических объектов, легко поддающихся «алгебраизации».

Теория кос – это реальная и живая наука.

Теория кос и узлов – сравнительно молодой  и интенсивно развивающийся раздел математики.

Теория кос, основания которой были построены благодаря азарту и настойчивости немецкого алгебраиста Эмиля Артина, является красивым синтезом геометрии, алгебры и алгоритмических методов.

Косы - один из простейших геометрических объектов, легко поддающийся «алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать.

Теория кос имеет много приложений, как в математике, так и за пределами ее.

Встречая косы в повседневной жизни, мы не подозревали, что это ещё и математические объекты.

По красоте теория кос не уступает классической математике, которую мы изучаем в школе.

В нашей работе мы исследовали связь между плетением кос и математикой, рассмотрели классификацию и алгебраизацию кос.

Нам удалось установить связь между красивыми топологическими объектами косами и математикой с помощью основной теоремы о косах.

Введение

Актуальность

Косы присутствуют в нашей жизни в различных видах и вариациях, но не все знают, что косы - это красивый геометрический объект.

Чем отличается математическая коса от косы, которую практически каждый человек умеет заплетать из трех прядей волос?

В начале нашего исследования мы изучили литературу, провели анализ источников информации по данной теме в сети «Интернет» и пришли к выводу: красивое и наглядное понятие коса сейчас в центре внимания современной математики и физики.

В основе нашей работы (её теоретической части) лежит статья «Косы и узлы» автора А. Б. Сосинского, опубликованная в научно-популярном физико-математическом журнале «Квант» (1989 год, №2).

Мы провели анкетирование среди учащихся 9, 10, 11 классов и выяснили: ребята не подозревают, что коса – это ещё и математический объект.

Изучив литературу и опираясь на результаты социологического исследования (анкетирование) определили следующую проблему.

Проблема

Плетение кос – разве это математика?

Гипотеза

Косы – один из простейших геометрических объектов, легко поддающихся классификации и «алгебраизации».

Цель

Установление взаимосвязи между плетением кос и математикой.

Задачи

Изучить теорию кос, историю возникновения и развития.

Рассмотреть классификацию и алгебраизацию кос

Научиться плести косы

Найти связь между математическими косами и косами в жизни

5

Рассмотреть приложение кос

Предмет исследования

Косы

Объект исследования

Классификация и алгебраизация кос

Методы исследования

Теоретический

Практический

Математический

Практическая значимость

Материалы данного исследования могут быть использованы:

для дальнейшего изучения инвариантов узлов

для повышения образовательного уровня школьников (в качестве дидактического материала для проведения: предметных декад, школьных конференций и т.д.)

на занятиях внеурочной деятельности

6

Теоретическая часть

§1. Историческая справка

Теория кос – это реальная и живая наука.

Теория кос и узлов – сравнительно молодой  и интенсивно развивающийся раздел математики. Математики впервые заинтересовались косами и узлами лишь в XIX веке и с  того времени теория кос и узлов обрела статус самостоятельного раздела математики.

Теория кос, основания которой были построены благодаря азарту и настойчивости немецкого алгебраиста Эмиля Артина (1898 –1962), является красивым синтезом геометрии, алгебры и алгоритмических методов.

Первоначально косы были предложены Артином в качестве математической модели для текстильной промышленности, но приложения этой теории оказались весьма разнообразными. Теперь они занимают важное место в комплексном анализе, комбинаторике, квантовой механике и квантовой теории поля.

В последние 20 лет математики и физики с огромным интересом стали заниматься соответствующими теориями (особенно, теорией узлов).

Достаточно сказать, что за это время 4 медали Филдса1, были получены именно за работы, связанные с этой теорией.

Приз и медаль названы в честь Джона Филдса.

Среди лауреатов Филдсовской премии есть советские и российские математики: Сергей Новиков (1970), Григорий Маргулис (1978), Владимир Дринфельд (1990), Ефим Зельманов (1994), Максим Концевич (1998), Владимир Воеводский (2002), Григорий Перельман (2006, от медали отказался), Андрей Окуньков (2006) и Станислав Смирнов (2010).

§2. Теория кос

2.1. Определение

Косу можно себе представить так: в верхний и нижний край вертикальной доски вбито по n гвоздиков (n может равняться 1,2,3,…) – каждый из гвоздиков верхнего основания соединён нитью с одним из гвоздиков нижнего; нити попарно не пересекаются и всё время должны опускаться вниз (нить не имеет права, повернувшись, начать подниматься вверх). По прибытии вниз мы находим те же нити (также зафиксированные гвоздями), но не обязательно в том же порядке.

Касательный вектор в любой точке кривой должен всё время «смотреть вниз», ему запрещается быть горизонтальным и тем более «смотреть вверх».

2.2. Классификация кос

Наше исследование начнём с примеров кос.

Среди кос выделяются:

Девичья коса К1

Девичья коса – символ девичества, молодости, красоты, чистоты. В Древней Руси девушки берегли косу до замужества. С древнейших времен длинные волосы считаются символом красоты и женственности.

8

Тривиальная коса К2

Коса, все нити которой вертикальные прямые, называется тривиальной.

Тривиальная коса – частный случай крашеной косы.

Крашеная коса К3

Так она называется вовсе не потому, что нарисовали ее нити разными цветами. Крашеной называется любая коса, которой отвечает тождественная перестановка

, т. е. коса, сохраняющая порядок номеров нитей.

Циклическая коса К4

Среди кос следует выделить, кроме крашеных, в известном смысле противоположные им - циклические косы: это косы, переставляющие все номера нитей по единому циклу, как это делает коса К4: 12 4 3 1.

9

В таблице (рис.1) представлены проекции кос на плоскость из трёх и четырёх нитей. На рисунке вверху у начала каждой нити указан ее порядковый номер. Внизу снова указан номер каждой нити.

Существуют ли косы с большим количеством нитей? Да.

Рассмотрим пример косы, которая содержит пять нитей. Сплести данную косу было достаточно сложно, т. к. определить её вид нам не удалось.

Данный объект является косой (по определению): состоит из пяти нитей, подвешенных «вверху» (на гвозди, выстроенные в горизонтальную линию) и переплетающихся друг с другом в своём движении «вниз» (движение вверх не допускается); по прибытии вниз мы находим те же нити (также зафиксированные гвоздями), но не обязательно в том же порядке.

Фигуры на рисунке 2 не являются косами.

10

Эти фигуры (рис.2) не являются косами: их нити имеют восходящий характер.

Две косы считаются эквивалентными (т. е. одинаковыми), если одну можно превратить в точную копию другой, двигая нити (без разрывов и склеиваний) так, чтобы каждая точка каждой нити перемещалась только в горизонтальной плоскости. Такое движение показано на рисунке 3.

В данной таблице (рис. 3) представлено геометрическое доказательство тривиальности косы.

Коса К тривиальна, т.к. она легко превращается (рис. 3) в косу из четырех вертикальных нитей.

Здесь номера не обязаны идти по порядку: каждой косе соответствует перестановка номеров ее нитей. Так, косам К1, К3, К4 на рисунке 1 отвечают перестановки:

2.3. Алгебраизация кос

11

Косы - один из простейших геометрических объектов, легко поддающийся «алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать. Делается это совсем просто (рис. 4): нужно приложить одну косу к другой, склеив соответствующие нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики (нижние гвозди первой косы, верхние – второй).

В таблице (рис. 4) представлена проекция умножения кос на плоскость из трёх нитей.

2.4. Определение

Возьмём две косы a и b с одинаковым числом нитей и соединим нижние концы нитей первой косы с верхними концами нитей второй косы рис. 5; полученную косу, сжатую в два раза в вертикальном направлении, называют произведением этих двух кос и обозначают ab.

Рис. 5

12

Проверили данное определение на практике.

Такое умножение обладает рядом свойств обычного умножения чисел.

Подведём итог в виде теоремы.

2.5. Теорема о косах

Умножение кос обладает следующими свойствами

Ассоциативный закон (сочетательный)

Общий у кос и у чисел.

К1(К2К3)=(К1К2)К3

Наличие единицы

Тривиальная коса К2 = 1, для которой

Т.е. коса, которая, как число 1, не изменяет то, что на неё умножается.

Прикрепление снизу тривиальной косы к данной косе приводит лишь

к удлинению её нитей и не изменяет тип косы.

Наличие обратного элемента (аналог деления)

У каждой косы К имеется обратная коса . Выполняется следующее равенство:

Как построить обратную косу?

13

 

Очень просто: нужно зеркально отразить косу К относительно горизонтальной плоскости. Рассмотрим данную операцию на рисунке 6.

 

В таблице (рис. 6) показано как на плоскости выполняется построение обратной косы.

Всякий раз, когда некоторое множество снабжено операцией, обладающей тремя свойствами, о которых мы только что упоминали, математики говорят, что они имеют дело с группой.

Итак, мы только что показали, что множество кос с n нитями образует группу. Эту группу обозначают Кn.

Отметим сразу же, что группа кос Кn (для n>2) – в отличии от чисел – не обладает переместительным свойством: произведение двух кос зависит в общем случае от порядка множителей.

Один из вопросов анкетирования звучал так: «Каждую ли косу можно расплести?

Рис. 7а

Теорема (для кос с любым числом прядей больше двух)

 

14

Все косы, полученные четным числом вращений подвески (причем допустимы вращения в любых направлениях) можно расплести. Косы, полученные нечетным числом полных оборотов, расплести нельзя.

Рис. 7б Рис. 7в

Вывод: косу «склеенную» из двух симметричных, можно «расплести» (рис. 7а, 7б, 7в).

Достаточно ли соотношений I – III для доказательства всех равенств в теории кос?

Оказывается – да: немецкий математик Эмиль Артин, создатель теории кос, доказал в 1936 году, что любое равенство в теории кос вытекает из соотношений I – III. Эта замечательная теорема позволяет решить основную проблему теории кос – проблему классификации. Именно, можно указать (бесконечный) список кос (без повторений) и алгоритм, относящий любой косе её номер в этом списке.

§3. Приложение кос

У теории кос существуют вполне серьезные приложения, например к комплексному анализу, механике и физике элементарных частиц, а так же идея кодирования химической информации в маленьких узелках (и косах!) при изучении ДНК.

15

Теория кос имеет много приложений, как в математике, так и за её пределами.

Астрономия

Теория кос имеет большое значение для изучения Солнца. Недавно ученые установили, что на Солнце перенос энергии от поверхности к короне может быть опосредован особыми торнадо, сплетающимися в косы.

Физика

Физикам из Университета Чикаго впервые удалось создать в лаборатории узел из вихря воды и наблюдать за его эволюцией и распадом. В результате, ученым удалось рассмотреть, как образуются, движутся и

распадаются узлы, образованные движением жидкости.

Американским физикам удалось доказать, что свет может двигаться по запутанным и замкнутым траекториям (узлам).

География

Коса образуется в результате перемещения обломочного материала волнами и вдольбереговыми течениями и отложения этих наносов в результате огибания потоком наносов выступа берега.

Сейсмическая коса

Приём сейсмических сигналов при сейсморазведке.

Биология

Молекула ДНК.

Её молекулы имеют огромную по молекулярным масштабам длину и состоят из двух нитей, сплетённых между собой в двойную спираль.

16

Практическая часть

§1. Анкетирование

Анкетирование проводилось среди учащихся 9, 10, 11 классов МБОУ СОШ №9. Всего участников – 52.

Вопросы анкеты

Что такое косы?

Какие виды кос вы знаете?

В каких областях применяются косы?

Каждую ли косу можно расплести?

Цель проведения анкеты – установить, что ребятам известно о косах; предполагают ли они, что косы являются также и математическими объектами.

Результаты анкетирования занесли в таблицу (Приложение 1)

В результате проведенного социологического исследования получены следующие результаты:

Оказалось, что большинство опрошенных имеют представление о косах, как о причёске или хозяйственном инструменте, с помощью которого косят траву.

Из числа участников анкетирования лишь 3(6%) человека смогли определить косу как некоторый объект (в таблице ответы выделены цветом).

На вопрос о классификации кос, большинство респондентов снова дали ответы, связанные с внешним видом человека.

Среди ответов мы определили для себя группу «оригинальных».

Мы пришли к выводу о том, что ребята не воспринимают косу как математический объект. Классификацию кос соотносят с внешним видом человека (причёска) или хозяйственным инструментом. Однако все опрошенные соотносят косы с их плетением.

17

§2. Классификация кос

Выполняя исследовательскую работу мы изучили виды кос и научились их плести.

Среди кос выделяются:

Девичья коса

Девичья коса – символ девичества, молодости, красоты

Тривиальная коса

Тривиальная коса – частный случай крашеной косы.

Крашеная коса

Коса, сохраняющая порядок номеров нитей.

Циклическая коса

Циклические косы – косы, противоположные крашеным.

Вывод: оказалось, достаточно сложно сплести циклическую косу и косу состоящую из пяти нитей.

§3. Алгебраизация кос

18

Косы - один из простейших геометрических объектов, легко поддающийся «алгебраизации».

Косы с одинаковым числом нитей можно умножать.

Умножение кос не обладает переместительным свойством.

Вывод: умножать косы - это совсем просто.

Нужно приложить одну косу к другой, склеив соответствующие нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики (нижние гвозди первой косы, верхние – второй).

19

Выводы

Проведя исследование по данной теме, мы изучили математическое понятие «коса», историю возникновения и развития, а также классификацию кос и их свойства. Нами было рассмотрено приложение кос в различных сферах жизни и деятельности человека.

В ходе исследования нам удалось установить связь между плетением кос и математикой. Встречая косы в повседневной жизни, мы не подозревали, что это ещё и математические объекты.

По красоте теория кос не уступает классической математике, которая изучается в школе.

20

Заключение

Теория кос – это реальная и живая наука, возникшая в 20-х годах прошлого века, ещё не завершена и не исчерпала своих приложений.

Теория кос находится на стыке алгебры, геометрии и топологии, являясь между тем красивым и наглядным приложением математики.

В нашей работе мы исследовали связь между плетением кос и математикой. В работе мы рассмотрели классификацию и алгебраизацию кос.

Коса – это формальная модель того, что понимается под словом «сплетение» в обычной жизни (девичья коса, плетёный брелок, классический канат из переплетённых жил и т. д.), т. е. множество нитей, запутанных некоторым определённым образом.

Нам удалось установить связь между красивыми топологическими объектами косами и математикой с помощью основной теоремы о косах. Мы показали, что множество кос с n нитями образует группу. Установили, что группа кос Кn (для n>2) – в отличии от чисел – не обладает переместительным свойством.

Гипотеза о том, что косы – один из простейших геометрических объектов, легко поддающихся классификации и «алгебраизации», нашла своё подтверждение.

В своей работе мы показали практическое применение данной темы.

Теория кос имеет много приложений, как в математике, так и за её пределами. В ходе нашего исследования мы вышли на теорию узлов.

21

Список использованных источников информации

Косы и узлы/ [А. Б. Сосинский]. – М.: Квант №4, 1973

Узлы и косы / [А. Б. Сосинский]. – М.: МЦНМО, 2001

Узлы. Хронология одной математической теории / [А. Б. Сосинский]. – М.: МЦНМО, 2005

Узлы. Хронология одной математической теории / [А. Б. Сосинский]. – М.: Квант №3, 2009

Цикл лекций в Летней школе «Современная математика» / [А. Б. Сосинский].- http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=220

http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_327.htm

http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works_2012/Kovyev_Nikita.pdf

http://www.findpatent.ru/patent/206/2061245

http://sovetclub.ru/tim/9f8cd1b4239ff69152cba0ebf6ee42a6.jpg

http://kvant.mccme.ru/1989/02/kosy_i_uzly.htm

http://www.varf.ru/rudn/manturov/braids.pdf

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/%27%27Bibliotechka_%27%27Kvant%27%27/_%27%27Bibliotechka_%27%27Kvant%27%27.html#111

http://www.mathbook.ru/item/4789.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B4%D1%81%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%8F

22

Приложение

Приложение 1

Результаты анкетирования